從元認(rèn)知角度淺談“線面平行的性質(zhì)定理”的教學(xué)

陳悅 郭敏玲

[摘? 要] “線面平行的性質(zhì)定理”是高中數(shù)學(xué)重要的知識點，也是教學(xué)的難點. 對于發(fā)展學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著重要作用. 在“線面平行的性質(zhì)定理”的教學(xué)中，通過提高學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗促進(jìn)他們掌握線面平行的性質(zhì)定理.

[關(guān)鍵詞] 線面平行的性質(zhì)定理;元認(rèn)知;教學(xué)重難點

研究背景

立體幾何是新課程標(biāo)準(zhǔn)的重點內(nèi)容之一，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). “線面平行的性質(zhì)定理”是立體幾何中的一個重要內(nèi)容，同時也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)混淆的一個知識點. 元認(rèn)知是學(xué)習(xí)主體在認(rèn)知活動過程中的自我意識、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié). 筆者將從元認(rèn)知角度淺談“線面平行的性質(zhì)定理”的教學(xué)，幫助學(xué)生更好地掌握這個知識點.

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)[1]. 我們知道現(xiàn)實的物體都是三維的，要研究現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)問題，把物體抽象化是不可避免的，即點、線、面這些都是抽象化的產(chǎn)物. 直觀想象是借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1]. “線面平行的性質(zhì)定理”指一條直線a與一個平面α平行，過直線a的平面β若與平面α相交于直線b，則直線a與直線b平行. 學(xué)生利用這個性質(zhì)定理時，往往會與“線面平行的判定定理”混淆. 在教學(xué)過程中，應(yīng)注重學(xué)生的學(xué)習(xí)感知，喚起學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗，讓學(xué)生充分調(diào)動自己已有的知識經(jīng)驗和學(xué)習(xí)的主觀能動性，克服困難，建立起新舊知識的橋梁，把新知識內(nèi)化成自己知識體系的一部分.

案例分析

例題 如圖1所示，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面SAD為等腰直角三角形，SA=SD=2，AB=2，F(xiàn)是BC的中點，二面角S-AD-B的大小為120°.設(shè)平面SAD與平面SBC的交線為l. 在線段AD上是否存在點E，使l⊥平面SEF？若存在，確定點E的位置;若不存在，請說明理由.

筆者在課堂上以限時測試的形式對所任教的兩個班級的學(xué)生進(jìn)行了測試，測試完成后，隔天在課堂上進(jìn)行了討論和評講. 通過測試的結(jié)果來看，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)較多錯誤的地方有以下幾個：（1）出現(xiàn)線面平行的性質(zhì)定理與線面平行的判定定理的混淆;（2）表述線面平行的性質(zhì)定理時不夠規(guī)范準(zhǔn)確;（3）無法找出平面SAD與平面SBC的交線l;（4）不能利用AD與l平行這個條件來證明l⊥平面SEF.

為了更好地解釋學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯誤，筆者將結(jié)合典型的實踐案例進(jìn)行說明. 為了在案例說明中不泄露學(xué)生的隱私，通過掃描學(xué)生的答案進(jìn)行了案例展示.

案例1 （如圖2所示）從這名學(xué)生的答案可以發(fā)現(xiàn)，其作了一條過點S的直線l，在解答過程中得出了l⊥SE，l⊥SF，指出l⊥平面SEF，但是沒有說明l為什么是平面SAD與平面SBC的交線，也就不能找到一條平行于l的直線來證明本題的結(jié)論. 因為本題要證明的是l⊥平面SEF，是不能直接一步到位的. 另外，這名學(xué)生的答案雖然標(biāo)識出了點E，但是在證明過程中并沒有指出點E位于線段AD的何處. 很明顯，這名學(xué)生只是把題目中可以提取到的幾何對象進(jìn)行了簡單結(jié)合，并沒有真正地理解線面平行的性質(zhì)定理. 對線面平行的性質(zhì)定理的理解需要直觀想象素養(yǎng)，這是一個動態(tài)系統(tǒng)，而不是簡單結(jié)合或者拼湊. 應(yīng)該把現(xiàn)實中的物體基于圖形的運動、變換和位置關(guān)系進(jìn)行感知后，在學(xué)習(xí)者頭腦中進(jìn)行加工改造形成“幾何圖形”的表象，再借助于圖形分析和相關(guān)的公理、定理等解決問題. 在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)提高學(xué)生的元認(rèn)知體驗，經(jīng)歷概念的形成過程，加強對概念的理解，理清概念之間的關(guān)系，不要出現(xiàn)概念混淆.

案例2 （如圖3所示）這名學(xué)生的解答過程是先假設(shè)線段AD上的中點E符合條件，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到SE⊥AD;接著連接SE，SF，利用二面角的定義指出平面SDA與平面SBC的二面角的大小;然后開始說明l是平面SDA與平面SBC的交線，但他的表述是錯誤的，而且表達(dá)過程也不夠準(zhǔn)確. 首先，這名學(xué)生在說明l與平面SAD的關(guān)系時，用的符號是“∈”，而正確的符號應(yīng)該是“？奐”. 說明這名學(xué)生沒有檢查結(jié)論，在學(xué)習(xí)過程中缺乏自我監(jiān)控. 因此在教學(xué)過程中，要創(chuàng)設(shè)一些情境，讓學(xué)生意識到檢查的重要性，通過不斷強化，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中保持一種自我調(diào)節(jié)和自我監(jiān)控的狀態(tài). 其次，這名學(xué)生直接寫出了l與AD，BC平行，結(jié)合他后面給出的解答步驟可以看出，他并不能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出線面平行的性質(zhì)定理. 他后面給出的答案是圍繞l∥AD展開的，所以這名學(xué)生知道要證明本題的結(jié)論需要證明AD⊥平面SEF. 這名學(xué)生對線面平行的性質(zhì)定理的掌握不到位，他的腦海中可能存在著一定的表象，但是并不能把這些表象之間存在的關(guān)系利用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)出來.

在第二天的課堂評講中，筆者把這兩名學(xué)生的答案作為引例給了出來，讓學(xué)生通過一系列的討論和思考完善了這個定理.

教學(xué)建議

1. 通過教學(xué)引導(dǎo)，讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗

課堂教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)通過創(chuàng)設(shè)容易引起學(xué)生元認(rèn)知體驗的教學(xué)情境，讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗. 在評講這個題目時，筆者選擇了學(xué)生的錯誤解法作為引例，當(dāng)學(xué)生看完錯誤解法后，很快就發(fā)現(xiàn)了解答過程中出現(xiàn)錯誤的地方，但自己在解答時卻沒有意識到自己也犯了同樣的錯誤. 有效的課堂教學(xué)導(dǎo)入是讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知的重要條件. 我們可以通過有效的引例，充分調(diào)動學(xué)生頭腦中解決問題所需要的數(shù)學(xué)知識、解題經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思想方法等. 接下來通過進(jìn)一步引導(dǎo)，可以激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生更深刻的元認(rèn)知體驗.

2. 增強數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗，凸顯數(shù)學(xué)問題的核心

在本節(jié)課之前，筆者看到了章建躍先生寫的《在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)（續(xù)）——“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考》，文章提到了關(guān)于線面平行的性質(zhì)定理的教學(xué)，要加強知識之間的聯(lián)系得出其他的猜想，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生明白這個性質(zhì)定理是如何被發(fā)現(xiàn)的[2]. 筆者覺得這是非常有道理的，對結(jié)論的猜想應(yīng)該是學(xué)生通過自己思考得出的，不管猜想正確與否，這都是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一次體驗. 如果學(xué)生驗證正確，這將幫助他們樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心;如果學(xué)生驗證錯誤，這個錯誤也有利于他們接下來的學(xué)習(xí). 所以對這節(jié)課重難點的處理應(yīng)該是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論：平面α外一條平行于平面α的直線a與平面α內(nèi)任意一點形成一個平面β，若有α∩β=b，那么b∥a. 這樣一來，學(xué)生對平面β的理解就不會那么突兀了，教師也可以更好地處理本節(jié)課的重難點了.

3. 加強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控

“在學(xué)習(xí)活動進(jìn)行的過程中，要指導(dǎo)學(xué)困生學(xué)會不斷檢查、反饋和評價學(xué)習(xí)活動進(jìn)行的各個方面，分析發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)活動中存在的問題及其原因，調(diào)整學(xué)習(xí)行為和學(xué)習(xí)方法，這樣才能提高學(xué)困生的元認(rèn)知水平.”[3]在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性，克服學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，培養(yǎng)堅持不懈的意志力以及時刻檢查學(xué)習(xí)成果的習(xí)慣. 學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，往往會出現(xiàn)各種數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)錯誤的問題. 例如，直線和平面的包含關(guān)系，表述符號不是“∈”，而是“？奐”，等等. 如果在平時的課堂教學(xué)中，教師能夠引導(dǎo)學(xué)生對得到的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢查或者檢驗，保持一種自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控的習(xí)慣，那么將有利于提高學(xué)生的元認(rèn)知水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 章建躍. 在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)（續(xù)）——“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考[J]. 數(shù)學(xué)通報，2021（03）：2-7+21.

[3]? 楊玲. 在元認(rèn)知的角度上探討初中數(shù)學(xué)學(xué)困生的成因及轉(zhuǎn)化[D]. 湖南師范大學(xué)，2007.