促進數(shù)學(xué)理解的兩個基本點

姚華

摘要：促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，至少要厘清兩個基本點：一是幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，即數(shù)學(xué)知識內(nèi)蘊的具有普遍性、關(guān)鍵性的“核心概念”或“通性通法”;二是遵循學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生實現(xiàn)從舊知到新知的遷移，以及從動作表征到符號表征的躍升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理解;知識本質(zhì);認知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)要促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。我認為，圍繞這個中心，至少要厘清兩個基本點：一是把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，二是遵循學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。下面，結(jié)合具體教學(xué)案例談?wù)勎业乃伎寂c實踐。

一、把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)

關(guān)于“本質(zhì)”，《現(xiàn)代漢語詞典（第7版）》這樣解釋：“指事物本身所固有的，決定事物性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性。事物的本質(zhì)是隱蔽的，是通過現(xiàn)象來表現(xiàn)的，不能用簡單的直觀去認識，必須透過現(xiàn)象掌握本質(zhì)?！笨梢?，所謂“本質(zhì)”，既是一類事物的共同屬性，具有普遍性或一致性;也是起主要作用的屬性，具有關(guān)鍵性或決定性。

數(shù)學(xué)知識，無論是代數(shù)的還是幾何的，無論是陳述性的還是程序性的，都有其內(nèi)蘊的本質(zhì)。它們往往就是數(shù)學(xué)學(xué)科的“核心概念”或“通性通法”（即當下常說的“大概念”或“大觀念”）。把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，才能打通數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，建構(gòu)起符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求的、簡化的、內(nèi)在邏輯性較強的、對未來學(xué)習(xí)更有遷移作用和支持意義的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識結(jié)構(gòu)，才算真正理解了數(shù)學(xué)知識，達到了融會貫通。

北京教育學(xué)院劉加霞教授曾說：“把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一切教學(xué)法的根?！币蚨處熞O(shè)計相應(yīng)的教學(xué)活動，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

例如，除法是乘法的逆運算，因此，除法計算的本質(zhì)是逆用乘法口訣“試商”。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊的“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”，不論除數(shù)是整十數(shù)還是一般的兩位數(shù)，計算的本質(zhì)都是，依據(jù)乘法口訣思考被除數(shù)里最多有幾個“幾十”（即便除數(shù)是一般的兩位數(shù)，也應(yīng)該被看成最接近的整十數(shù)）。因此，教學(xué)這一內(nèi)容時，教師可以針對這一本質(zhì)設(shè)計一定的專項訓(xùn)練，如：85里面最多有（）個20，乘法口訣是;76里面最多有（）個30，乘法口訣是;285里面最多有（）個40，乘法口訣是;785里面最多有（）個90，乘法口訣是。通過專項練習(xí)，學(xué)生把握本質(zhì)后，便會對除法的筆算程序、技能有深刻、牢固的理解和掌握。

再如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊的“長方形的面積計算”時，大部分學(xué)生很容易掌握長方形的面積計算公式，并能根據(jù)需要運用公式進行計算，但是他們往往不理解長方形的面積為什么可以用長乘寬來計算。究其原因，可能是學(xué)生在公式探究的過程中，側(cè)重于發(fā)現(xiàn)長方形的面積跟長和寬的關(guān)系，而忽視了平面圖形面積計算的本質(zhì)：計量或測算平面圖形里包含多少個面積單位。而把握了長方形面積計算的本質(zhì)，才能為后續(xù)靈活得到其他平面圖形的面積（包括轉(zhuǎn)化推導(dǎo)規(guī)則圖形的面積計算公式和分割測量、計算不規(guī)則圖形的面積）打好基礎(chǔ)。

因此，在學(xué)生初步認識了長方形的面積計算公式后，有必要設(shè)計正反對比的案例，追問學(xué)生計算正確或錯誤的道理，促進學(xué)生對公式本質(zhì)的理解。具體教學(xué)設(shè)計為：

師一個長4分米、寬3分米的長方形，面積是多少平方分米？

預(yù)設(shè)：4×3=12（平方分米）。

師為什么長4分米、寬3分米相乘之后的得數(shù)12平方分米，就是所求的面積？

師長4分米意味著一行可以擺多少個1平方分米的正方形？寬3分米又意味著什么呢？

師面積12平方分米，其實就相當于12個1平方分米的正方形拼起來。

師一個長4米、寬30分米的長方形，面積是多少？

預(yù)設(shè)：4×30=120……

師單位是什么？這樣計算對嗎？

師為什么不對？

預(yù)設(shè)：因為長和寬的單位不統(tǒng)一，所以無法計算。

師為什么單位不統(tǒng)一，就不能計算？

師長4米，意味著一行可以擺4個1平方米的正方形，那么，從寬看，每列也應(yīng)該擺若干個1平方米的正方形，其個數(shù)就不是按分米單位計數(shù)的30，而應(yīng)該是按米單位計數(shù)的3。因此，長和寬必須用同樣的計量單位，才和面積計量的操作過程相符合。

又如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊的“用量角器量角”時，一些教師為了幫助學(xué)生更好地掌握用量角器量角的操作步驟“中心對頂點—‘零線’對一邊—再看另一邊（里外要分清）”，把重點放在認識量角器的構(gòu)造上，細化分解量角器的組成部件，甚至直觀展示量角器關(guān)鍵部件的創(chuàng)生次序和改良過程，試圖讓學(xué)生理解測量操作的道理。但是往往效果不佳：學(xué)生在用量角器量角時還是會犯各種錯誤。實際上，我們應(yīng)該把重點放在理解用量角器量角的本質(zhì)上，讓學(xué)生認識到：用量角器量角，實質(zhì)上是在量角器上找到一個和所測角大小相等的角，并通過量角器的刻度讀出它的度數(shù)。由此，學(xué)生便能理解各個操作步驟的意義：“中心對頂點”就是讓兩個角的頂點重合，“‘零線’對一邊”就是讓兩個角的一條邊重合，“再看另一邊（里外要分清）”就是根據(jù)另一邊對應(yīng)的刻度線（分清里圈、外圈）讀準度數(shù)。

為了讓學(xué)生感悟到用量角器量角的本質(zhì)，可以在學(xué)生初步了解了量角器構(gòu)造的基礎(chǔ)上，設(shè)計如下活動：

活動一：在印有量角器刻度的紙上描指定度數(shù)的角。

從中感知兩點：一是描法很多，最便捷的是把零刻度線定為所描角的起始邊;二是零刻度邊定的方向不同，所畫角的朝向也不同。由此，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會讀準度數(shù)。

活動二：用量角器量透明膠片紙上角的度數(shù)。

有了前面的活動經(jīng)驗，學(xué)生自然想到使膠片紙上的角與量角器上的角“重合”，具體操作就是把所測角放在量角器的上面。這個活動與真正的量角活動本質(zhì)一樣，比真正的量角活動操作簡單一些。

活動三：用量角器量普通紙上的角。

引導(dǎo)學(xué)生思考：紙不再是透明的，把角放在量角器上量角不方便了，怎么辦？學(xué)生自然想到反過來：把量角器放在所測角的上面。這就是真正的用量角器量角。

二、遵循學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)

認知建構(gòu)主義認為，學(xué)習(xí)是頭腦中已有的認知結(jié)構(gòu)不斷“同化”“順應(yīng)”外界信息，從而達到新的“平衡”（形成新的認知結(jié)構(gòu)）的過程。因此，奧蘇伯爾說：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！贝送猓剪敿{從認知表征的角度給出了認知發(fā)展的路徑，即“從動作表征經(jīng)圖像表征而達到符號表征的世界”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，還應(yīng)該遵循學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生實現(xiàn)從舊知到新知的遷移，以及從動作表征到符號表征的躍升。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊的“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)筆算（不進位）”是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法豎式計算的起始內(nèi)容。教學(xué)中，學(xué)生對例題要求計算的12×3，基本上都能根據(jù)乘法的意義，轉(zhuǎn)化成12+12+12;也能通過擺小棒的操作，得到“先算10×3=30，再算2×3=6，最后算30+6=36”的分步算法。然而，接下來，學(xué)習(xí)乘法豎式計算時，學(xué)生會遇到兩個障礙：一是怎樣從分步算法中的“從十位算起”變成豎式計算中的“從個位算起”，二是怎樣對由分步算法初步構(gòu)建的豎式雛形進行簡化。對此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從實現(xiàn)已有的加法豎式計算經(jīng)驗出發(fā)遷移學(xué)習(xí)，結(jié)合乘法與加法的關(guān)系，構(gòu)建乘法豎式避免口算方法（擺小棒操作）的負遷移。具體教學(xué)片段如下：

師秋天到了，天氣漸漸涼了，大雁開始飛往南方了。星期一，小東看到天上飛過2行大雁，每行12只，一共有多少只大雁？

生12+12=24（只）。

師你是怎樣算的？

生我是口算的：10+10=20，2+2=4，20+4=24。

師還記得這樣的口算方法是怎樣得到的嗎？

生用小棒擺一擺。

生也可以列豎式計算。

師豎式怎樣寫？

生列豎式計算，首先做到數(shù)位對齊，然后從個位算起。先算個位上2+2=4，再算十位上1+1=2，所以，結(jié)果是24。

（教師板書：數(shù)位對齊，從個位算起。）

師星期二，小東看到天上飛過3行大雁，每行12只，一共有多少只大雁？

生12+12+12。

師列豎式算一算12+12+12等于多少。

（學(xué)生快速完成。）

師如果天上飛過4行大雁，每行12只，那么，一共有多少只大雁？加法計算豎式怎樣寫？變成5行呢？9行呢？你有什么感受？

生豎式太長了！計算太麻煩了！

……

師我們知道，相同的加數(shù)相加用乘法來計算更簡便，這就是乘法的意義。因此，上面這些加法豎式用乘法豎式計算更簡便，大家想學(xué)嗎？

生（齊）想！

師那我們還是從簡單的情況入手。先來研究12×2的計算方法。

生轉(zhuǎn)化成12+12=24。

師這個方法不用說，前面研究過了。

生先算10×2=20，再算2×2=4，最后算20+4=24。

師這個方法是怎樣得到的？

生用小棒擺一擺。

師很好！再來研究豎式計算方法。其實，乘法豎式計算的過程跟加法豎式計算是一致的。（同步板演豎式）首先，寫豎式的要求是一致的，即數(shù)位對齊。其次，計算的順序也是一致的，即從個位算起。加法里，先算個位上的2+2=4。乘法里，也先算——

生2個一乘2個一等于4個一。

師所以，在得數(shù)的個位上寫——

生4。

師加法里，接著算十位上的“1+1=2”。乘法里，也接著算——

生1個十乘2個一等于2個十。

師所以，在得數(shù)的十位上寫——

生2。

師所以，12×2=？

生24。

師請大家像這樣試著自己寫一寫12×2的豎式。

（學(xué)生快速完成。）

師現(xiàn)在，你能試著寫一寫12×3的豎式嗎？

……

再如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊的“兩位數(shù)除以一位數(shù)筆算（首位不能整除）”時，學(xué)生難以理解豎式計算的算理，包括為什么要從高位除起以及商的數(shù)位、余數(shù)的意義等，從而難以建構(gòu)豎式計算的算法。對此，出示教材例題，引出算式52÷2后，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助分小棒的操作活動展開探究，從動作表征逐漸上升到符號表征。具體來說，首先可以通過“先分整捆，再分散根”和“先分散根，再分整捆”兩種分小棒方法的對比，幫助學(xué)生理解從高位算起的優(yōu)勢。其次，可以結(jié)合“先分整捆，再分散根”的具體過程，幫助學(xué)生理解算理、形成算法：先分5捆，每人分得2捆，就是2個十，所以，商2寫在十位上;還剩1捆，拆開成10根才能分，與散的2根合成12根繼續(xù)分，每人分得6根，就是6個一，所以，商6寫在個位上……

參考文獻：

[1] 徐斌艷，等.數(shù)學(xué)核心能力研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

[2] 郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.