從尋常計(jì)算錯(cuò)例看課堂教學(xué)的缺失

徐明旭

[摘? 要] 從尋常計(jì)算錯(cuò)例中探尋課堂教學(xué)的缺失，是改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效舉措之一，也是發(fā)展學(xué)生計(jì)算能力和運(yùn)算意識(shí)的重要途徑。教師應(yīng)利用錯(cuò)例引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對(duì)計(jì)算結(jié)果合理性的評(píng)判，在甄別中吃透計(jì)算的算理與方法，在豐富計(jì)算算理的體驗(yàn)上下功夫。同時(shí)，教師還應(yīng)提供變式訓(xùn)練，讓他們的計(jì)算學(xué)習(xí)走向理性，更具靈性。

[關(guān)鍵詞] 計(jì)算;錯(cuò)例;合理性;正確性;靈活性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把運(yùn)算能力確定為十大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，從中不難看出，要讓學(xué)生學(xué)得有價(jià)值的數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)對(duì)未來(lái)生活有幫助的數(shù)學(xué)，計(jì)算就是無(wú)法割舍的重要一環(huán)。因此，教師應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生在尋常計(jì)算中所表現(xiàn)出的不足，反思課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，如在細(xì)化運(yùn)算法則和運(yùn)算律等知識(shí)的教學(xué)引導(dǎo)中，是否做到了讓學(xué)生在真切的體驗(yàn)中明晰和理解運(yùn)算的算理等，從而改進(jìn)課堂教學(xué)的方式與方法，引導(dǎo)學(xué)生正確且深刻地解讀運(yùn)算規(guī)則和法則等。教師應(yīng)設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)思考，引導(dǎo)他們?nèi)で蟮揭环N較為合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑，讓他們的計(jì)算學(xué)習(xí)獲得質(zhì)的提升，達(dá)成發(fā)展運(yùn)算能力的教學(xué)目標(biāo)。

一、輕視計(jì)算結(jié)果合理性評(píng)判的引導(dǎo)

重結(jié)果是計(jì)算教學(xué)的最大缺陷之一。在計(jì)算練習(xí)中，我們會(huì)經(jīng)常遇到這樣的一種現(xiàn)象，即有一部分學(xué)生總是在某一類計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤雷同的問(wèn)題，而如果僅僅把問(wèn)題的根源追溯到學(xué)生頭上，那么這類問(wèn)題將難以得到重視與糾正。因此，我們得從教學(xué)層面尋找原因，反芻相關(guān)計(jì)算教學(xué)的整個(gè)過(guò)程，審視教學(xué)的每一處細(xì)節(jié)，反思教學(xué)設(shè)計(jì)或教學(xué)實(shí)施中的不周或缺失，進(jìn)而從根源上把脈問(wèn)題，采取針對(duì)性的補(bǔ)救措施，獲得解決問(wèn)題的良策。

如，在“三位數(shù)除以一位數(shù)”的教學(xué)中，我們經(jīng)常能看到這樣一種錯(cuò)誤：824÷4=26。

遇上這種情況，一些教師往往會(huì)責(zé)怪學(xué)生粗心大意，“這么簡(jiǎn)單的問(wèn)題都會(huì)做錯(cuò)，也不看看824是三位數(shù)，8百多除以4怎么會(huì)是二十幾呢？明明是幾百嘛”，但是卻忘記了教師本身的使命所在，忘記了學(xué)生的表現(xiàn)還依賴于教師的教這一層面。筆者認(rèn)為，教師需要從更深層次去解讀自身的教和學(xué)生的學(xué)，從而把握這類問(wèn)題的本源。

上述情況給我們的教學(xué)啟示是：在“三位數(shù)除以一位數(shù)”的筆算教學(xué)中，教師不僅要講解透算理、算法，而且要訓(xùn)練學(xué)生的口算、心算、估算等方面的能力，還要重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)除法計(jì)算結(jié)果的合理性評(píng)判的意識(shí)和能力。

為此，在教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生對(duì)計(jì)算結(jié)果合理性的判斷意識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生多讀題，多聯(lián)想。就以案例中的“824÷4”為例，教師首先引導(dǎo)學(xué)生不要急功近利，忙著算出答案，而是先進(jìn)行必要的估算，即824可以看成800，這樣原題目就類似于“800÷4”，那結(jié)果會(huì)是多少呢？很明顯，應(yīng)該是200，據(jù)此推出824÷4的商必定是大于200的。其次，教師還得引導(dǎo)學(xué)生對(duì)答案的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)，即如果824÷4=26是對(duì)的，那么就有26乘以4等于被除數(shù)的必然性，然而26×4的積是104，不是被除數(shù)824。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行這樣的驗(yàn)算后，矛盾就凸顯出來(lái)了，這樣的情況也就要求學(xué)生回過(guò)頭來(lái)審視之前錯(cuò)誤計(jì)算的每一步。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了結(jié)果合理性的評(píng)判過(guò)程，那么他的反思意識(shí)就會(huì)增強(qiáng)，他的運(yùn)算能力也會(huì)增長(zhǎng)。

從上述簡(jiǎn)單的案例中，我們不難看出：有效的計(jì)算教學(xué)，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)自覺(jué)運(yùn)用知識(shí)去評(píng)判、去反芻的過(guò)程，不能囿于“在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成相應(yīng)數(shù)量的試題計(jì)算”的框架之中。要實(shí)現(xiàn)計(jì)算教學(xué)的務(wù)實(shí)高效的目標(biāo)，教師就得做好學(xué)生自覺(jué)檢驗(yàn)、主動(dòng)反思的引導(dǎo)者，讓學(xué)生在不同的訓(xùn)練中掌握最基本的算理、算法，以及驗(yàn)算策略，還得發(fā)展學(xué)生自我評(píng)判的學(xué)習(xí)意識(shí)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生運(yùn)算意識(shí)和計(jì)算能力同步發(fā)展的根本目標(biāo)。

二、忽視計(jì)算原理正確性的體驗(yàn)

實(shí)踐告訴我們，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、發(fā)展學(xué)生運(yùn)算意識(shí)的重點(diǎn)是使學(xué)生領(lǐng)悟算理、掌握算理，并靈活地運(yùn)用算理正確進(jìn)行運(yùn)算。為此，教學(xué)中教師應(yīng)把著眼點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)算理的領(lǐng)悟上，把著力點(diǎn)放在對(duì)算理的應(yīng)用上。教師一方面要善于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，把握這類計(jì)算的特點(diǎn)，合理選擇計(jì)算方法、規(guī)劃計(jì)算過(guò)程;另一方面要不斷引導(dǎo)學(xué)生反思算法應(yīng)用的根據(jù)，明晰每一步的計(jì)算原理，最終讓每一步的計(jì)算都合規(guī)合矩、有根有據(jù)。也只有這樣，學(xué)生的計(jì)算才會(huì)愈加合理，相應(yīng)的錯(cuò)誤才會(huì)得到有效避免。

如，在“小數(shù)加法、減法計(jì)算”的教學(xué)中，像這樣的錯(cuò)例是屢見(jiàn)不鮮的，如5.3-4=4.9，5.3+4=5.7等。

容易看出的是，這類錯(cuò)誤的主要問(wèn)題是把整數(shù)4等同于0.4，從而導(dǎo)致數(shù)位順序錯(cuò)誤，致使計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。一些教師往往把錯(cuò)誤歸咎為學(xué)生整數(shù)加減法思維定式的負(fù)遷移，或這一階段常規(guī)練習(xí)過(guò)多而使學(xué)生形成的思維定式的負(fù)遷移。如在不斷練習(xí)5.3-0.4，5.3+1.4，8.1-6.8，1.8+3.4等習(xí)題后，一些學(xué)生的腦海里就會(huì)留下“所有的小數(shù)加減法都是純一位小數(shù)的計(jì)算”的印象，但他們卻不知這類習(xí)題只是小數(shù)計(jì)算的一種變式。

為此，教師在教學(xué)輔導(dǎo)中就得深究錯(cuò)因根源，讓學(xué)生說(shuō)出自己的算理運(yùn)用過(guò)程，進(jìn)而進(jìn)行甄別，幫助學(xué)生細(xì)化算理意義，吃透算理本質(zhì)。如教師引導(dǎo)學(xué)生匯報(bào)5.3-4=4.9的口算過(guò)程，學(xué)生不自覺(jué)地就運(yùn)用筆算方法來(lái)思考，把數(shù)字對(duì)齊，再進(jìn)行加減。學(xué)生的交流，映射了整數(shù)加減法的基本算理，從個(gè)位起數(shù)字對(duì)齊就是做到數(shù)位對(duì)齊，久而久之，就形成“末尾對(duì)齊”的錯(cuò)誤建構(gòu)，在小數(shù)加減法中學(xué)生若仍然照搬這一計(jì)算方法，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)。

為什么教師一直在強(qiáng)調(diào)的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”到學(xué)生那兒就煙消云散了呢？深究緣由，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生把數(shù)字對(duì)齊當(dāng)成了數(shù)位對(duì)齊（這一算理，在很多整數(shù)加減法中是成立的），忽略了5.3-4是小數(shù)減法（其中4是特殊的小數(shù)，此時(shí)4為4.0）的實(shí)質(zhì)，從而導(dǎo)致他們只是從外在的形式上淺層次地理解“末尾對(duì)齊”和“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，缺失了小數(shù)加減法的基本計(jì)算原理的心理認(rèn)同，并對(duì)小數(shù)加減法算理“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”即數(shù)位對(duì)齊的理解有偏頗。所以教師在教學(xué)中要重視這一種情況，要通過(guò)對(duì)5.3-4=4.9這一錯(cuò)誤的講解，讓學(xué)生領(lǐng)悟小數(shù)加減法的本質(zhì)，即“只有相同單位的數(shù)才能直接相加減”。

故而，教師引導(dǎo)學(xué)生深入解讀5.3-4，5.3+4等計(jì)算中的算理，明晰5.3由5個(gè)一和3個(gè)十分之一組成，5.3-4的本質(zhì)就是從5個(gè)一和3個(gè)十分之一中減去4個(gè)一，從而理解相關(guān)算理，讓學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)更趨理性。

三、忽視運(yùn)算規(guī)律靈活性的體驗(yàn)

運(yùn)算律學(xué)習(xí)是學(xué)生靈活計(jì)算的重要依據(jù)。因此，在計(jì)算教學(xué)中教師應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的領(lǐng)悟程度，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度去分析計(jì)算題構(gòu)成，進(jìn)而找到最為便捷的路徑讓計(jì)算變得簡(jiǎn)便。然而，在實(shí)際教學(xué)中一些教師卻熱衷于題海訓(xùn)練，使學(xué)生也追求快速做題，導(dǎo)致學(xué)生面對(duì)一些較為特殊的試題時(shí)錯(cuò)誤不斷，進(jìn)而興趣缺失，學(xué)習(xí)遲緩。

如，“運(yùn)算律”教學(xué)之中，學(xué)生面對(duì)簡(jiǎn)便計(jì)算的練習(xí)，常常會(huì)有如下表現(xiàn)：37×99=37×100-1，或65×101=65×100+1，或32×25×125=4×25+125×8等。

以上錯(cuò)誤，表象上看是學(xué)生沒(méi)有科學(xué)地把握乘法分配律，不能精確地運(yùn)用乘法分配律造成的。并且，縱觀學(xué)生的日常學(xué)習(xí)，他們能夠較好地完成32×17+68×17，109×28-9×28等試題的計(jì)算，但一旦遇到稍加改變的試題就無(wú)所適從了，問(wèn)題層出不窮。筆者認(rèn)為，這不只是學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解和運(yùn)用的問(wèn)題，更是對(duì)乘法分配律本質(zhì)內(nèi)涵理解不深刻、不透徹、不清晰的問(wèn)題。

因此，在補(bǔ)救教學(xué)中，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生重溫乘法運(yùn)算律的由來(lái)，如盡可能地多呈現(xiàn)實(shí)例，以豐富學(xué)生的感知，拓展學(xué)習(xí)視野，從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)理解走出個(gè)別歸納不全面、列舉抽象不豐富等的圈子;另一方面要重視知識(shí)間的聯(lián)系，以此來(lái)鞏固學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算律的理解，如聯(lián)系乘法的意義來(lái)解析37×99，讓學(xué)生明白37×99是99個(gè)37，而37×100是100個(gè)37。這是讓學(xué)生思考，99個(gè)37和100個(gè)37之間到底相差什么。學(xué)生在這種情景下自然地獲得37×99的本質(zhì)理解，從而推斷出37×99=37×100-37×1，明白先前計(jì)算錯(cuò)誤的緣由。同理，若教師再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生思考和研究65×101的算理，就可讓學(xué)生對(duì)乘法分配律的領(lǐng)悟達(dá)到一個(gè)嶄新的高度。另外，教師還可以創(chuàng)設(shè)生活化的情境，如提問(wèn)“買99本字典，每本37元，一共需要多少元？”，讓學(xué)生反芻37×99在乘法分配律中的算理，從而加速其學(xué)習(xí)認(rèn)知的有效建構(gòu)，這也會(huì)給學(xué)生留下難以磨滅的印象。

綜合上述思考，筆者認(rèn)為，教師要切實(shí)幫助學(xué)生發(fā)展和提升計(jì)算能力和運(yùn)算意識(shí)，不能只是滿足學(xué)生能夠完成常規(guī)的計(jì)算題，還得設(shè)計(jì)與此相關(guān)的試題，以此來(lái)拓展他們的學(xué)習(xí)視野，促進(jìn)他們的學(xué)習(xí)思考，從而幫助他們深刻理解計(jì)算的原理、運(yùn)算律的由來(lái)等，以加速基本計(jì)算方法的建構(gòu)，促使他們獲得基本的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算技能。同時(shí)，教師還得善于利用錯(cuò)題資源，強(qiáng)化計(jì)算方法的引領(lǐng)，促使學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行反思，學(xué)會(huì)自覺(jué)驗(yàn)算等，從而讓計(jì)算教學(xué)更富靈氣，更具智慧。