促進(jìn)算理理解的教學(xué)策略初探

浙江臺(tái)州市仙居縣皤灘鄉(xiāng)中心小學(xué)（317319） 方中真

數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重頭戲。縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)課程，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算貫穿始終，是主軸，其他數(shù)學(xué)知識(shí)多是依托并圍繞這根主軸鋪展開。理解算理無疑是數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中最重要的一環(huán)。學(xué)生只有對(duì)算理洞若觀火，才能掌握運(yùn)算的精要，運(yùn)算時(shí)才能得心應(yīng)手、揮灑自如。下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐來談?wù)劥俪伤憷砝斫獾膸c(diǎn)策略。

一、立足起點(diǎn)，追根溯源，在運(yùn)算中回顧算理

1.理一理，摸底算理根基

學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)是在舊知上添磚加瓦，換言之，吸納新知必須站在舊知的平臺(tái)上，如此才能增長新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)算理概莫能外。例如，四年級(jí)“小數(shù)加法和減法”一課，貌似簡(jiǎn)單，似乎只要謹(jǐn)記“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這一鐵律，重復(fù)操練即可。但實(shí)際教學(xué)效果往往令人大失所望，即使經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，也不能杜絕學(xué)生對(duì)錯(cuò)小數(shù)點(diǎn)。事實(shí)表明，即便是簡(jiǎn)單的計(jì)算，無視已有經(jīng)驗(yàn)的承接，學(xué)生也會(huì)理解不透。于是，筆者在教學(xué)前先對(duì)舊知進(jìn)行了梳理回顧。

【案例1】小數(shù)加減法教學(xué)片段

教師先出示計(jì)算式“475+2”，提問：“2 和哪個(gè)數(shù)字相加？為什么必須加到5 上？”讓學(xué)生回想“數(shù)位相同的數(shù)字才能相加減”的規(guī)則；再改編題目為“4.75+0.2”，讓學(xué)生繼續(xù)計(jì)算；然后針對(duì)學(xué)生得出的結(jié)果“477”和“4.95”，引導(dǎo)學(xué)生辨析：“如何設(shè)法求證結(jié)果是4.95呢？”學(xué)生有的通過賦予現(xiàn)實(shí)意義法，添加單位“元”或者“米”來思考，有的則根據(jù)小數(shù)的特性，在0.2 末尾補(bǔ)加一個(gè)0，改變其計(jì)數(shù)單位以便在形式上對(duì)齊數(shù)位，還有的直接遵照規(guī)則“數(shù)位相同才能相加”，因?yàn)槎际鞘治?，所以?”直接加到“7”上。教師對(duì)小數(shù)加法的算理進(jìn)行多維度的解釋后，再對(duì)照“475+2”和“4.75+0.2”的豎式提問：“‘475+2’豎式中的‘2’和‘5’對(duì)齊，實(shí)際上就是末尾數(shù)字對(duì)齊，而到了‘4.75+0.2’中，則變成小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，計(jì)算規(guī)則發(fā)生了轉(zhuǎn)變，是否有什么不變的主線貫穿始終？”在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法之前，學(xué)生對(duì)整數(shù)加減法運(yùn)用了好長時(shí)間，對(duì)“末位對(duì)齊”這一定律深信不疑，甚至奉為金科玉律，對(duì)整數(shù)中“數(shù)位相同才能直接運(yùn)算”也有所領(lǐng)悟，但“末位對(duì)齊”也讓學(xué)生產(chǎn)生了思維定式。因此，教師在教學(xué)中要舉出反例，讓學(xué)生重新樹立“數(shù)位相同才能保證對(duì)齊”的正確觀點(diǎn)。上例中，立足于學(xué)生對(duì)整數(shù)加法的起點(diǎn)，將整數(shù)運(yùn)算中的“末位對(duì)齊才能保證數(shù)位對(duì)齊”轉(zhuǎn)化為小數(shù)加減法中的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊才能保證數(shù)位對(duì)齊”的新規(guī)，對(duì)比提煉出維系兩者的同一主線——數(shù)位對(duì)齊。

2.退一步，回歸算理起源

數(shù)的概念和運(yùn)算，都是算理的起源，算理是從計(jì)數(shù)和運(yùn)算需要中生成和歸納出的理論。如整數(shù)加減法的算理就是起源于數(shù)目增減的意義；小數(shù)的乘除法也是起源于小數(shù)擴(kuò)大和縮小的意義；分?jǐn)?shù)加減法的起源則是分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的增減；四則混合運(yùn)算則需要各種運(yùn)算定律和法則作為支撐。在計(jì)算教學(xué)中回歸算理起源，往往能收到出奇制勝的效果。

【案例2】同分母分?jǐn)?shù)的加減法教學(xué)片段

教師出示問題情境一：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……1 分米、2 分米、3 分米、4 分米……在這些數(shù)據(jù)中任選兩個(gè)，編寫一道加法計(jì)算題，并算出結(jié)果。

問題情境二：

在上面的兩行數(shù)中任選兩個(gè)，編寫一道計(jì)算題，并算出結(jié)果。

對(duì)五年級(jí)的學(xué)生而言，計(jì)算類似3 厘米加2 厘米的問題，太過簡(jiǎn)單，但是正是有了這樣淺顯的積累，才能為后面的計(jì)算打下基礎(chǔ)。其間教師放手讓學(xué)生自行摸索，并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟計(jì)數(shù)單位相同才能直接加減，如計(jì)數(shù)單位不相同則要化為相同后才能計(jì)算。

凡事在當(dāng)下找不到出路，就回歸本源。如在小數(shù)加減法計(jì)算中，若學(xué)生對(duì)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊這一法則不能完全接受，那就回歸本質(zhì)——看看整數(shù)加減法的運(yùn)算法則是怎么回事。整數(shù)加減法可以看作是小數(shù)加減法的前身，從數(shù)型上看，小數(shù)只是比整數(shù)多了一個(gè)小數(shù)點(diǎn)。在整數(shù)加減法中要求數(shù)位對(duì)齊，只要將末位（個(gè)位）數(shù)字對(duì)齊，然后從右至左依次對(duì)齊。但是，在小數(shù)加減法中，兩個(gè)小數(shù)的末位數(shù)字不一定處于同一個(gè)數(shù)位，所以無法繼續(xù)運(yùn)用末位數(shù)字對(duì)齊這一規(guī)則。但是其根本要旨是不變的，即數(shù)位對(duì)齊，只不過換了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，小數(shù)加減法里，個(gè)位和十分位是相對(duì)固定的，分居小數(shù)點(diǎn)兩側(cè)，只要將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，個(gè)位和十分位自然對(duì)齊，而這兩個(gè)數(shù)位分別是整數(shù)部分和小數(shù)部分的起點(diǎn)。說到底，小數(shù)加減法中的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊和整數(shù)加減法中的末位數(shù)字對(duì)齊，都是先讓個(gè)位對(duì)齊，然后讓數(shù)位依次對(duì)齊。

分?jǐn)?shù)加減法中，率先學(xué)習(xí)的是同分母分?jǐn)?shù)的加減法，為何只有分母相同才能直接相加減？這就要回溯到分?jǐn)?shù)加減法的本源，但這個(gè)本源“分?jǐn)?shù)單位的累加”本身也不好理解，不得已再向上溯源，回歸到計(jì)量單位（如厘米和分米）的疊加，只有長度單位相同才能直接將數(shù)據(jù)相加（如3 厘米+4 厘米=7 厘米），類比遷移到分?jǐn)?shù)，也就是只有分?jǐn)?shù)單位相同，才能將分子直接相加減（如）。

二、借助表象支撐，多維度理解算理

運(yùn)算的算理是抽象的，也是理性的。根據(jù)小學(xué)生的心理特征，教學(xué)時(shí)先借助表象，建立直觀算理模型，再引入公式也是可行的。

1.借助直觀教具演示算理

【案例3】除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法筆算教學(xué)片段

除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，受到除數(shù)是一位數(shù)除法的影響，學(xué)生常常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：

如何讓學(xué)生明白商4 的位置所反映的算理？教師不妨采用小棒來全面揭露整個(gè)算理的運(yùn)作過程（如圖1和圖2）。

例1：92÷30=

圖1

例2：140÷30=

圖2

除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，商的位置的確定是一個(gè)難點(diǎn)，可讓學(xué)生試著列豎式，并通過圈畫的方法確定商的大小以及商寫在哪一位上。學(xué)生有了直觀圖的支持，就會(huì)對(duì)照理解豎式中每個(gè)數(shù)的含義，以及每一步運(yùn)算的來歷與始末。一位數(shù)除法與小數(shù)加減法相似，起始課看似簡(jiǎn)單，后期課程的難度卻超乎想象，因此只有在起始課中對(duì)算理進(jìn)行直觀演示并深刻揭示，才能幫助學(xué)生搭建完整穩(wěn)固的算理表象，降低后續(xù)學(xué)習(xí)的難度。

2.借助情境支撐理解算理

算法的建構(gòu)如果賦予具體情境，往往可以變得直觀形象。

【案例4】除數(shù)是兩位數(shù)的除法（試商、調(diào)商）教學(xué)片段

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境

圖3

花費(fèi)153 元買同一款足球，分別可以買幾個(gè)？怎樣列式？

（2）計(jì)算“153÷21”并交流。

教師提問：

①如何試商？有什么發(fā)現(xiàn)？

②根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)解釋出現(xiàn)這種情況的原因。

（3）計(jì)算“153÷32，153÷38”并交流。

教師提問：

①如何試商？有什么發(fā)現(xiàn)？

②根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)解釋出現(xiàn)這種情況的原因。

③對(duì)比“153÷21”和“153÷32”，它們有什么共同點(diǎn)？為何初次試商會(huì)偏大？

④對(duì)比“153÷32”和“153÷38”，它們有什么差別？為什么除數(shù)都是三十幾？為什么“153÷32”初次試商會(huì)偏大，“153÷38”初次試商會(huì)偏??？

將除數(shù)四舍五入成整十?dāng)?shù)是口算試商的基本步驟，但“四舍”往往會(huì)導(dǎo)致試商偏大，“五入”則會(huì)導(dǎo)致試商偏小。借助購物這一生活情境可以直觀地反映試商的過程和意義?！?53÷32”中因?yàn)閷蝺r(jià)縮小至30，因此買5 個(gè)足球的實(shí)際費(fèi)用低于實(shí)價(jià)，實(shí)付160 元變成了估價(jià)150 元，資金153 元小于實(shí)價(jià)160 元而大于估價(jià)150 元，所以買5 個(gè)超支，只能買4 個(gè)，商要下調(diào)成4。通過兩組算式“153÷21、153÷32”“153÷32、153÷38”的對(duì)比，更能揭示調(diào)商的原因。

試商一直是多位數(shù)除法的教學(xué)難點(diǎn)，受到一位數(shù)除法的影響，遇到除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，學(xué)生不知道如何對(duì)待除數(shù)末尾（個(gè)位）的0，只針對(duì)非零數(shù)字進(jìn)行除法運(yùn)算，尤其是當(dāng)遇到前面的非零數(shù)字相除剛好符合某句乘法口訣時(shí)，也就是剛好整除時(shí)，就會(huì)得意忘形，胡亂寫商，將商寫到十位上，并在后面加一個(gè)零，無緣無故地將商擴(kuò)大10 倍，這是受乘法“直接將因數(shù)末尾的0 轉(zhuǎn)移到積的后面”的負(fù)遷移作用的影響，而誤將除數(shù)末尾的0 也轉(zhuǎn)移到商的末尾。這種錯(cuò)誤是不理解除法算理引起的，只有直觀地操作演示才能讓學(xué)生看清商的本質(zhì)。除法計(jì)算與其他運(yùn)算的根本區(qū)別在于，加、減、乘的得數(shù)都可以一錘定音，但是除法計(jì)算由于存在余數(shù)問題，不可能每一步都符合乘法口訣，因此有一個(gè)試商的過程。雖然任何一個(gè)數(shù)位上的商都不可能逃離0~9 這10 個(gè)數(shù)字，但是未必就要逐一嘗試，而應(yīng)最大限度地縮小試商范圍，爭(zhēng)取試兩三次就敲定。為此，借助直觀、情境化的合理推測(cè)是可行之法，如先將除數(shù)估計(jì)為整十?dāng)?shù)，再按乘法口訣來暫定“臨時(shí)商”，然后一步步調(diào)整，最后確定“準(zhǔn)確商”。

三、打通知識(shí)間的壁壘，突出主線，促成理解

通過創(chuàng)設(shè)情境，借助直觀教具建立表象，可清除學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中的無關(guān)因素。在這一基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)該通過類比其他知識(shí)，找到異同點(diǎn)和邏輯關(guān)聯(lián)，細(xì)化算理，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)算理的理解從形式化走向智能化。

1.展示思路

【案例5】十幾減9的退位減法教學(xué)片段

根據(jù)“有15串糖葫蘆，賣了9串，還剩幾串？”可列式“15-9”。教師提問：“可采用什么方法解決問題？先獨(dú)立思考，再交流?！睂W(xué)生擺小棒推演，展示不同算法。

方法一：從15根小棒中扣減9根，剩下6根。

方法二：想加算減，聯(lián)想9+6=15，于是反推15-9=6。

方法三：破十法，15-9=10-9+5=6。

方法四：分批連減，15-9=15-5-4=6。

四種方法顯露出學(xué)生的思維路徑：“數(shù)小棒”直接運(yùn)用減法意義，“想加算減”則是運(yùn)用逆運(yùn)算概念，“破十法”和“分批連減”則是應(yīng)用了拆分?jǐn)?shù)字的方法。上述方法中，“破十法”和“分批連減”的理解是難點(diǎn)，需要圖形輔助?！捌剖ā笔峭宋粶p法的直觀雛形，也是退位減法的理論依據(jù)，意義重大。因此，教師需要重點(diǎn)演示“破十法”的詳解過程，借助學(xué)具推演，在學(xué)生的展示和交流中詮釋算理。

2.溝通反思

課堂中教師要及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊運(yùn)算的對(duì)比，找出異同點(diǎn)，并用專業(yè)的學(xué)科語言陳述，實(shí)現(xiàn)算法和算理的融合，讓學(xué)生達(dá)到心領(lǐng)神會(huì)的境界。如“小數(shù)乘整數(shù)”和“整數(shù)乘法”進(jìn)行比較，“小數(shù)乘小數(shù)”和“小數(shù)乘整數(shù)”進(jìn)行比較，從而引導(dǎo)學(xué)生掌握“小數(shù)乘法”中小數(shù)點(diǎn)的確定規(guī)則；“小數(shù)除小數(shù)”與“小數(shù)除整數(shù)”做比較，復(fù)習(xí)整理時(shí)，再將小數(shù)乘除法進(jìn)行橫向?qū)Ρ?。可以說，學(xué)生對(duì)算理的掌握，就是在不斷的比較中達(dá)成的。