一類具強(qiáng)內(nèi)射的正則環(huán)

劉云萍， 金海蘭

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002)

1974年， Yue C M在文獻(xiàn)[1]中首次提出了P-內(nèi)射模的概念，并利用P-內(nèi)射模研究了正則環(huán).此后，一些學(xué)者又研究了其他一些特殊內(nèi)射環(huán)的正則性[2-4].2002年， Hong C Y等研究了右CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)之間的關(guān)系[5].基于文獻(xiàn)[5]的研究，本文將強(qiáng)CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)相結(jié)合來研究強(qiáng)CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)的等價(jià)條件.

本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，環(huán)上的模均指酉模.設(shè)R為環(huán)，M為左R-模，如果R的任意一個(gè)主左理想I到M的左R-模同態(tài)都可以擴(kuò)充到R到M的左R-模同態(tài)，則稱M為左主內(nèi)射模，簡記為左P-內(nèi)射模[1].如果左R-模RR是P-內(nèi)射模，則稱環(huán)R是左P-內(nèi)射環(huán).如果環(huán)R的每個(gè)環(huán)同態(tài)像都是左P-內(nèi)射的，則稱R為完全左主內(nèi)射環(huán)，簡記為左CP-內(nèi)射環(huán)[6].左CP-內(nèi)射環(huán)一定是左P-內(nèi)射環(huán)，反之未必.

1 強(qiáng)正則環(huán)與弱正則環(huán)

設(shè)R為環(huán)，如果對(duì)?x∈R， 存在y∈R， 使得xyx=x， 則稱R為Von Neumann正則環(huán).文獻(xiàn)[1]的作者證明了環(huán)R是Von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)左R-模是P-內(nèi)射模，同時(shí)還證明了環(huán)R是Von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)循環(huán)左R-模是P-內(nèi)射模.由此可知Von Neumann正則環(huán)一定是左P-內(nèi)射環(huán)，但反之未必.設(shè)R為環(huán)，如果對(duì)?a∈R， 存在b∈R使得a2b=a， 則稱R為強(qiáng)正則環(huán).顯然，強(qiáng)正則環(huán)一定是正則環(huán)，但反之未必.設(shè)R為環(huán)，如果對(duì)?a∈R， 都有aR=aRaR， 則稱R為右弱正則環(huán).類似的，如果對(duì)?a∈R， 都有Ra=RaRa， 則稱環(huán)R為左弱正則環(huán).若環(huán)R既是左弱正則環(huán)，又是右弱正則環(huán)，則稱R為弱正則環(huán).

引理1[7]環(huán)R是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是阿貝爾正則環(huán).

引理2①正則環(huán)一定是弱正則環(huán)； ②右弱正則環(huán)或左弱正則環(huán)一定是半素環(huán).

證明令R是正則環(huán)，則對(duì)?a∈R， 存在b∈R使得a=aba∈aRa.由此知aR=aRaR，Ra=RaRa， 因此R是弱正則環(huán).引理2中的①得證.

令R是一個(gè)右弱正則環(huán)，并設(shè)對(duì)?a∈R，aRa=0.由于R是右弱正則環(huán)，因此有aR=aRaR=0，a=0， 由此知R是半素環(huán).同理，當(dāng)R為左弱正則環(huán)時(shí)，R也一定是半素環(huán).引理2中的②得證.

如果環(huán)R的每個(gè)極大左理想都是R的雙邊理想，則稱R為左擬-duo環(huán).如果環(huán)R的每個(gè)極大本質(zhì)左理想都是R的雙邊理想，則稱R為MELT環(huán).顯然，左擬-duo環(huán)一定是MELT環(huán)，但MELT環(huán)不一定是左擬-duo環(huán).

定理1令R是MELT環(huán)，則以下條件等價(jià)： ①R是正則環(huán)； ②R是左弱正則環(huán)； ③R是右弱正則環(huán)； ④R是弱正則環(huán).

由于正則環(huán)一定是弱正則環(huán)，顯然由條件①可推出條件④.由于弱正則環(huán)既是左弱正則又是右弱正則，所以由條件④可推出條件②和③.

2 強(qiáng)CP-內(nèi)射環(huán)與正則環(huán)

如果環(huán)R的每個(gè)環(huán)同態(tài)像為左(右)R-模時(shí)是P-內(nèi)射模，則稱環(huán)R為強(qiáng)左(右)CP-內(nèi)射環(huán).由文獻(xiàn)[1]中的證明(若R是正則環(huán)，則每個(gè)左(右)R-模都是P-內(nèi)射模)知R是強(qiáng)左(右)CP-內(nèi)射環(huán).

引理3[8]環(huán)R是左P-內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)主右理想是右零化子.

定理2正則環(huán)一定是左P-內(nèi)射環(huán).

證明令R是正則環(huán)，則對(duì)?a∈R， 一定存在b∈R使得a=aba, 由此知ba是R中的冪等元.設(shè)ba=e， 則aR=eR， 于是得aR是1-e的右零化子.由引理3知，R是左P-內(nèi)射環(huán)，但左P-內(nèi)射環(huán)不一定是正則環(huán).

引理4[5]令R是MELT環(huán)，則以下條件等價(jià)： ①R是正則環(huán)； ②R是強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán).

對(duì)于環(huán)R，P(R)表示R的素根集，N(R)表示由所有冪零元構(gòu)成的集合.顯然P(R)?N(R).若P(R)=N(R)， 則稱R為2-primal環(huán).若R是約化環(huán)，則根據(jù)約化環(huán)的概念可得P(R)=N(R)=0， 由此知約化環(huán)一定是2-primal環(huán).

引理5[5]令R是一個(gè)2-primal環(huán)，則以下命題等價(jià)： ①R是強(qiáng)正則環(huán)； ②R是強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán).

如果環(huán)R的每個(gè)非零左(右)理想都包含一個(gè)R的雙邊理想，則稱R為強(qiáng)左(右)有界環(huán).

引理6[5]以下命題等價(jià)： ①環(huán)R是強(qiáng)正則環(huán)； ②環(huán)R是強(qiáng)左有界環(huán)和強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán)； ③環(huán)R是強(qiáng)右有界環(huán)和強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán).

定理3對(duì)于約化環(huán)R， 以下條件等價(jià)： ①R是正則環(huán)； ②R是強(qiáng)左有界環(huán)和強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán)； ③R是強(qiáng)右有界環(huán)和強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán)； ④R是強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán).

證明由于約化環(huán)一定是阿貝爾環(huán)，所以約化的正則環(huán)一定是強(qiáng)正則環(huán)，故由條件①可推出條件②和條件③.

② ? ①.首先利用反證法證明R/rZ(R)是一個(gè)約化環(huán)，其中rZ(R)表示R的左奇異理想.如果R/rZ(R)不是一個(gè)約化環(huán)，則存在a2∈rZ(R)使得a?rZ(R).因此必存在環(huán)R的理想K使得l(a)⊕K∈l(a2)是左本質(zhì)的.由于R是強(qiáng)左有界的，則必存在R的一個(gè)雙邊理想I使得I?K.由此可知Ia2=0，Ia?l(a)∩I?l(a)∩K=0， 所以有I?l(a)，I=0， 這與I≠0矛盾.所以R/rZ(R)是一個(gè)約化環(huán)，即R/rZ(R)是一個(gè)強(qiáng)正則環(huán).由此可知，R是一個(gè)左P-內(nèi)射環(huán)，于是有rZ(R)=J(R)， 故R是一個(gè)左擬-duo環(huán)，即R是一個(gè)強(qiáng)正則環(huán).

③ ? ①.首先利用反證法證明R是一個(gè)約化環(huán).如果R不是一個(gè)約化環(huán),設(shè)a2=0， 但a≠0， 則r(l(a))是R的一個(gè)非零右理想.由此知必存在一個(gè)R的非零雙邊理想I使得I?r(l(a))， 所以有l(wèi)(a)?l(I)， 故R/l(a)是一個(gè)左P-內(nèi)射R-模.令f:Ra→R/l(I)，f滿足f(ra)=r+l(I)， 則f是一個(gè)左R-同態(tài)映射.因?yàn)镽/l(a)是左P-內(nèi)射模，所以存在c∈R使得1+l(I)=f(a)=ca+l(I)， 由此得1-ca∈l(I)， 1∈l(I)， 這與I≠0矛盾.所以R是一個(gè)約化環(huán)，即R是一個(gè)強(qiáng)正則環(huán).

因約化環(huán)也是2-primal環(huán)，所以由引理5知條件①與條件④等價(jià).

令R為環(huán)，若R的所有極大理想的交J(R)=0， 則稱R為半單環(huán)[9].文獻(xiàn)[10]的作者證明了一個(gè)半單的單邊擬-duo環(huán)一定是約化環(huán).

定理4令R是半單左擬-duo環(huán)，則以下條件等價(jià)： ①R是正則環(huán)； ②R是強(qiáng)左有界環(huán)且是強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán)； ③R是強(qiáng)右有界環(huán)且是強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán)； ④R是強(qiáng)左CP-內(nèi)射環(huán)； ⑤R是弱左正則環(huán)； ⑥R是弱右正則環(huán)； ⑦R是弱正則環(huán).

證明由于一個(gè)半單的單邊擬-duo環(huán)一定是約化環(huán)，因此根據(jù)定理3知，定理4中的條件①—④等價(jià).由于左擬-duo環(huán)是MELT環(huán)，進(jìn)而根據(jù)定理1可以證得定理4中的條件①、⑤、⑥、⑦等價(jià).