“變”中求“不變”，立意高又遠(yuǎn)

曾昌濤

[摘? 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于提高學(xué)生的思維品質(zhì)，思維的動(dòng)態(tài)遷移，在“變”與“不變”中辯證統(tǒng)一與有效生成. 在幾何圖形變化過(guò)程中抓住不變的幾何性質(zhì)，可使解題化難為易.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);試題探析;立意;平移變化

試題回眸

2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第12題：已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（? ）

此題的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)變換的空間圖形軌跡的最值問(wèn)題.高考試題中的壓軸選擇題往往意境深遠(yuǎn)，綜合性強(qiáng)，很難從教材某一個(gè)例習(xí)題中找到它的影子，要揭示其數(shù)學(xué)本源，應(yīng)從多個(gè)角度去分析、探究和思考.

試題探源

人教A版（2004）高中數(shù)學(xué)必修2教材中有如下例習(xí)題：

題3：（第78頁(yè)A組第4題）如圖3所示，正方體的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)C，D分別是兩條棱的中點(diǎn).

（1）證明：四邊形ABCD（圖中陰影部分）是一個(gè)梯形;

（2）求四邊形ABCD的面積.

2005年全國(guó)聯(lián)賽試題：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，任作平面α與對(duì)角線AC′垂直，使得α與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則（? ）

A. S為定值，l不為定值

B. S不為定值，l為定值？搖

C. S與l均為定值

D. S與l均不為定值？搖

問(wèn)題探究

1. 圖形演化

那么在所有正三角形以及六邊形的截面圖形中，哪一個(gè)面積最大呢？

2. 解法剖析

數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)本質(zhì)上反映的是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，思維的動(dòng)態(tài)遷移而非刻舟求劍[1]. 在“變”與“不變”中辯證統(tǒng)一，動(dòng)中求靜，突破思維局限，“莫讓浮云遮住眼，除盡繁華識(shí)真顏”，解決考題的關(guān)鍵是要從圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中抓住不變的幾何性質(zhì).

解法1：截面面積（變）？圳大圓中內(nèi)接正六邊形面積最大（不變）.

為什么滿足條件的圖形中正六邊形EFHMNQ的面積最大呢？下面設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)解釋它：

不妨設(shè)在正方體內(nèi)放一個(gè)內(nèi)切球，易知正方體的中心與球心O重合. 滿足條件的平面α與球O所截的圖形是圓，當(dāng)平面α經(jīng)過(guò)球心O時(shí)所得的截面是大圓（在所有圓中面積最大），借助于數(shù)學(xué)常識(shí)“圓內(nèi)接n邊形中，面積最大的為正n邊形”可知，當(dāng)平面α平移經(jīng)過(guò)球心O且六邊形恰為正六邊形（中心為O）時(shí)面積最大.

結(jié)束語(yǔ)

波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅是一半，更重要的是解題后的回顧.”[2]提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更難，問(wèn)題解決后要去歸納、反思，挖掘其背后的立意出發(fā)點(diǎn)，品味其高妙之處.

（1）從知識(shí)層面分析：立體幾何的圖形載體為柱、錐、臺(tái)、球，主干知識(shí)是平、垂、角、積. “平”“垂”為空間特殊位置關(guān)系，指線與線、線與面、面與面的平行和垂直關(guān)系;“角”指空間的三種角：異面直線所成角，直線與平面所成的角，二面角的平面角;“積”指幾何體的面積（側(cè)面積、表面積）和體積. 試題正是以正方體為幾何載體，考查的是正方體中線面、面面平行和垂直關(guān)系，直線與平面所成的角，截面面積等重點(diǎn)內(nèi)容，可謂一線串幾珠，金玉蘊(yùn)其中.

破題者將面臨三道難關(guān)：一是與各棱所在直線所成的角均相等的平面α是怎樣的平面？二是平面α在平移過(guò)程中的截面圖形分別是何種形狀？三是所有截面中為何正六邊形的面積最大？特別是第三道難關(guān)，在考試過(guò)程中學(xué)生僅憑觀察、猜想，代替不了嚴(yán)密的邏輯證明.

（2）從思想方法層面分析：試題考查了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)與變換、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展和提高學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算能力等是學(xué)習(xí)立體幾何的根本任務(wù)，在“變”中求“不變”，試題為教學(xué)中靈活運(yùn)用立體幾何知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題提供了素材.

（3）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面分析：試題考查了直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 試題立意高遠(yuǎn)，可作為典型例題去拓展、遷移、變式以達(dá)到觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果，破題中沒(méi)有厚重的知識(shí)沉淀和方法積累，思維深度達(dá)不到解題的終點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 李建國(guó). 例析核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高考試題——以2018年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第12題為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（10）：44-45+19.

[2]? 潘靜. 直觀固然好 論證不可少——對(duì)一道高考題的解答探究及教學(xué)思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（34）：59-60.