培養(yǎng)高中生數(shù)學運算素養(yǎng)的策略

【摘要】本文論述培養(yǎng)高中生數(shù)學運算素養(yǎng)的策略，闡述數(shù)學運算素養(yǎng)的內涵，分析影響學生數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展的原因，提出重視運算，讓學生積累運算知識、明晰算理、靈活選擇運算方法、養(yǎng)成嚴謹?shù)倪\算習慣以及重視反思運算過程和結果等教學建議。

【關鍵詞】核心素養(yǎng) 數(shù)學運算 策略

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）11-0118-03

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標準）強調“高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人的根本任務，提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)”，突出了培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要性，指出“數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體”。數(shù)學運算是六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，它不但對培養(yǎng)學生解決實際問題的能力、養(yǎng)成一絲不茍的科學精神具有重要的作用，還影響著其他核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。數(shù)學運算貫穿整個高中階段的學習，學生在運算中經常出現(xiàn)“會但不對、對但不全、全但不優(yōu)”的現(xiàn)象，導致數(shù)學問題的解決并不如人意，因此有必要探索培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng)的策略。

一、數(shù)學運算素養(yǎng)的內涵

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段。數(shù)學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎。數(shù)學運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果。通過高中數(shù)學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

二、影響學生數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展的原因分析

（一）數(shù)學運算知識掌握不到位

數(shù)學運算知識包括：數(shù)學的概念和原理（包括性質法則、公式定理等），數(shù)學思想方法及數(shù)學技能等，如果學生對基本的數(shù)學運算知識理解不透徹，將會直接影響其數(shù)學運算能力的發(fā)展，造成數(shù)學學習困難。比如，求方程log3（x-1）+log3（x+1）=2的解。很多學生的答案為x=±[10]，但是正確答案為x=[10]。學生之所以出現(xiàn)這樣的運算錯誤，主要是因為沒有注意到真數(shù)大于0，定義域為{x|x>1}。此處的運算錯誤是由于學生對對數(shù)的概念掌握不好造成的。又如，有些學生會認為2a+b=cosB等價于2sinA+sinB=cosB，導致運算錯誤。學生會犯這樣的錯誤，主要是對正弦定理理解不到位，認為a=sinA，b=sinB。還有些學生在解題過程中求解方程x2+（2-a）x-2a=0的根時，不懂得通過十字相乘法將等式左邊因式分解成（x+2）（x-a），導致最終無法算出答案。在數(shù)學學習中，如果學生沒能充分理解基本的運算知識，就會直接影響做題的正確率和速度，也會影響學習數(shù)學的興趣和自信心。

（二）數(shù)學運算信心和意志不強

與初中數(shù)學運算相比，高中數(shù)學運算難度大、運算容量大。有些學生認為自己不夠聰明學不好數(shù)學，導致對數(shù)學學習失去信心，不敢做數(shù)學運算;有些學生由于基礎運算知識不過關，在數(shù)學運算過程中經常遭遇失敗，出現(xiàn)畏難心理，害怕數(shù)學，形成惡性循環(huán)。另外，還有些學生覺得圓錐曲線和導數(shù)等題目的運算太復雜，對自己沒有信心，認為自己就算花時間計算也不會得出正確結果，反而浪費時間，所以一看到圓錐曲線和導數(shù)題直接選擇放棄，久而久之，這些學生只會簡單運算，稍微難一點的數(shù)學運算就都做不了了。

（三）數(shù)學運算錯誤的歸因和反思不到位

“學然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也;知困，然后能自強也”。可見反思的重要性。有些學生在每次測試后的反思環(huán)節(jié)，總是認為自己是因為計算粗心才丟了很多不該丟的分數(shù)。其實不然。學生計算丟分，不一定是粗心造成的，也有可能是因為數(shù)學運算知識存在缺漏，以及不明白運算的道理，不會探究運算思路，不能靈活選擇運算方法，只會強行計算，導致運算復雜，很難得出正確答案。學生對運算的歸因和反思停留在表面，他們不能進行深入分析和深刻反思，因而數(shù)學運算能力無法得到真正提高。

（四）教師不重視數(shù)學運算的訓練

學生的運算能力比較薄弱，除了學生自身的因素，還可能是教師不夠重視對學生數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)造成的。由于教學任務重，課時不足，教師認為基本的運算學生應該都會，不需要花太多精力講解，因而把更多的精力放在其他素養(yǎng)的培養(yǎng)上，對數(shù)學運算素養(yǎng)培養(yǎng)重視不足。學生面對簡單的題目時會因為沒注意取值范圍導致丟分，面對難一些的題目則無法選擇合適的算法，硬算卻算不出來正確結果。學生暴露的這些問題，反映出教師平時對學生缺乏有效的引導。教師不夠重視，學生更加不重視，他們只了解解題過程，不親自思考運算，導致數(shù)學運算素養(yǎng)沒有真正培養(yǎng)起來。

三、數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

（一）重視數(shù)學運算，積累數(shù)學運算經驗

教師在進行概念、定理、公式法則等教學時，要強調數(shù)學運算的重要性，讓學生在思想上給予重視;結合典型例題和變式訓練幫助學生理解數(shù)學運算對象、法則，掌握數(shù)學知識。教師可以精選易錯例題和變式訓練題讓學生進行課堂辨析、訓練，還可以借助希沃授課助手等信息技術的拍照上傳功能，展示典型錯誤和優(yōu)秀范例，全班學生充當小老師一起分析、糾錯、完善運算過程，幫助學生不斷掌握和鞏固數(shù)學運算知識，從而更深刻地理解運算對象，更好地掌握運算法則，不斷積累運算經驗。

（二）明晰數(shù)學運算的算理

在數(shù)學學習中，教師不但要幫助學生掌握基本的運算技能，還要注重引導學生明晰數(shù)學運算背后的算理。

【例1】在△ABC中，AC=3，AB=4，∠BAC=[π3]，[AD=2DB]，P為CD上一點，且滿足[AP]=[mAC]+[nAB]，若[AP]·[CD]=[1312]，則m-n的值是? ? .

學生算不出此題的答案，或者花了大量的時間進行運算，主要原因就是沒有掌握算理。題目考查的是向量運算，轉化后方可簡化運算。第一次轉化，由[AD]=2[DB]，得出[AB]=[32][AD]，[AP]=[mAC]+[nAB]=[mAC]+[3n2AD]，因為D、P、C三點共線，且A是直線外一點，得m+[3n2]=1;第二次轉化，[AP]·[CD]=（[mAC]+[nAB]）（[23AB-AC]）=[1312]，將[AP]，[CD]分別用[AC]和[AB]表示，最后只需要算出[AC]·[AB]，即可再得出m和n的等量關系，解出m和n。學生解題時不懂得分別用[AC]和[AB]表示[AP]和[CD]，而是直接運算[AP]·[CD]=（[mAC]+[nAB]）·[CD]=[1312]，導致運算變得很復雜。

在向量教學中讓學生僅僅掌握基本的向量運算知識是不夠的，教師還要在運算教學中有意識地滲透化歸思想和消元思想等數(shù)學思想，讓學生明白運算背后的算理，從而簡化數(shù)學運算，提高學生運算的速度和正確率，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)。除了在向量教學中向學生明晰算理，教師在教學其他解析幾何內容時也可以通過精選例題，有意識地引導學生觀察、分析式子的特點，再引導學生感悟數(shù)形結合思想、化歸思想以及消元法等數(shù)學思想方法在簡化運算中起到的強大作用。

（三）靈活選擇數(shù)學運算方法

學生在運算時靈活選擇運算思路，可以優(yōu)化數(shù)學運算，將復雜問題變簡單，提高運算效率。因此，教師有必要對學生進行數(shù)學運算指導。優(yōu)化數(shù)學運算應具有以下幾個特征：一是普適性，即通性通法，它可以解決某一類問題，揭示該類問題的本質特征與結構;二是重要性，在解題過程中涉及重要內容與重要方法，對學生的學習具有重要價值;三是自然性，算法應是自然的、容易想到、易理解的，教師易教，學生易學;四是簡潔性，解題思路與解題過程簡潔流暢;五是奇異性，所得算法既在意料之外，又在情理之中。

【例2】已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，若[S11S11-S5]=3，則[a6a11]=? ? .

此題主要有兩種運算思路。思路一：借助公式Sn=na1+[n（n-1）d2]和an=a1+（n-1）d，將所求用a1和d表示，再進行化簡。大部分學生采用此種方法進行化簡，但是算了很多遍也算不出正確答案，運算量較大，不易得出正確答案。思路二：將Sn=[n（a1+an）2]展開，再結合等差數(shù)列的下標和性質進行運算，此種方法比較簡潔且自然。S11-S5=a6+a7+…+a11=3（a6+a11），S11=[11（a1+a11）2]=11a6代入化簡得[a6a11]=[92]。雖然兩種思路都能算出正確答案，但是很明顯思路二更簡明、快捷，也具有普適性。

看似簡單的運算問題，如果不加思考，盲目運算，就會使簡單變復雜。在教學中，教師可以借助一題多解，引導學生探究運算思路，分析不同解法的優(yōu)劣，引導學生學會對所求目標進行分析，跳出固有思維，靈活選擇運算方法。

（四）養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學運算習慣

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，數(shù)學運算考查了學生思維的嚴密性，所以教師要有意識地培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪\算習慣。有些學生的草稿紙上的內容密密麻麻、亂七八糟，導致他們不僅容易出現(xiàn)運算錯誤，而且當他們想要回頭檢查運算過程時，找不到原來的解題過程、需要重新運算，運算效率低下。因此，教師要引導學生養(yǎng)成認真書寫運算過程、合理使用草稿紙的習慣。另外，引導學生適當進行口算也是必要的?？谒憧梢藻憻拰W生的思維能力和記憶能力，提高運算速度。此外，在課堂教學中，培養(yǎng)學生養(yǎng)成檢驗的習慣，有利于培養(yǎng)學生思維的嚴密性，使其養(yǎng)成嚴謹?shù)淖鍪聭B(tài)度。在數(shù)學運算中，有時候會算出兩個解，這時候需要學生具有檢驗的意識，思考多余的解是否需要舍去，特別是在三角函數(shù)運算中，更需要注意運算的條件和范圍，力求嚴謹;在求軌跡方程中，也要注意軌跡方程中變量的范圍，注意參數(shù)方程和普通方程轉化前后是否等價等。

（五）重視運算過程和結果的反思

學生在學習中對典型的運算問題進行再回顧和反思，能更好地提升自身的運算能力。教師應引導學生養(yǎng)成寫錯題本的習慣。寫錯題本，不是把所有錯過的題目記錄到錯題本，把答案抄寫一遍，而是學生對自己運算錯誤的原因、運算過程和結果，進行合理分析和反思。

【例3】已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcos（[2π3]-A）=c.

（1）求角A;

（2）設a=3，求△ABC周長的取值范圍.

對問題（2），學生的錯誤運算過程如下：

由（1）知，A=[π3]，a=3，故由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得9=b2+c2-bc≥2bc-bc，即bc≤9時，當且僅當b=c=3時，bc最大值為9時，b+c最大值為6，所以△ABC周長的最大值為9。

雖然學生算對了△ABC周長最大值是9，但這純屬巧合，他們的運算過程是不正確、不嚴謹?shù)?。bc取得最大值時，b+c不一定是最大值。解答此題可以運用基本不等式進行處理，通過轉化構造關于b+c的一元二次不等式，即由9=b2+c2-bc，得（b+c）2-9=3bc，3bc≤3·（[b+c2]）2，即（b+c）2-9≤3·（[b+c2]）2，當且僅當b=c=3時，b+c≤6，所以a+b+c≤9。最后，算出周長的范圍還要注意運算結果的嚴謹性，思考是否還有什么限制條件。聯(lián)想到三角形兩邊之和大于第三邊，b+c>a，即b+c>3，所以a+b+c∈（6，9]。

教師應引導學生注重對運算過程和結果進行反思，鼓勵學生將典型的運算錯誤分類整理寫進錯題本。分類整理好的錯題本，時不時要拿來翻看一下，加深記憶。通過反思整理典型運算，不斷積累和總結經驗，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)。

在高中階段，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)是一個非常重要且艱巨的教學任務，運算素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要循序漸進地滲透。教師需要結合課程標準要求，多鉆研、多思考，并結合教學實際，采取科學有效的方法。培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)不僅僅是為了完成教學任務，更重要的是在此過程中培養(yǎng)學生嚴謹?shù)淖鍪聭B(tài)度，增強他們自主解決問題的能力，使之成為適應社會現(xiàn)代化需要的新時代人才。

參考文獻

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[2]馬文杰，姜濤.數(shù)學運算能力培養(yǎng)應注意的若干問題研究[J].數(shù)學教育學報，2021（6）.

作者簡介：蔣秋櫻（1994— ），廣西南寧人，碩士研究生學歷，一級教師，研究方向為學科教學（數(shù)學）。

（責編 劉小瑗）