乘積度量空間上具有唯一不動(dòng)點(diǎn)的G- 隱式壓縮映射

樸勇杰

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002)

首先,給出文中所需的基本概念和性質(zhì).

定義1[9]設(shè)X是非空集合，稱映射d:X×X→[1,+∞)是X上的乘積度量是指d滿足：

(i) 對(duì)任何x,y∈X,d(x,y)≥1且d(x,y)=1 ?x=y；

(ii) 對(duì)任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)；

(iii) 對(duì)任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)d(y,z).

如果X和d滿足上述條件，則稱(X,d)為乘積度量空間.

引理1[12]如果(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X， 則

xn→x(n→∞) ?d(xn,x)→1 (n→∞).

定義3[12]設(shè)(X,d)是乘積度量空間， {xn}是X中的序列.若對(duì)任何ε>1， 存在自然數(shù)N， 使得當(dāng)m,n>N時(shí)d(xm,xn)<ε成立，則稱序列{xn}為乘積柯西序列.

引理2[12]如果(X,d)是乘積度量空間， {xn}是X中的序列，則{xn}是乘積柯西序列當(dāng)且僅當(dāng)d(xm,xn)→1 (m,n→∞).

定義4[12]若乘積度量空間(X,d)中的每個(gè)乘積柯西序列都是乘積收斂的,則稱(X,d)是完備的.

引理3[12]如果(X,d)是乘積度量空間, {xn}和{yn}是X中的兩個(gè)序列且x,y∈X， 則

xn→x(n→∞)且yn→y(n→∞) ?d(xn,yn)→d(x,y) (n→∞).

定義5定義一個(gè)四元實(shí)函數(shù)類G:g∈G當(dāng)且僅當(dāng)g:[1,∞)4→[1,∞)滿足如下條件：

G(i)g是連續(xù)的且關(guān)于第四變?cè)菃握{(diào)遞增的；

G(ii) 存在實(shí)數(shù)k∈[0,1)， 當(dāng)x,y≥1且滿足x≤g(y,y,x,xy)時(shí)x≤yk成立；

G(iii) 當(dāng)x>1時(shí)x>g(x,1,1,x2).

定義6設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,f:X→X為自映射.稱f是G-隱式壓縮映射是指存在g∈G使得對(duì)任何的x,y∈X有下式成立：

d(fx,fy)≤g(d(x,y),d(x,fx),d(y,fy),d(x,fy)d(y,fx)).

(1)

定理2設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,f:X→X為自映射.如果f是G-隱式壓縮映射，則f有唯一不動(dòng)點(diǎn)，并且對(duì)任何x∈X， 迭代序列{fnx}收斂于該唯一不動(dòng)點(diǎn).

d(xn,xn +1)=d(fxn-1,fxn)≤

g(d(xn-1,xn),d(xn-1,fxn-1),d(xn,fxn),d(xn-1,fxn)d(xn,fxn-1))=

g(d(xn-1,xn),d(xn-1,xn),d(xn,xn +1),d(xn-1,xn +1)d(xn,xn))≤

g(d(xn-1,xn),d(xn-1,xn),d(xn,xn +1),d(xn-1,xn)d(xn,xn +1)).

于是再根據(jù)G(ii)可得：

d(xn,xn +1)≤[d(xn-1,xn)]k,?n=1,2,….

(2)

由式(2)和歸納原理可得：

d(xn,xn +1)≤[d(x0,x1)]kn,?n=1,2,….

(3)

根據(jù)定義1中的(iii)和式(3)可得對(duì)于任何兩個(gè)自然數(shù)m,n(n≥m)有:

d(xm,xn)≤d(xm,xm +1)d(xm +1,xn)≤d(xm,xm +1)d(xm +1,xm +2)d(xm +2,xn)≤…≤

d(xm,xm +1)d(xm +1,xm +2)…d(xn-2,xn-1)d(xn-1,xn)≤

[d(x0,x1)]km[d(x0,x1)]km +1… [d(x0,x1)]kn-2[d(x0,x1)]kn-1≤

(4)

由式(4)及k∈[0,1)可得：

(5)

d(xn +1,fx*)=d(fxn,fx*)≤

g(d(xn,x*),d(xn,fxn),d(x*，fx*),d(xn,fx*)d(x*，fxn))=

g(d(xn,x*),d(xn,xn +1),d(x*，fx*),d(xn,fx*)d(x*，xn +1)).

對(duì)上式兩邊取極限后由引理3和G(i)可得：

d(x*，fx*)≤g(1,1,d(x*，fx*),d(x*，fx*)×1).

再根據(jù)G(ii)可得d(x*，fx*)≤1k=1，d(x*，fx*)=1， 因此x*是f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).如果y*也是f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則根據(jù)式(1)可得:

d(x*，y*)=d(fx*，fy*)≤g(d(x*，y*),d(x*，fx*),d(y*,fy*),d(x*，fy*)d(y*,fx*))=

g(d(x*，y*),1,1,[d(x*，y*)]2).

虛擬現(xiàn)實(shí)是運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行模擬，達(dá)到一種可以高度還原現(xiàn)實(shí)情境的程度，使人沉浸其中。虛擬現(xiàn)實(shí)教學(xué)法是利用虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)構(gòu)造醫(yī)學(xué)模型，例如解剖模型、支氣管纖維鏡模型、手術(shù)模擬器等，學(xué)生根據(jù)醫(yī)學(xué)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練提高技能。虛擬現(xiàn)實(shí)教學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)是可以模擬視覺、聽覺、力覺、觸覺等多種感知功能，通過(guò)這些感知功能來(lái)體現(xiàn)環(huán)境，具有多感知性；全封閉式的操作形式可以減少外界干預(yù)，加強(qiáng)代入感，從而使學(xué)習(xí)者全身心的沉浸于虛擬環(huán)境中，深入學(xué)習(xí)所學(xué)課程；學(xué)習(xí)者還可以通過(guò)使用特殊設(shè)備對(duì)虛擬環(huán)境進(jìn)行對(duì)應(yīng)操作，改變環(huán)境中物體的狀態(tài)，這種操作更趨近于一種真實(shí)的感官體驗(yàn)，體現(xiàn)了虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)具有良好的交互性。

再根據(jù)G(iii)可得d(x*，y*)=1， 因此可知x*=y*是f的唯一不動(dòng)點(diǎn).基于上述證明,由xn=fnx及xn→x*容易推出fnx→x*(n→∞時(shí)).

定理3設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,f:X→X是自映射.如果對(duì)任何x,y∈X,

其中k∈(0,1), 則f在X中有唯一不動(dòng)點(diǎn).

定理4設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,f:X→X是自映射.如果對(duì)任何x,y∈X,

d(fx,fy)≤[max{d(x,y),d(x,fx)}]k[max{d(y,fy),d(x,fy)d(y,fx)}]l，

其中非負(fù)實(shí)數(shù)k和l滿足k+2l<1, 則f在X中有唯一不動(dòng)點(diǎn).

例3在R=(-∞,∞)上定義函數(shù)d(x,y)=e|x-y|,?x,y∈R， 則(R,d)是乘積度量空間(參看文獻(xiàn)[11]).令X={0,2,5}， 則顯然(X,d)是完備的乘積度量空間.定義f:X→X為f0=f2=0,f5=2, 并取k=0.8, 則:

當(dāng)x,y∈{0,2}和x=y=5時(shí),

當(dāng)x=0和y=5時(shí),

d(f0,f5)=e2

當(dāng)x=2和y=5時(shí),

由上述驗(yàn)證可知f和k滿足定理3的所有條件,因此f有唯一不動(dòng)點(diǎn).

例4考慮例3中的(X,d)和f.取k=0.7,l=0.1， 則k+2l=0.9<1.采用例3的證明方法可證得f、k和l滿足定理4的所有條件(具體計(jì)算過(guò)程略),因此利用定理4也可證明f有唯一不動(dòng)點(diǎn).

最后，根據(jù)定理2給出如下特定子空間完備下的不動(dòng)點(diǎn)存在性定理(定理5).

定理5設(shè)(X,d)是乘積度量空間，f：X→X是自映射且fX是完備的.如果存在g∈G使得對(duì)任何的x,y∈X總有式(6)成立,則f在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

d(f2x,f2y)≤g(d(fx,fy),d(fx,f2x),d(fy,f2y),d(fx,f2y)d(fy,f2x)).

(6)

證明由fX?X可推出f(fX)?fX, 因此可知f*=f|fX:fX→fX是完備乘積度量空間(fX,d)上的自映射.由于對(duì)任何x*，y*∈fX, 存在x,y∈X使得x*=fx,y*=fy， 因此根據(jù)式(6)可得:

d(f*x*，f*y*)=d(f2x,f2y)≤

g(d(fx,fy),d(fx,f2x),d(fy,f2y),d(fx,f2y)d(fy,f2x))=

g(d(x*，y*),d(x*，fx*),d(y*，fy*),d(x*，fy*)d(y*，fx*)).

(7)

由式(7)可知f*在完備的乘積度量空間(fX,d)上滿足定理2的所有條件,因此f*在fX上有唯一不動(dòng)點(diǎn),且f在X上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).如果f有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u和v， 則根據(jù)式(6)可得:

d(u,v)=d(f2u,f2v)≤g(d(fu,fv),d(fu,f2u),d(fv,f2v),d(fu,f2v)d(fv,f2u))=

g(d(u,v),1,1,[d(u,v)]2).

根據(jù)G(iii)可得d(u,v)=1， 進(jìn)而得u=v.該結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明f的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的.證畢.