基于ARIMA 模型與隨機森林模型的零售服裝動態(tài)銷售預(yù)測模型探析

徐 琪，張陽奎

（東華大學(xué) 旭日工商管理學(xué)院，上海 200051）

0 引言

時尚服裝由于具有季節(jié)性、時尚性、易貶值等特點，在競爭激烈的市場環(huán)境中，常常會出現(xiàn)缺貨或積壓的情況。因而，提高控制時尚服裝庫存水平，對于時裝零售商的盈利至關(guān)重要。而庫存與銷售預(yù)測直接相關(guān),銷售預(yù)測不僅影響庫存及公司的盈利，而且影響服務(wù)客戶質(zhì)量。當(dāng)面臨缺貨時，客戶可能決定在其他零售商處購物。另外，時裝行業(yè)的供應(yīng)鏈較長，涉及眾多參與者，如原材料的供應(yīng)商、制造商、分銷商和零售商，導(dǎo)致各參與方在未準(zhǔn)確了解客戶需求的情況下，為了時尚服裝產(chǎn)品的生產(chǎn)與銷售而提前下訂單，從而產(chǎn)生供應(yīng)鏈上的牛鞭效應(yīng)。

為了準(zhǔn)確進行銷售預(yù)測，多年來研究人員提出了很多統(tǒng)計分析方法，使用頻率較高的有指數(shù)平滑法、回歸分析法、自回歸積分滑動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA模型）等。近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等深度學(xué)習(xí)方法被大量研究人員用于銷售預(yù)測，但深度學(xué)習(xí)模型是一個黑箱模型，預(yù)測結(jié)果的可解釋性不強。另外，深度學(xué)習(xí)模型在不同的場景下，預(yù)測性能并不穩(wěn)定，而且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)、隱層節(jié)點數(shù)等參數(shù)都需要研究人員依靠豐富經(jīng)驗去調(diào)整，這會耗費大量預(yù)測時間，因而基于深度學(xué)習(xí)的預(yù)測方法在應(yīng)用上存在一定的局限性。

文章綜合考慮時尚服裝歷史銷售因素、節(jié)假日因素、宏觀經(jīng)濟因素以及天氣因素對時尚服裝銷售量的影響，結(jié)合基于時間序列的ARIMA 模型與機器學(xué)習(xí)中的隨機森林模型，構(gòu)建了一種新的時裝銷售組合預(yù)測模型。該模型能夠提升預(yù)測精度，并且預(yù)測所需的時間也比基于深度學(xué)習(xí)的模型短，可解釋性更強。文章最后用實例驗證了模型的有效性，以便得到有價值的結(jié)論。

1 模型的構(gòu)建與求解

文章將零售服裝最終銷售額（

Y

）分解為時尚流行趨勢因素影響下的銷售額（

T

）、季節(jié)性因素影響下的銷售額（

S

）、周期性因素影響下的銷售額（

C

）和不規(guī)則變動因素影響下的銷售額（

I

）4 個部分，用公式（1）表示：

ARIMA 模型能夠捕獲到時間序列中的相關(guān)的趨勢因素

T

，如時尚服裝的流行趨勢。而隨機森林模型作為機器學(xué)習(xí)中具有監(jiān)督、層次結(jié)構(gòu)的決策樹的集成模型，通過輸入時尚服裝銷售相關(guān)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，不斷調(diào)參與迭代，能夠捕捉到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中天氣、經(jīng)濟環(huán)境、節(jié)假日因素與銷售額之間的非線性關(guān)系（

S

+

C

+

I

），進而用于時尚服裝的預(yù)測，因此考慮將這兩個模型加以融合，形成一種新的時尚服裝銷售組合預(yù)測模型，以預(yù)測時尚服裝的銷售額。

1.1 基于服裝歷史銷售記錄的ARIMA 銷量預(yù)測模型

建立ARIMA 模型一般有3 個階段，分別是模型識別和定階、參數(shù)估計和模型檢驗。文章構(gòu)建的時尚服裝銷售預(yù)測的ARIMA 模型（

p

,

d

,

q

）時間序列如（2）所示：

式中，

y

為當(dāng)前預(yù)測的銷售額；

μ

為常數(shù)項；

ε

為白噪聲序列；

p

為自回歸階數(shù)；

d

為差分次數(shù)；

q

為移動平均階數(shù)；

γ

為自回歸系數(shù)；

θ

為白噪聲序列的權(quán)重因子。時尚服裝的原始銷售數(shù)據(jù)受到多種因素的干擾，可能是非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)，因為平穩(wěn)性是時間序列分析的先決條件，所以需要對不穩(wěn)定的服裝銷售歷史數(shù)據(jù)序列進行處理，將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的序列，然后進行模型的識別和定階。這里主要是確定自回歸階數(shù)

p

、移動平均階數(shù)

q

這兩個參數(shù)。確定這兩個參數(shù)以后，需要對每一階的系數(shù)進行參數(shù)估計，得到系數(shù)的估計值以后，將其帶入模型，對模型進行適應(yīng)性檢驗，檢驗通過后，對用得到的模型進行預(yù)測，將預(yù)測值與真實值進行對比，從而確定模型的有效性。1.1.1 差分次數(shù)

d

的確定ARIMA 模型可看作是AR+I+MA 的組合，其中I的作用是通過對原序列進行差分運算使得差分后的序列具有平穩(wěn)性，即差分后的時間序列的噪聲

ε

為白噪聲，滿足

ε

WN(0，

σ

)。為了使得序列變得更加平穩(wěn)，首先要確定差分次數(shù)。筆者用

X

表示零售服裝銷售額所構(gòu)成的時間序列，

x

表示序列中第

t

個點代表的銷售額，

t

=1,2,3…

N

，

N

表示序列

X

的長度。記符號Δ為差分算子，一階差分表示為：Δ

x

=

x

-

x

，相應(yīng)的，

d

階差分可用（3）表示：

首先對原始的銷售額時間序列按式（3）進行

d

階差分，然后對差分后的時間序列做平穩(wěn)性的adf 檢驗得到最佳差分階數(shù)。1.1.2 ARIMA 模型中參數(shù)

p

與

q

的確定通過式（3）的差分方法對原始銷售額時間序列進行差分，使得時尚服裝銷售額的時間序列平穩(wěn)以后，即可建立ARMA（

p

,

q

）模型，ARMA（

p

,

q

）模型是由AR(

p

)和MA(

q

)模型組合得到的，其中AR(

p

)模型可以用（4）表示：

MA(

q

)模型可以用（5）表示：

AR(

p

)+MA(

q

)模型的組合ARMA(

p

,

q

)表達式（6）如下：

式中，

c

為常數(shù)項；

ε

為白噪聲，滿足

E

(

ε

)=0，Var(

ε

)=

σ

；

γ

為自回歸系數(shù)；

θ

為白噪聲序列的權(quán)重因子；

p

為自回歸階數(shù)；

q

為移動平均階數(shù)。用

X

表示服裝銷售額所構(gòu)成的時間序列，

x

表示序列中第

t

個點代表的銷售額，

t

=1,2,3…

N

，

N

表示序列

X

的長度，則該銷售額時間序列的均值和方差分別為：

μ

=

E

(

X

)，

σ

=

D

(

X

)=

E

(

X

-

μ

)。定義滯后

k

階的銷售額時間序列自相關(guān)系數(shù)（

acf

）和偏自相關(guān)系數(shù)（

pacf

）分別為（7）和（8）：

因為式（8）無法直接求解，需要使用Yule-Walker方程進行轉(zhuǎn)化并化簡后進行求解。Yule-Walker方程寫成矩陣形式為：

由以上建模和求解過程，結(jié)合文獻中使用的相關(guān)定階方法，得到初步定階，在初步確定階數(shù)范圍之后，再根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC）確定最佳定階。

1.1.3 權(quán)重參數(shù)的極大似然估計

假設(shè){

X

,

t

=0,±1,±2,…}是經(jīng)過中心化后的ARMA(

p

,

q

)序列，已取得銷售額的時間序列樣本，它的概率密度函數(shù)為式（9）：

根據(jù)式（9）可得對數(shù)似然函數(shù)為式（10）：

根據(jù)式（11）可求出：

將其帶入（13）：

1.1.4 基于ARIMA 模型的服裝銷售預(yù)測

根據(jù)前面所構(gòu)建的ARIMA 模型，進一步利用該模型進行服裝銷售預(yù)測。根據(jù)式（4）AR(

p

)模型對銷售額時間序列的前

s

步進行預(yù)測，其預(yù)測方法公式（15）表示如下：

根據(jù)式（5）MA(

q

)模型做服裝銷售額時間序列的前

s

步預(yù)測，其預(yù)測方法用公式（16）表示如下：

根據(jù)式（15）和式（16）,得ARMA(

p

,

q

)模型對銷售額時間序列的前

s

步預(yù)測方法為（17）：

1.2 多因素影響下基于隨機森林（RF）的服裝銷量預(yù)測模型

使用隨機森林模型主要采用4 類因素結(jié)合起來預(yù)測銷售額，第一類是節(jié)假日數(shù)據(jù)，第二類是天氣數(shù)據(jù)，第三類是宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)，第四類是歷史銷售數(shù)據(jù)（作為標(biāo)簽）。將這4 類因素進行數(shù)據(jù)預(yù)處理后，得到服裝零售數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)集是一個nxm 形式的矩陣，矩陣中的第

n

行代表第

n

個樣本，即一條銷售記錄，矩陣中的前

m

-1 列代表影響銷售額的因素，第

m

列為銷售額，在該數(shù)據(jù)集上進行隨機森林模型的訓(xùn)練。文章是預(yù)測銷售額，銷售額是一個連續(xù)的變量，所以需要通過并行的建立多顆二叉回歸決策樹(Classification And Regression Tree，CART)，最終對所有決策樹葉子節(jié)點預(yù)測值取平均得到銷售額的預(yù)測值。單顆二叉決策樹的數(shù)學(xué)原理表達式（18）如下所示：

y

是第

i

個樣本（銷售記錄）的真實銷售額，

c

為

D

數(shù)據(jù)集的樣本輸出均值，

c

為

D

數(shù)據(jù)集的樣本輸出均值。為了求出每一次的最優(yōu)劃分特征和最佳劃分點，需要采用基尼系數(shù)作為劃分的依據(jù)，基尼系數(shù)的表達式（19）如下：

其中，

p

代表樣本屬于第

k

個類別的概率，|

C

|代表第

k

個類別下的樣本量，|

D

|代表總的樣本量,基尼系數(shù)越接近于0，則劃分的效果越好。并行地構(gòu)造多棵決策樹，就得到了隨機森林模型。

1.3 組合銷售預(yù)測模型

ARIMA 模型與隨機森林模型訓(xùn)練完畢后，按照如下方式構(gòu)建組合銷售預(yù)測模型。首先將時間序列模型

G

的預(yù)測誤差定義見式（20）：

其中，

y

為真實銷售額，

y′

為預(yù)測的銷售額，同理，隨機森林模型

RF

的預(yù)測誤差定義見式（21）：

時間序列模型的預(yù)測值所占的權(quán)重定義見式（22）：

因為模型1 與模型2 的權(quán)重之和為1，所以模型2預(yù)測出的銷售額所占的權(quán)重如式（23）所示：

最終得到組合預(yù)測模型如式（24）所示：

2 實例分析

為了評估組合銷售預(yù)測模型的有效性，以機器學(xué)習(xí)競賽平臺kaggle上所給出的美國某零售商的服裝銷售數(shù)據(jù)集為分析對象，按照數(shù)據(jù)預(yù)處理，模型訓(xùn)練，基于交叉驗證的參數(shù)選擇，實例分析模型評估。

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

為進一步探究季節(jié)性因素對3 種類型服裝銷售額的影響，需要分別對3 種類型的服裝按式（25）求出其季節(jié)指數(shù)，該指數(shù)可同時作為隨機森林模型調(diào)參的重要依據(jù)：

其中

n

為總年數(shù)，

m

為總月數(shù)，

x

代表第

i

年第

k

月的銷售數(shù)據(jù)，

xk

為周期內(nèi)各期平均數(shù)，

x

-為總平均數(shù)，

s

-為季節(jié)指數(shù)。

對于原始的天氣數(shù)據(jù)，在對缺失值填補后對類別型特征進行啞編碼。對于宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)，刪除缺失值數(shù)量過多且缺乏有效信息的特征。完成上述處理后，對時間序列值按月進行采樣。

2.2 組合預(yù)測模型的效果評價

根據(jù)式（24）的組合預(yù)測模型，筆者以女裝為例，以2009—2014 年的銷售數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以2015年的數(shù)據(jù)作為模型的測試數(shù)據(jù)，對訓(xùn)練數(shù)據(jù)作三折交叉驗證后，選擇均方誤差最小的模型及其參數(shù)來預(yù)測2015 年的銷售額，最終求得組合銷售預(yù)測模型中隨機森林模型的權(quán)重為0.73，ARIMA 模型的權(quán)重為0.27。單一模型以及組合模型的預(yù)測效果如圖1所示。

圖1 單模型以及組合預(yù)測模型的預(yù)測效果

從圖1 中可以看出，ARIMA 與隨機森林這兩種單一模型都能反映出銷售額變化的一些趨勢。但ARIMA 僅僅考慮時間因素，所以進行長期預(yù)測時偏差很大、權(quán)重較小，而隨機森林考慮天氣、經(jīng)濟等眾多因素，預(yù)測較為準(zhǔn)確，權(quán)重更大。組合預(yù)測模型結(jié)合了這兩種模型的優(yōu)勢，在預(yù)測效果上能更加接近數(shù)據(jù)的真實值，偏差相對較小。

3 結(jié)語

在大數(shù)據(jù)時代，服裝零售商在進行銷售預(yù)測時，不僅要考慮歷史銷售數(shù)據(jù)，還要獲取更多的經(jīng)濟、天氣、節(jié)假日，甚至消費者習(xí)慣等數(shù)據(jù)。機器學(xué)習(xí)技術(shù)可以充分挖掘和分析數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確預(yù)測未來消費需求，從而幫助服裝零售商做出正確的庫存決策。

此外，機器學(xué)習(xí)往往需要大量的樣本參與訓(xùn)練，才能得到魯棒性強的模型和較高的預(yù)測精度，文章中訓(xùn)練隨機森林的樣本量較少，只有6 年的數(shù)據(jù)。近年來，發(fā)展較快的遷移學(xué)習(xí)方法可以通過源域到目標(biāo)域的模型調(diào)整，生成大量相似的樣本，進而增加數(shù)據(jù)，提高訓(xùn)練模型的預(yù)測精度，這也將是文章進一步研究的方向之一。