航天器非線性動力學專業(yè)課程中分形維數(shù)的概念教學設計

代洪華 謝丹 岳曉奎 朱戰(zhàn)霞

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2022.17.019

摘? 要：文章針對西北工業(yè)大學的航空航天專業(yè)航天器非線性動力學研究生課程的分型維度這一重要專題，圍繞其教學設計、教學過程、教學思路和教學效果分析等進行創(chuàng)新，探索性地對航空航天類專業(yè)課程教學進行改革，旨在將創(chuàng)新思維培養(yǎng)、創(chuàng)新能力塑造的理念融入工科專業(yè)課程中，達到“如鹽在肴，融于細微”的效果。文章所提出的教學設計方法將對推進西北工業(yè)大學專業(yè)課程實踐具有重要引導作用。

關(guān)鍵詞：教學設計;航空航天;專業(yè)課程;分型維度

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2022）17-0076-04

Abstract： This paper focuses on the innovative teaching design of the concept of Fractal Dimension in an aerospace major course， Spacecraft Nonlinear Dynamics， in Northwestern Polytechnical University. Upon centering around the innovations during the phases of teaching design， teaching process， teaching concept， and teaching effect assessment， the teaching methodology of this aerospace major course has been explored and reformed， with the purpose of insensibly adding cultivation of innovative thinking and creative ability into the teaching process. The proposed teaching design methodology is promised to push forward reform process of the major course of Northwestern Polytechnical University.

Keywords： teaching design; aerospace; major course; fractal dimension

一、教學設計思路

混沌理論被譽為20世紀科學界最偉大的三大理論之一，與相對論、量子力學并列?；煦缋碚撌欠蔷€性動力學研究生課程的核心內(nèi)容，涉及的科學內(nèi)容非常豐富。其中一個重要知識點是“fractal”即“分形”，分形的數(shù)學基礎是分形維數(shù)。分形理論認為空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的非整數(shù)。該觀點跟學生接受的傳統(tǒng)歐幾里得整數(shù)維數(shù)不同，帶來教學中的講授、理解難度。

本節(jié)課遵循科學研究的思維方法，采用“提出問題-分析問題-求解問題-推廣應用”的思路，進行分形維數(shù)概念的學習，為深入學習分形幾何奠定基礎。首先，從計算規(guī)則幾何形狀的維數(shù)出發(fā)，擴展到如何計算某些特殊幾何形狀（分形）的維數(shù)，引發(fā)學生關(guān)于維數(shù)定義的思考。其次，將問題抽象成數(shù)學模型，通過對規(guī)則幾何物體維數(shù)的分析，引出維數(shù)的傳統(tǒng)定義方式，先從已有知識入手，進而將其推廣到分形圖形上，并解釋了自相似維數(shù)、盒維數(shù)等分形維數(shù)的數(shù)學意義。再次，通過對一些分形幾何圖案的深入分析，強化了對分形維數(shù)概念的理解。最后，通過展示維數(shù)在分形幾何領域的應用，闡明維數(shù)的科學及應用價值，引導學生理解維數(shù)的內(nèi)涵。

課程難度安排上由淺入深，讓學生易于接受分形維數(shù)這一顛覆性的概念。課程結(jié)合Matlab、Mathematica、Geogebra等數(shù)學軟件進行演示，實現(xiàn)了抽象數(shù)學概念的形象化展示，以達到多層次教學的目標。

二、教學過程

（一）問題的提出

1967年，國際權(quán)威期刊《Science》雜志上發(fā)表了一篇劃時代的論文，它的題目是《英國的海岸線有多長？統(tǒng)計自相似性與分數(shù)維數(shù)》。該論文揭開了分形維數(shù)的研究序幕。一種新的科學理論的提出，往往是在歸納現(xiàn)有的理論的基礎上，進行適當?shù)耐茝V與引申而得到的。為了引導學生主動思考，在課程的開始，首先拋出一個與“英國的海岸線有多長？”異曲同工的問題：從遠處觀察一根毛線，是一維的線。再細看，它是三維柱體。再近一些，觀察毛線上的纖維，又是一維的線。再靠近，則纖維又變成了三維柱體。如此循環(huán)往復，發(fā)現(xiàn)維數(shù)竟然是隨著觀察尺度的不同而變化的，這似乎打破了日常的認知，那么究竟應該建立怎樣的數(shù)學模型來描述維數(shù)的特征？如何得到維數(shù)明確的結(jié)果呢？

（二）拓撲維數(shù)的局限

力學的學習是一個循序漸進的過程，需要從基礎知識講起，才能做到深入淺出。為了實現(xiàn)對以上問題的分析，首先得從拓撲維數(shù)講起。拓撲維數(shù)表示描述一個對象所需的獨立變量的個數(shù)，是人類認識世界的最原始的維度概念。比如描述光滑曲線上一個點的位置，所需的獨立變量個數(shù)為1，即當前點與參考點之間的距離，因此光滑曲線的拓撲維數(shù)為1。更進一步，在平面上確定一個點需要兩個坐標，因此正方形、圓、橢圓等平面圖形的拓撲維數(shù)是2。在三維空間中確定一個點需要三個坐標，因此立方體、球體等立體圖形的拓撲維數(shù)是3。

通過抽象出幾何對象的數(shù)學模型，找到了計算一般幾何圖形拓撲維數(shù)的方法，但是這種方法是否通用？此時，為了引導學生認識到拓撲維數(shù)的不足，引入一種新的幾何圖形——Cantor集，如圖1所示。三等分一條線段并挖去中段，再把剩下的兩段同樣三等分并挖去中段，如此無限地進行下去，得到由無窮多離散的點組成的Cantor集?？梢越柚鷶?shù)學軟件Mathematica向?qū)W生動態(tài)演示Cantor集的生成過程。

記初始的線段為S，第n次迭代得到的圖形為S，S的所有線段長度之和記為L，則L=1，L=2/3，…，L=（2/3），…，L=0。通過總結(jié)長度的變化規(guī)律，得出結(jié)論：無限迭代下去，最終Cantor集的長度將為0，即無限多個點集中在長度為0的區(qū)間內(nèi)，無法用拓撲維數(shù)解釋其結(jié)構(gòu)，因為它的拓撲維數(shù)既不是0也不是1，這顯然與我們的常規(guī)認知相違背。通過這個例子，我們看到拓撲維數(shù)的定義有一定的局限性。

之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因為Cantor集比常見的幾何圖形更加“復雜”，而我們依然嘗試用拓撲維數(shù)來分析這一“復雜”的幾何圖形。對于Cantor集，既然其拓撲維數(shù)無法通過計算得到，那么該如何定義新的維數(shù)來描述它？此外，可以看到拓撲維數(shù)一定是整數(shù)，那么這種新的維數(shù)是否可能不是整數(shù)？

（三）分形維數(shù)的概念

1. 自相似維數(shù)。事實上，Cantor集的復雜之處在于，它是對自身進行迭代而生成的，具有一定的自相似性，即局部與整體具有相似性。為了對自相似維數(shù)進行描述，先給出自相似集的定義：設A是一個有界集，若A可以分成多個相等的且與A相似的部分，則稱A為自相似集。

通過舉例，進一步說明通常所用的整數(shù)維已不足以用來描述分形，難以描述各種集合充滿空間程度的不同，也難以對比兩個不同分形集的復雜程度。所以，需引入自相似維數(shù)。每一個自相似集都對應一個自相似維數(shù)，這個維數(shù)一般不是整數(shù)的，但對有些特殊的分形集，其維數(shù)也可以是整數(shù)，比如希爾伯特曲線。

2. 盒維數(shù)分形維數(shù)有多種定義，上面自相似維數(shù)只是其中一種，只適用于自相似圖形。一般來說，分形維數(shù)的計算方式復雜，應用不同的定義計算維數(shù)也不盡相同。

下面是Hausdoff關(guān)于維數(shù)的定義：在數(shù)學上，對于m維空間點集A，記N（ε）是覆蓋A所需的半徑為ε的m維球的個數(shù)，則當ε>0時，如果N（ε）的增長規(guī)律服從N（ε）正比于ε，就稱點集A的Hausdoff維數(shù)為d。

Hausdoff維數(shù)需要用到較為復雜的測度理論，計算復雜很少被采用。在實際使用中，經(jīng)常用到的一種維數(shù)是盒維數(shù)，它能夠通過實驗近似地計算出，在一些比較規(guī)則的集合上，盒維數(shù)與Hausdoff維數(shù)是相同的。

盒維數(shù)的通俗解釋如下：直觀地，從“鋪砌”的角度看，用邊長為ε的正方形覆蓋某對象（曲線或區(qū)域），最后數(shù)出所使用的正方形數(shù)目N，改變ε的大小，自然會得到不同的N值，如圖2所示。通常ε越小，需要的N

在實際使用中，常用盒維數(shù)作為分形集的維數(shù)，因為盒維數(shù)方便近似計算。方法是：根據(jù)實際問題的背景和尺度選定ε值的一個合適范圍，并數(shù)出相應的N，作ε與N（ε）的雙對數(shù)圖，由其斜率來近似估計盒維數(shù)。為了加強學生對于盒維數(shù)的直觀理解，下面舉出幾個計算實例。

（1）Cantor集

用長度為ε=（1/3）的線段覆蓋第n次迭代的結(jié)果S，需要N=2個這樣的線段，因此Cantor集的盒維數(shù)為：

Cantor集是自相似集，可以發(fā)現(xiàn)其盒維數(shù)與自相似維數(shù)相等。

（2）計算圖3中圖形的盒維數(shù)

由于這個圖片（圖3中間圖）比較復雜，很難判斷其是否具有自相似性，也不能通過手算的方式得到盒維數(shù)，可以根據(jù)盒維數(shù)的定義，借助計算機輔助計算，具體的算法流程為：

第一步，圖片預處理，把RGB圖像二值化，并把圖片的寬度和高度（像素數(shù)）增廣為2的n次冪，以方便后面的計算;第二步，設置正方形的邊長ε為圖片的寬度（自然，用這樣的正方形覆蓋原圖，需要N（ε）=1個）;第三步，計算N（ε）;第四步，如果ε>1，則令ε∶=ε/2，即把正方形的邊長減半，并重復第三步;第五步，畫出log（N）和log（1/ε）的曲線，并線性擬合，直線的斜率即原圖形的盒維數(shù)。在Matlab中編寫計算盒維數(shù)的程序。除了手動編寫程序，Matlab的工具箱FracLab也提供了計算盒維數(shù)的功能，其算法流程和本文相同，可以在課堂上介紹FracLab的使用方式，增強學生的動手能力。

（四）課后思考

分形維數(shù)的課堂教學，得到學生的普遍好評。其關(guān)鍵在于分形維數(shù)這個概念是對學生傳統(tǒng)思想的沖擊，與此同時又與自然界事物密切聯(lián)系，稱得上是“來源于自然，凝結(jié)于思想”。幾何起源于對自然界物體的抽象，規(guī)則幾何是理想化的產(chǎn)物。為了充分地認識自然，人們提出了分形幾何理論。分形幾何從創(chuàng)立之初，就與自然界物體密切相關(guān)，為人類認識更加復雜的自然界物體提供了新的數(shù)學工具。

分形幾何創(chuàng)始人Mandelbrot猜想，自然界的許多東西都是由重復簡單步驟而產(chǎn)生出來的，這就能夠解釋一些讓人們困惑的現(xiàn)象。正是因為它們具有自相似性，使得它們的維數(shù)不再是整數(shù)，也使得它們更能充分地充滿在空間中。由此可見，生命的演化早已打破整數(shù)維的限制。

宇宙是否是一個分形？太陽系是一種最基本的結(jié)構(gòu)，無數(shù)個這樣的基本結(jié)構(gòu)形成了渦旋狀的銀河系，銀河系與太陽系有著相似性，再進入上一層，這些渦旋狀的銀河作為構(gòu)成元素進一步形成更大的渦旋狀銀河系，最終形成宇宙。如果宇宙是一個分形，那么它的分形維數(shù)應該是多少？

三、小結(jié)

分形維數(shù)是分形理論的重要概念，它們突破了傳統(tǒng)歐氏幾何的局限，為理解更復雜的幾何圖形提供了有效的工具，維數(shù)的定義也是分形幾何的基礎，對日后學習分形幾何和非線性動力學有著較大的幫助。本節(jié)課按照科學研究的一般流程，遵循科學研究的思維模式，先從現(xiàn)實問題出發(fā)，分析傳統(tǒng)維數(shù)定義的局限性，引導學生一步步發(fā)現(xiàn)問題，引出分形維數(shù)的概念。之后，闡明了自相似維數(shù)與盒維數(shù)這兩個重要的概念，并且通過例題進一步鞏固所學的知識。最后，介紹分形維數(shù)的簡單應用，引發(fā)學生對分形與自然界之間聯(lián)系的思考，使學生在學習知識的同時，培養(yǎng)科研的思維方法，達到教學效果的升華。

四、教學效果分析

通過在非線性動力學課程上，對西北工業(yè)大學航天學院2020級秋季博士生實施以科學研究的思維方法為導向的課程設計方案，從課堂效果和課后反饋，以及綜合分析作業(yè)和考試情況，看出本節(jié)關(guān)于分形維數(shù)概念的教學設計，完成了課程知識的傳授，提升了教學質(zhì)量，基本實現(xiàn)了教學改革的目標。首先，先從實際問題中提煉出維數(shù)的概念，讓學生明晰維數(shù)的研究背景，進而提到拓撲維數(shù)的局限性，層層鋪墊，使得分形維數(shù)這一新概念呼之欲出，充分調(diào)動了學生的興趣，也讓學生明確了提出科學問題的一般過程。其次，從分析幾個簡單的自相似集的維數(shù)入手，由淺入深，循序引出自相似維數(shù)與盒維數(shù)的概念，并且穿插講授各種維數(shù)之間聯(lián)系與區(qū)別，讓學生了解分析科學問題的一般方法。再次，在所學知識的基礎上補充例題，不僅豐富了學生對分形圖案的認知，也鍛煉了學生計算分形維數(shù)的能力。最后，通過思考分形與自然界以及人生的聯(lián)系，明確了分形維數(shù)的研究意義與應用價值。科學研究的思維方法串聯(lián)了各個教學環(huán)節(jié)，貫穿于整個教學過程。采用該教學設計，學生不僅掌握了基本思維方法，還提高了對新知識的探索欲望，鍛煉了綜合能力，為學習其他課程以及科研工作奠定了基礎，達到了舉一反三、寓教于樂、理論結(jié)合實踐的多重教學效果。

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基金項目：2020年度國家自然科學基金面上項目“空間旋轉(zhuǎn)非合作航天器柔順消旋動力學與控制”（12072270）

作者簡介：代洪華（1986-），男，漢族，山東聊城人，工學博士，教授，博士研究生導師，研究方向為空間操作。