基于Vine Copula的投資組合風險度量和相關結構研究

閆海波，李明明

摘 要：本文選取了滬深300下六個行業(yè)指數(shù)，分別用C-Vine、D-Vine、R-Vine進行相關結構建模。研究發(fā)現(xiàn)：D-Vine結構對相關結構的擬合程度最好，在不斷引入新行業(yè)指數(shù)后，可以明顯地發(fā)現(xiàn)降低其結構的相關性。然后對其投資組合進行風險性度量，VaR經(jīng)常作為衡量風險的指標，但VaR不符合資產(chǎn)的一致性風險測度和無法捕捉尾部極端風險，故使用CVaR作為投資組合風險的指標。綜上，資產(chǎn)之間的相依結構能起到優(yōu)化投資組合的效果，在降低投資組合風險的同時增加了回報率。

關鍵詞：Vine Copula;GARCH-EVT;CVaR;投資組合

中圖分類號：F830.59? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）05-0040-05

引言

投資組合問題一直是投資者所關注的問題，隨著金融一體化的進行，市場間的波動相依性逐漸加強。尤其是在全球疫情期間，全球經(jīng)濟低迷，給投資者帶來了巨大的損失。因此研究投資組合風險和相關結構具有重大的意義。

自從Sklar在1959年引入Copula的概念以來，Copula在金融領域的應用逐漸趨于成熟。鑒于股票市場間的波動相依是非線性和條件相關的事實，學者引入了Vine Copula的圖形化思想來構建資產(chǎn)間的條件相依結構。馬薇、馬會元、鄧夢馨[1]對亞洲國家進行條件相依性結構穩(wěn)健性分析。林宇、梁州、林子梟、吳慶賀[2]用R-Vine Copula對全球代表性的七只股票進行相依性結構分析。結果表明：在資產(chǎn)的風險和結構性不一的情況下，投資組合可以有效地降低風險，同時也可獲取可觀的收益。吳玉寶、汪金菊[3]用ARFIMA-GARCH-Copula模型對滬深股市的相關結構與投資組合風險度量進行分析。邢可可[4]使用Vine-Copula模型對原油、黃金等六種資產(chǎn)進行相關結構研究和投資組合風險度量。羅華健[5]運用馬爾可夫Copula模型對不同經(jīng)濟時期的量價關系進行研究。葉五一、郭人榛、繆柏其[6，7]基于R藤Copula分析金磚四國的主要股指與全球指數(shù)之間的相依性結構，繼而對各個國家的穩(wěn)定性和風險傳染進行研究。張幫正、魏宇、余江、李云紅[8]基于EVT，分別C-Vine、D-Vine、R-Vine綜合探討中國不同金融市場之間的凈相關關系。梁州、李昊、林宇[9]用Vine-Copula對全球的七大股指期貨進行相依結構研究，更加準確的測量其投資組合的風險。佘笑荷、王曉芳、楊來科[10]基于藤式Copula對股票、黃金、能源類資產(chǎn)以及美元等六種資產(chǎn)進行資產(chǎn)間的相依性和組合波動風險研究。Han X， Liu Z， Wang S[11]使用R-vine copula方法研究了倫敦金屬交易所有色金屬商品期貨之間的依賴結構，重點比較了結構斷裂前后的依賴結構。楊坤、于文華、馬靜[12]運用Vine Copula和滾動時間窗的蒙特卡羅模擬方法刻畫資產(chǎn)間的相依性和動態(tài)風險測度。

通過上述學者對Vine Copula研究的梳理，從中可以發(fā)現(xiàn)一些不足部分。許多學者注重對Vine Copula建模的研究，而忽略了對邊緣分布擬合的精確性和尾部風險的捕捉。因為金融時間序列經(jīng)常出現(xiàn)尖峰厚尾的特征，可能還會出現(xiàn)長期記憶性，故本文使用EVT的廣義帕累托分布來對標準殘差進行擬合。VaR經(jīng)常作為衡量風險的指標，但VaR不符合資產(chǎn)的一致性風險測度和無法捕捉尾部極端風險，故本文使用CVaR作為投資組合風險的指標。使得本文研究更加具有現(xiàn)實意義。

1 理論部分

1.1 Sklar定理

設H（x1，x2，…，xn）為n維隨機變量x1，x2，x3，…，xn的聯(lián)合分布函數(shù)，其對應的邊際分布別為F1（x1），? F（x2），…，F(xiàn)（xn），則存在一個函數(shù)C（·）滿足：

H（x1，x2，…，xn）=C（F1（x1），F(xiàn)（x2），…，F(xiàn)（xn））

若F1（x1），F(xiàn)（x2），…，F(xiàn)（xn）是連續(xù)的，則C是唯一的。否則C僅在Rank（F1）×Rank（F2）…×Rank（Fn）上唯一。

1.2 Vine Copula模型

參數(shù)估計Vine Copula模型常用于資產(chǎn)投資組合的相關結構研究。Vine Copula模型是由節(jié)點和邊組成的一系列樹的組合，n維的Vine Copula結構含有n-1棵樹和n-1個節(jié)點，設n維的Vine Copula的邊集合為Ei，節(jié)點集合為Ni，任意邊為e= j（e），k（e）/D（e）∈Ei。其中D（e）表示兩個節(jié)點之間的連接條件。k（e）和j（e）分別代表邊e和樹T（i）的兩個節(jié)點。cj（e），k（e）/D（e）可以表示邊e的pair-Copula的密度函數(shù)，Y={Xi}，i=1，2，…，n，YD（e）表示D（E）的條件向量。Fi和fi分別為Xi的邊際分布和邊緣密度函數(shù)，則Y的聯(lián)合密度函數(shù)可以表示為[1]：

f（y，y，…，y）=■fk（yk）■■cj（e），k（e）/D（e）（F（yj（e）/yD（e）），F(xiàn)（yk（e）/yD（e）））

其中yj（e）/yD（e）和yk（e）/yD（e）為條件分布函數(shù)。

1.3 參數(shù)估計

本文選用ARMA-GARCH-EVT模型對邊緣分布進行模擬，因為金融數(shù)據(jù)一般會出現(xiàn)尖峰厚尾的特征，故使用EVT中的廣義帕累托分布對其經(jīng)驗分布函數(shù)進行擬合。估計Vine Copula參數(shù)使用全局似然估計方法，其函數(shù)表達式如下所示：

■■■ln（c■）（F■

（x■，t），F(xiàn)■（x■，t））

算法步驟如下：

（1）計算資產(chǎn)間的Kendall相關系數(shù)，采用最大生成樹的方法確定第一棵樹結構。

（2）先對其進行獨立性檢驗，進而采用獨立的Copula函數(shù)擬合數(shù)據(jù)，然后應用AIC準則為第一棵樹的邊確立Copula函數(shù)的類型。

（3）通過第一棵樹的Copula函數(shù)運用確定條件觀測值，從而又可以采用最大生成樹算法來確定第二顆樹的結構[7]。

（4）不斷迭代下去直到所有結構及參數(shù)確定[7]。

（5）用全局似然估計方法計算模型的最終參數(shù)值。

2 實證部分

數(shù)據(jù)來源：該數(shù)據(jù)來自wind數(shù)據(jù)庫中滬深300指數(shù)中金融指數(shù)、醫(yī)療指數(shù)，材料指數(shù)，能源指數(shù)，工業(yè)指數(shù)，房地產(chǎn)指數(shù)六個指數(shù)。選取2011年11月16日到2021年11月15日，共5092組數(shù)據(jù)。

2.1 ARMA-GARCH-EVT的建模

選取2011年11月16日到2019年11月15日的日收盤價數(shù)據(jù)，先對其日收盤價進行對數(shù)收益率計算，然后對其進行單位根檢驗，其ADF檢驗的結果如下：

從上表可以看出，該六組資產(chǎn)都通過了單位根檢驗，說明該序列為平穩(wěn)序列。

對數(shù)收益率進行GARCH模型建模的前提就是要保證該數(shù)據(jù)具有ARCH效應。經(jīng)檢驗，該六組數(shù)據(jù)都具有ARCH效應，在此對這六組數(shù)據(jù)進行ARMA-GARCH模型的建模，根據(jù)AIC，BIC等指標，選取最佳的ARMA-GARCH模型。基于篇幅的原因，我將最后的建模結果列于下表：

對其對數(shù)收益率進行ARMA-GARCH模型建模后，提取其標準殘差進行邊概率積分變化，因其分布常常呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征，故使用極值理論中的廣義帕累托分布對其經(jīng)驗分布函數(shù)進行擬合，為下一步vine-copula的建模奠定基礎。

2.2 C-Vine Copula模型的建模

用R語言來構造C-Vine Copula模型，其結果如下表所示：

在C-Vine Copula模型第一層樹中，能源指數(shù)（4）處于樹的結點的位置，說明能源指數(shù)（4）與其它指數(shù)之間的相關性是最大的?？梢园l(fā)現(xiàn)工業(yè)指數(shù)（2）和能源指數(shù)（4），房地產(chǎn)（1）的Kendall相關系數(shù)均為-0.01，上下尾部對稱，故它們的連接Clayton copula函數(shù)旋轉90度來描述。從第一層樹中可以發(fā)現(xiàn)能源指數(shù)（4）和醫(yī)療指數(shù)（5）具有很強的正相關性，當股市處于熊市時，能源指數(shù)（4）和醫(yī)療指數(shù)（5）很大可能性會出現(xiàn)同時下跌，會大大地增加投資的風險。其上下尾部相關系數(shù)相同，故可以用t copula函數(shù)來進行連接。能源指數(shù)（4）和材料指數(shù)（6）的Kendall相關系數(shù)為負值，則表明能源指數(shù)（4）和材料指數(shù)（6）進行投資組合降低了整體的風險，使用Frank Copula函數(shù)來描述它們的相關結構。

在第二層結構中，引入能源指數(shù)（4）的情況下，工業(yè)指數(shù)（2）、金融指數(shù)（3）與材料指數(shù)（6）之間的相關結構均用t Copula函數(shù)來銜接。可以發(fā)現(xiàn)引入能源指數(shù)（3）后，整體的風險降低了，尤其醫(yī)療指數(shù)（5）和材料指數(shù)（6）之間更加明顯。從第三層樹到第四層樹中可以發(fā)現(xiàn)，隨著新的行業(yè)指數(shù)的進入，整體的風險逐漸降低。但在第五層樹中，隨著房地產(chǎn)指數(shù)（1）和醫(yī)療指數(shù)（5）的加入，整體風險增加了。這是在于房地產(chǎn)指數(shù)（1）和醫(yī)療指數(shù)（5）與其它指數(shù)之間的相關系數(shù)為正值，它們的加入，非但沒有降低風險，反而增加了風險。因此在進行投資過程中，盡量避開相關性較強的資產(chǎn)進行組合，這樣才能有效地規(guī)避風險。

2.3 D-Vine Copula模型的建模

用R語言來構造D-Vine Copula模型，其結果如下表所示：

在D-Vine Copula模型第一層樹中，它沒有中心節(jié)點，金融指數(shù)（3）和材料指數(shù)（6）處于樹的邊緣部分，表明金融指數(shù)（3）和材料指數(shù)（6）與其他四個指數(shù)關聯(lián)程度不大。據(jù)模型可以看出：工業(yè)指數(shù)（2）和金融指數(shù)（3）、能源指數(shù)（4）和醫(yī)療指數(shù)（5）均用t Copula函數(shù)進行相關結構研究。在第二層樹中，在引入能源指數(shù)（4）的情況下，醫(yī)療指數(shù)（5）、材料指數(shù)（6）和能源指數(shù)（4）的投資組合有效地降低整體風險。在引入房地產(chǎn)指數(shù)（1）和醫(yī)療指數(shù)（5）的情況下，房地產(chǎn)指數(shù)（1）和能源指數(shù)（4）及工業(yè)指數(shù)（2）和醫(yī)療指數(shù)（5）均用Clayton copula函數(shù)旋轉270度來描述其相關結構。在第二層樹到第五層樹從中可以發(fā)現(xiàn)，引入一個新的市場指數(shù)之后，都有效地降低了其投資組合的風險。

2.4 R-Vine Copula模型的建模

用R語言來構造R-Vine Copula模型，其結果如下表所示：

在R-Vine Copula模型第一層樹中，它與D-Vine模型一樣沒有中心節(jié)點。醫(yī)療指數(shù)（5）和材料指數(shù)（6）處于樹的邊緣部分，表明醫(yī)療指數(shù)（5）和材料指數(shù)（6）與其他四個指數(shù)關聯(lián)程度不大。從中可以看出每兩個行業(yè)指數(shù)之間的Kendall系數(shù)都為正值，其意味著當熊市來臨時，任何兩個資產(chǎn)進行投資組合在很大可能面臨同時下跌的危險。從中可以看出工業(yè)指數(shù)（2）和材料指數(shù)（6）、金融指數(shù)（3）和房地產(chǎn)指數(shù)（1）、能源指數(shù)（4）和醫(yī)療指數(shù)（5）之間均用t Copula函數(shù)來描述其相關結構。在第二層帶第五層，可以明顯地看到，隨著資產(chǎn)數(shù)量的不斷增加，資產(chǎn)間的Kendall系數(shù)逐漸變小，其風險的逐漸變小。

2.5 Vine Copula模型的擬合效果比較

本文使用極大似然估計對Vine Copula模型進行擬合效果比較，結果如下表所示：

從上表可以看出：根據(jù)AIC、BIC、對數(shù)似然比可以看出，D-Vine模型的擬合程度最好，能相對準確的描述資產(chǎn)組合的相關結構。

2.6 CVaR的度量

VaR經(jīng)常作為衡量風險的指標，但VaR不符合資產(chǎn)的一致性風險測度和無法捕捉到尾部極端風險，故使用CVaR作為投資組合風險的指標。

從上表可以看出，金融指數(shù)屬于低風險產(chǎn)品，而其它五個指數(shù)都屬于中高風險產(chǎn)品，當對其進行投資組合時，其明顯降低了投資風險。對于不同的置信水平，假如投資者是一個風險偏好者，可以選擇比較高的置信水平，同時也會面臨比較大的損失。

2.7 Kupeic檢驗

將使用2019年10月25日到2021年11月15日的數(shù)據(jù)，共500組數(shù)據(jù)，對CVaR進行回溯檢驗，使用Kupeic檢驗。

從上表可以看出D-Vine模型的擬合效果最好，更能對投資組合風險進行相對準確的刻畫。

3 結論及建議

（1）合理配置資產(chǎn)比例。從Vine Copula結構可以看出，每個資產(chǎn)之間的Kendall系數(shù)不一樣的，材料指數(shù)的風險較高，可以適量減少其資產(chǎn)投資比例。金融資產(chǎn)的風險較低，可以適當?shù)脑黾悠滟Y產(chǎn)投資比例。這樣可以有效地規(guī)避其投資風險。

（2）合理選擇和分散投資風險。從Vine Copula模型的結果可以看出，引入一個新的行業(yè)指數(shù)之后，整體的風險逐漸降低。但各個資產(chǎn)之間的相關性不同，在進行投資組合時，盡量避免將相關性強的資產(chǎn)進行投資組合。例如工業(yè)指數(shù)和材料指數(shù)之間的相關性很強，在熊市時，會出現(xiàn)同時下跌的可能性，這樣不能分散其投資風險。因此在進行投資時，要選擇相關性較弱或者相關性為負的產(chǎn)品種類，這樣可以有效地規(guī)避風險。

（3）重視小概率事件風險。CVaR對不同投資組合的反應更為敏感，也就是在小概率下的風險值。忽視小概率事件會導致嚴重后果，如恒大公司的瀕臨破產(chǎn)等“黑天鵝”事件。因此注重小概率事件是很有必要的。

參考文獻：

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