找準認知原生節(jié)點 促進概念自然“生發(fā)”

陳娜

摘 要：“分數的初步認識”是小學階段數概念教學中的經典一課，是學生從自然數到分數的數概念的一次重要擴展，也是學生在原有自然數認知基礎上的一次重新建構的重要過程。在小學階段，學生往往對于“分數作為一個數”的數概念建構模糊不清，常將分數的“量”與“率”概念混淆?！胺謹档某醪秸J識”作為分數教學的起始課，教師在教學該課時應追本溯源，引導學生探究分數的本質，對后續(xù)教學有著重要意義。

關鍵詞：小學數學;分數;原生節(jié)點

一、教前思考：找準“概念胚胎”的原生點

（一）知識在哪里：尋根溯源，探尋分數的本質

“分數的初步認識”是學生學習分數的起始課。從自然數到分數，是數概念的一次飛躍性的擴展。無論在形式、意義、讀寫及計算方法上，分數與自然數都有很大的差別。再者，在學習分數概念的過程中，學生思維方式需要由過程轉向結果，這成為學生在分數概念認知中的一個難點，也是數學思維真正進入小學數學的地方。所以分數是小學生在數學學習中出現困難的實際起點。

分數和自然數一樣，用來表示數量，只不過當要表示在均分過程中比“1”更小的數，最小的自然數“1”不能表示，原有的認知造成沖突時，進而產生的一種新形式的數。在分數意義拓展時，分數才被用來表示一個量與另一個量的比的關系。而人教版的教材安排則與學生的認知稍有偏差，從“率”的角度入手認識分數，并不符合學生認數的規(guī)律。再者，縱觀人教版三上分數單元的所有例題和習題，沒有一個分數是攜帶單位名稱，也就是說書本中的分數表示的都不是具體的數量。在三年級下冊“小數的初步認識”中，第一課時就以“米”作為單位呈現分數形式的數量，再轉化成小數。且不說分數轉化小數的跨越有多大，先理解從未見過的“[110]米”就足夠對一部分學生造成困擾。所以，教材的安排存在一定的知識斷層。

自然數可以看作是若干個計數單位“一”累積起來的，有幾個“一”就是自然數幾。關于這一點，學生從一年級入學就建立了根深蒂固的認知基礎。那么，分數教學和之前的自然數教學就沒有任何交集，屬于“另起爐灶”的一種全新的數概念教學嗎？答案是否定的。盡管分數的教學建立在二年級下冊“平均分”的實踐經驗之上，但在教學中，教師如果刻意強調“分數是分出來的”，以及強化分數含義中的部分與整體關系，人為割裂分數與自然數之間一脈相承的內在聯系，即分數也是“數”出來的，勢必會對學生理解分數的本質含義造成困擾。在直觀理解和動手操作“平均分”的基礎上，繼而引導學生從“分數單位累積”的角度認識分數，可以為學生理解“分數和整數一樣是一個數”奠定基礎。

（二）學生在哪里：聚焦數據下學生的原生態(tài)學習起點

為了解本班學生分數學習的起點，筆者對學生本班45位學生進行了前測調研。寫出假分數的學生數量之多超乎筆者意外，很多學生尚未形成正確的分數認知。

筆者布置題目：請你用畫一畫的方式表示四分之一，并寫一寫你的想法。從此題的前測情況來看，除了4個完全不會的學生，其他41個學生基本上都會將一個圖形或者一堆物體分成四份，基本能夠準確地表示其中的一份就是“四分之一”，說明學生對于分數的產生來源于“平均分”物體具有本能的感知。但是在表述這個分數的含義時，僅有5個學生準確地點出了關鍵字“平均分”，也就揭露了學生最原始的知識起點，而關于分物中需要“平均分”，這需要教師在教學活動設計中讓學生充分感悟和理解。

（三）教前設想：以學定教立足概念教學原生點

1. 借助自然數“1”的等分關系，建構分數模型

學生學習新知時，如果這個新知與原來的經驗是吻合的，那么學生就容易接受;如果這個新知需要另起爐灶，那么學生的學習就相對較慢。在學習分數之前，“1”是學生認識的最小的自然數計數單位。通過自然數“1”的疊加產生更大的自然數。但是，比1更小的數量該如何表示呢？為了解決這個問題，于是人們就創(chuàng)造出了一個新的數的形式，也即是“分數”。那么，在教學中，我們是否也能站在這個歷史背景下，讓學生感受分數產生的必要性呢？要表示比1更小的數，可以把1再按照一定的標準進行平均分割（統(tǒng)一度量單位），進而引入分數，構建分數模型。

2. 通過平均分自然數“1”，創(chuàng)造計數單位

“分數單位”是分數的基本組成部分，也是分數運算的基礎。但是與自然數不同的是，分數的計數單位是人為地等分“1”創(chuàng)造出來的，分法的不同，分數單位及其個數也不相同。正是這種分數有別于自然數的“多變”的特性，也使得學生在學習分數中困難重重。因此，教學中重視分數單位的理解和運用，讓學生在實際操作比較過程中，感受到分數單位是組成分數最小的元素，為進一步學習分數奠定良好基礎。

3. 延續(xù)“自然數”觀念，讓數系擴充自然發(fā)生

分數盡管在產生、形式、讀法等方面都有別于自然數，但它仍然是數，前期學生在自然數學習中形成的“數”的觀念在分數教學中應該延續(xù)，這樣有利于對分數是數的認可，有利于對分數的意義的理解，也有利于建構起分數與數之間關系的結構體系，還有利于建構起分數內部的結構體系。

4.“量”“率”并行，有效緩解知識斷層

現行的大部分小學教材中，都是通過部分與整體的關系，引入分數教學。這與學生之前的認識自然數的邏輯規(guī)律（先量再率）相違背，也一定程度上增加了學生學習分數的難度。以“量”引入分數，攜“率”并行，力求突破分數教學兩大難點。

二、教學實踐：讓數概念構建“自然”發(fā)生

基于前述對分數概念體系的整體把握和學情分析，筆者以及團隊成員們對本節(jié)課進行了多次的實踐，最終呈現了如下的教學過程。

【片段一】復習舊知，“自然”引入

師：如果左圖代表一個正方形，那么右邊這個圖形代表幾個？你是怎么想的？（2個一是2，2里面有2個一）

怎樣表示3個呢？（3個一）

想一想這個圖形表示幾，說說理由？（一個一個去擺擺看，看有幾個一）

引導：是的，我們學過的數都可以看作是由若干個1累加起來的。數一數，有幾個1就是自然數幾。

【片段二】造成沖突，遷移認知

提出疑問：這是1個大正方形，數一數，這個陰影部分有幾個？你想用一個怎樣的數來表示這個陰影部分的數量呢？

過程一：探究比“1”更小的數的表達方法

1. 思考：這個小正方形與原來的大正方形有什么關系？（用折一折、分一分、畫一畫等方法證明）

2. 你會用一個怎樣的數表示這個小正方形？

3. 和同桌說一說你的想法。

學生出現如下表示方法：1、4、[41]、[14]、0.25……

集體探討，排除不可能的1、4，感受這是一個比1更小的數。其中小數0.25暫不研究。

過程二：認識[14]個

1. 提出“分數”的名稱。

2. 請表示了[41]個、[14]個的兩位學生分別闡述自己的想法，教師總結歸納：當要表示一個比1個更小的數量時，可以把這個1個再進行分割，按一定標準分割，每份分得同樣多，也就是平均分。

3. 揭示分數含義。

4. 教學四分之一的讀法、寫法、各部分名稱。根據分的過程理解分子、分母的含義，深化對分數的認識。

在分數的教學中，我們改編教材原本的安排，以具體的帶單位名稱的數量引入分數概念，和自然數教學有效銜接，有利于學生的理解。另外，在這個環(huán)節(jié)的教學中，要強調分數的產生是建立在等分的基礎上，“按照一定標準分割”就是要統(tǒng)一度量單位去測量，這和自然數用統(tǒng)一的計量單位是一個道理。

【片段三】類推遷移，整合認識

過程一：認識幾分之一，建立幾分之一的分數模型

1. 出示[12]個，[15]個，[18]個的圖形或實物，說一說這些陰影部分又可以表示多少個呢？說一說每個分數表示的含義。

2. 學生舉例分子是1的分數

教師追問：把1張紙平均分成6份，每份是（? ）張。

[110]米是什么意思？你來說說看。

3. 尋找?guī)追种贿@種分數的共同點。

生：都是平均分成幾份，取了其中的1份。

師：是的。我們把平均分的份數寫在分數線的下面，把取的1份寫在分數線的上面，就寫出了像[1（? ? ? ? ）]這樣的分數。

過程二：關聯本質，認識幾分之幾

1. 認識幾分之幾

師：這是[14]個，如果再取一份，現在是幾個呢？你是怎么想的？

生：把一個圖形平均分成四份，取其中的2份，就是[24]個。

師：也就是2個這樣的[14]。（板書：2個[14]就是[24]）

師：那3個[14]呢？再增加1個[14]呢？

一起來數一數。1個[14]、2個[14]……4個[14]是[44]。

師：請你仔細觀察，[44]也就是什么？就是我們以前學習過的“1”個。我們把“1”個正方形平均分成了4份，這里的每一份都是[14]個正方形。

此環(huán)節(jié)中進行了兩次的遷移。第一次，由“[14]個”遷移到任何圖形、任何物體的“幾分之一”，其表示的含義是一樣的，順利構建起幾分之一的分數模型。第二次遷移是在認識幾分之幾。盡管三年級下冊初次接觸分數，不宜直接提出分數單位的概念。但是，借鑒數整數的經驗，讓學生感受到分數也是可以數的，溝通自然數和分數的內在聯系，深化分數的本質含義，即分數是由分數單位累加而來的。

再者，幾分之幾的素材選取也是經過筆者深思熟慮的。課始以“1個”正方形為切入點，通過等分引入分數，再通過取不同個數的分數單位認識幾分之幾，最終又通過計數單位的累加回到自然數“1”。這樣一個首尾呼應的過程，讓整數和分數的內在聯系更為密切。

過程三：內在構建，貫通內含

1. 尋找聯系

師：因為分數是平均分后產生的，所以也有人說分數是先分后數，你覺得有沒有道理？

2. 建立模型

師：這些都是分數，觀察一下，你認為分數是一個怎樣的數？

師：不管是幾分之一，還是幾分之幾，都是將平均分成（? ）份，取了其中的（? ）份，寫作[（? ? ? ? ）（?; ? ? ? ）]。這就是我們今天要認識的分數。

尋找聯系環(huán)節(jié)，打破分數教學另起爐灶的教法，將自然數和分數內部打通，使得數學知識一脈相承，與課前提出的“數起源于數”相呼應。最后，將分數構建模型化，深化認知。

【片段四】自主創(chuàng)造，初步領悟雙重含義

1. 創(chuàng)造分數

活動要求：

（1）折一折，分一分，取出的部分畫斜線。

（2）說一說陰影部分可以用哪個分數來表示。

2. 對比感悟

選取各種圖形的四分之一作品。

師：這些陰影部分的形狀、大小都不一樣，為什么都可以用“[14]個”表示呢？

生：因為都是把一個圖形平均分成4份，其中的每一份都可以用“[14]個”表示。

生：因為陰影部分都表示的是各自圖形4份里面的1份。

師：說得很好。分數可以表示一個具體數量，把1個圖形平均分成4份，其中的1份就是[14]個。同時，分數也可以表示一種關系，把1個圖形平均分成4份，其中的1份我們也可以說它是整個圖形的[14]。我們會在后續(xù)的學習中，繼續(xù)研究分數的兩種含義。

“量”和“率”的區(qū)分，需要學生在實際操作中內化感悟。教師有意識地引導學生初步感受“[14]”這個分數，它既可以表示數量，同時也能表示部分與整體的一種關系，只要淺嘗輒止即可。深入的研究，在第一課時肯定無法完成，需要在后面的課時中，繼續(xù)加深學生理解和感悟。

三、結語

由于分數在數學教學中的特殊地位，以及其完全有別于自然數教學的特性，教育者們從未停止過對分數教學的研究與探討。筆者通過前期的解讀和后續(xù)的實踐，對三年級分數教學的初始階段，稍有感悟，但自知研究尚未完全，還有很多疑惑亟須解決。文章實踐的僅是本單元的第一課時，在大觀念統(tǒng)領下，筆者也對本單元“分數的初步認識”教學章節(jié)進行了整合安排。本課題的研究未完待續(xù)，對于分數教學相關內容的研究，也需要在更多的實踐中加以積累和提升。