走進(jìn)位置關(guān)系，探索轉(zhuǎn)化構(gòu)建

張宏祥

[摘? 要] 直線與曲線的位置關(guān)系問(wèn)題在高考中較為常見(jiàn)，這樣的問(wèn)題往往以解析幾何為背景，解析突破需要充分結(jié)合圖像，利用圖像分析點(diǎn)、直線、曲線之間的位置關(guān)系，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)、確認(rèn)關(guān)系. 文章以一道直線與圓相切的考試題為例，進(jìn)行解題探究、知識(shí)總結(jié).

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;直線;曲線;位置關(guān)系

判斷直線與曲線的位置關(guān)系是解析幾何常見(jiàn)的問(wèn)題類型之一，也是重要的知識(shí)考點(diǎn). 由于這樣的問(wèn)題常以圓錐曲線為背景，對(duì)其賦予了“數(shù)”與“形”的屬性，因此找準(zhǔn)解決問(wèn)題的突破口也應(yīng)立足該特性. 2021年全國(guó)高考甲卷理科第20題為拋物線背景下的直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，下面以此為例進(jìn)行深入探究.

走進(jìn)考題，思路突破

1. 走進(jìn)考題

考題：（2021年全國(guó)高考甲卷理科第20題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ. 已知點(diǎn)M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C和⊙M的方程;

解讀：本題以拋物線為背景，設(shè)定拋物線及坐標(biāo)系上的點(diǎn)，形成了直線、圓等，探究直線與曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)，可結(jié)合圖像來(lái)分析.

2. 思路突破

（1）該問(wèn)求的是拋物線C和⊙M的方程，需要理解圖形構(gòu)建過(guò)程，以及其中的位置關(guān)系.

已知直線l：x=1，說(shuō)明直線l平行于y軸.

點(diǎn)P和點(diǎn)Q是直線l與拋物線C的兩個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性可知兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)為相反數(shù).

直線OP與OQ為垂直關(guān)系，即OP⊥OQ，故△OPQ是等腰直角三角形;若設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為N，則可推知△ONQ和△ONP均為等腰直角三角形.

直線l與⊙M為相切關(guān)系，線段MN是⊙M的半徑;又知點(diǎn)N（1，0），M（2，0），則可直接求得⊙M的半徑MN=1，同時(shí)可確定點(diǎn)N為OM的中點(diǎn).

根據(jù)上述點(diǎn)、直線、拋物線、圓之間的位置關(guān)系的解析，可繪制如圖1所示的圖像.

解后評(píng)析，總結(jié)歸納

1. 解后評(píng)析

上述考題以拋物線為背景，取點(diǎn)成直線，由點(diǎn)構(gòu)成圓，求解拋物線與圓的解析方程，探究直線與圓的位置關(guān)系. 從解析幾何角度理解直線與圓的位置關(guān)系是探究突破的重點(diǎn)，上述突破過(guò)程有以下幾大特點(diǎn).

特點(diǎn)2：數(shù)形結(jié)合，直觀形象. 題設(shè)給出了直線與圓的兩個(gè)相切條件，討論第三條直線與圓的位置關(guān)系. 從問(wèn)題形式來(lái)看，幾何屬性鮮明，故繪制圖像有助于問(wèn)題分析. 上述分情形討論結(jié)合了圖像——對(duì)可能存在的情形繪制了相應(yīng)的圖像，從幾何視角對(duì)其加以驗(yàn)證.

特點(diǎn)4：引入距離，直接判定. 問(wèn)題核心是討論直線與圓的位置關(guān)系，問(wèn)題具有圓錐曲線的背景，故討論位置關(guān)系需要借助于代數(shù)等相關(guān)知識(shí)，上述解析充分將位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題，通過(guò)比較距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來(lái)確定結(jié)論. 整個(gè)過(guò)程精準(zhǔn)具體，充分利用了直線與圓的方程.

2. 總結(jié)歸納

判定直線與圓的位置關(guān)系是常見(jiàn)的問(wèn)題類型，解析幾何中可以從代數(shù)與幾何兩大視角進(jìn)行探討. 幾何視角：分析距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系;代數(shù)視角：聯(lián)立直線與圓的方程，則方程的解的個(gè)數(shù)就是直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可用判別式Δ加以判斷. 位置關(guān)系與對(duì)應(yīng)知識(shí)如下.

直線與圓的相切問(wèn)題十分常見(jiàn)，通常有兩種命題形式：一是直接求與圓相切的直線方程;二是給出相切條件，推導(dǎo)其他關(guān)系或求解析式.

對(duì)于第二種命題形式，若直線l與圓相切，連接圓心與切點(diǎn)，則該連線與直線l為垂直關(guān)系，從而將相切關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線之間的垂直關(guān)系，并利用向量積或斜率乘積來(lái)體現(xiàn).

深度探究，相切轉(zhuǎn)化

下面進(jìn)一步對(duì)直線與圓相切進(jìn)行關(guān)聯(lián)探究，結(jié)合實(shí)例分析相切條件的轉(zhuǎn)化方法.

（1）若點(diǎn)P到圓心M的距離等于它到拋物線C的準(zhǔn)線的距離，試求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，試求t的取值范圍.

解析：本題設(shè)定了拋物線與圓，并構(gòu)建了圓的兩條切線，以此形成了一些切點(diǎn)，探究此類問(wèn)題需要把握由相切關(guān)系推導(dǎo)直線的方法.

評(píng)析：上述問(wèn)題的核心是直線與圓的相切關(guān)系，解析突破即將相切關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到切線的距離，實(shí)現(xiàn)了幾何關(guān)系向代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化. 若問(wèn)題中為相離關(guān)系，則可構(gòu)建圓心到直線的距離d與圓的半徑r的不等關(guān)系，即d>r.

寫(xiě)在最后

直線與圓的位置關(guān)系在初中數(shù)學(xué)就有涉及，但高中學(xué)段對(duì)其賦予了更深刻的意義，在解析幾何背景中實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，從不同視角剖析可以獲得不同的思路. 建立位置關(guān)系與距離、斜率、弦長(zhǎng)、方程判別式之間的聯(lián)系是探究突破的關(guān)鍵. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生合理采用數(shù)形結(jié)合法，利用圖像確定解題的切入點(diǎn)，轉(zhuǎn)化位置關(guān)系條件，高效構(gòu)建解題思路.