突破雙變量問題 提升核心素養(yǎng)

董亞亞

由于“雙變量”問題能夠較好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的實(shí)際能力，突出地體現(xiàn)了抽象思維能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力在解題中的靈活、綜合運(yùn)用，所以此類試題備受各級各類考試命題者的青睞.那么，如何突破雙變量問題，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？為了有效解決這個問題，本文擬通過歸類解析的形式加以具體剖析，旨在幫助學(xué)生理清常用解題策略，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

一、雙變量不等式恒成立問題

由于以函數(shù)為載體設(shè)置的“雙變量”不等式恒成立問題，往往與函數(shù)的單調(diào)性具有某種緊密聯(lián)系，所以處理此類問題的關(guān)鍵就是在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確分析恒成立不等式的外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以便靈活構(gòu)造新函數(shù)，并運(yùn)用新函數(shù)的單調(diào)性，巧妙求解目標(biāo)問題.

1.根據(jù)“雙變量”分式不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍

一般地，遇到含有“雙變量”的分式不等式恒成立，可通過去掉分母進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得不等式兩邊的外在結(jié)構(gòu)相同，從而便于構(gòu)造函數(shù)，并靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，

評注 根據(jù)題設(shè)條件，將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，有利于幫助迅速發(fā)現(xiàn)不等式的外在結(jié)構(gòu)持點(diǎn)，進(jìn)而極易想到構(gòu)造函數(shù)，并靈活運(yùn)用函數(shù)的單凋性巧妙解決目標(biāo)問題.

2.根據(jù)“雙變量”絕對值不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍

一般地，遇到含有“雙變量”的絕對值不等式恒成立，可借助函數(shù)的單調(diào)性以及不等式知識，靈活去掉絕對值實(shí)施適當(dāng)變形，使得不等式兩邊具有相同的外在結(jié)構(gòu)，從而有利于構(gòu)造新函數(shù)，并靈活運(yùn)用新函數(shù)的單調(diào)性，順利求解參數(shù)的取值范圍，

評注 本題設(shè)出x1，x2的大小關(guān)系，可將題設(shè)約束條件中的兩個絕對值符號去掉，顯然有利于發(fā)現(xiàn)不等式具有的外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)知識可獲得含參不等式恒成立，最后利用“分離參數(shù)法”即可順利求解參數(shù)的取值范圍，

二、涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題

處理涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題時，首先要準(zhǔn)確理解全稱量詞“任意”與存在量詞“存在”的具體含義：其次解題最關(guān)鍵的地方就是將題設(shè)已知條件中含有全稱量詞或存在量詞的約束條件，等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系，或者等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最值之間的大小關(guān)系：最后再通過構(gòu)建不等式組或不等式進(jìn)行靈活分析、求解.

1.根據(jù)“任意、存在型等式成立”，求參數(shù)的取值范圍

一般地，如果題設(shè)條件中給出了“對任意x1∈A，都存在x2 ∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”，對于這樣的雙變量問題，可將之等價轉(zhuǎn)化為：函數(shù)廠（x）的值域（當(dāng)X∈A時）是函數(shù)g（x）的值域（當(dāng)x∈B時）的子集，然后再通過構(gòu)建不等式組即可順利獲解.為了便于記憶，可將此轉(zhuǎn)化策略簡記為“任意值域是存在值域的子集”.

評注 本題求解關(guān)鍵點(diǎn)有兩個：一是將“任意、存在型等式成立”問題，等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系：二是根據(jù)值域的包含關(guān)系，準(zhǔn)確構(gòu)建含有參數(shù)的不等式組.

2.根據(jù)“存在、存在型等式成立”，求參數(shù)的取值范圍

評注解題關(guān)鍵點(diǎn)：一是將“存在、存在型等式成立”問題，等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的交集非空;二是靈活借助求補(bǔ)思想（因?yàn)橹苯臃治鲚^為繁瑣），巧妙求解參數(shù)的取值范圍.

3.根據(jù)“任意、存在型不等式成立”，求參數(shù)的取值范圍

（1）如果題設(shè)條件中給出了“對任意x1∈A，都存在x2，∈B，使得f（x1）

（2）如果題設(shè)條件中給出了“對任意x1，∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）>g（x2）成立”，對于這樣的雙變量問題，可將其等價轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）的最小值（當(dāng)x∈A時）大于函數(shù)g（x）的最小值（當(dāng)x∈B時），然后再通過解不等式即可順利獲解.為了便于記憶，可將此轉(zhuǎn)化策略簡記為“任意的最小值大于存在的最小值”，

評注 本題涉及雙勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與不等式知識的綜合運(yùn)用，具體解題時，首先要理清題設(shè)約束條件可等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最大值之間的不等關(guān)系，然后準(zhǔn)確構(gòu)建不等式求解，

總之，結(jié)合上述歸類解析可知：分析、解決雙變量問題，必須以題設(shè)含有雙變量的約束條件做為解題的切入點(diǎn)，如果是雙變量不等式恒成立，則需要在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上，靈活構(gòu)造函數(shù)，并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決問題：如果是涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題，則需要在等價轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用函數(shù)的值域（或者最值），構(gòu)建不等式組（或者不等式）解決問題，一言以蔽之，突破雙變量問題，能夠提高學(xué)生的解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（收稿日期：2022 - 03 - 02）C67D70A0-60EF-486A-8BDD-4C4CE3174891