基于Kriging模型的液壓柱塞泵可靠性靈敏度分析*

杜尊令 張義民

(沈陽(yáng)化工大學(xué)裝備可靠性研究所 遼寧沈陽(yáng) 110142)

柱塞泵因具有高壓、大流量、高效和高可靠性等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于航空航天、工程機(jī)械、機(jī)床等領(lǐng)域。在液壓系統(tǒng)中柱塞泵將原動(dòng)機(jī)的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為液壓能，為能量轉(zhuǎn)換裝置，其能量轉(zhuǎn)換效率很大程度上決定了整個(gè)液壓系統(tǒng)的性能及可靠性[1-3]。柱塞泵在設(shè)計(jì)、制造及運(yùn)行過(guò)程中其工程材料、結(jié)構(gòu)尺寸和運(yùn)行工況等均具有隨機(jī)性[4-6]，致使柱塞泵總效率具有隨機(jī)不確定性，確定性的效率分析模型難以準(zhǔn)確反映柱塞泵在工程應(yīng)用中的真實(shí)運(yùn)行狀態(tài)，且節(jié)能與環(huán)保是液壓技術(shù)發(fā)展的永恒主題，因此開(kāi)展柱塞泵總效率及可靠性的研究意義重大。

以上研究表明柱塞泵總效率是關(guān)于轉(zhuǎn)速和壓差的高度非線(xiàn)性模型，常用的擬合模型有多項(xiàng)式響應(yīng)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7]和Kriging 模型[13]。多項(xiàng)式模型對(duì)高維強(qiáng)非線(xiàn)性問(wèn)題的擬合精度較差，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型所需要的實(shí)驗(yàn)樣本較多，文中采用Kriging 模型擬合柱塞泵總效率。

以上模型多為確定性數(shù)值模型，沒(méi)有考慮參數(shù)隨機(jī)性的影響，無(wú)法真實(shí)反映柱塞泵的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。受內(nèi)因(設(shè)計(jì)因素)和外因(環(huán)境、負(fù)載)等不確定性因素影響，柱塞泵性能參數(shù)具有隨機(jī)性，采用概率統(tǒng)計(jì)理論對(duì)柱塞泵進(jìn)行可靠性研究更加符合工程實(shí)際[4-6]。液壓元件和系統(tǒng)的可靠性研究興起于 20 世紀(jì) 70 年代，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在不同層面上做了相關(guān)的研究工作，取得了許多成果[14-17]。但目前對(duì)軸向柱塞泵可靠性方面的研究較少，孫毅剛[18]以摩擦副應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型為基礎(chǔ),建立了軸向柱塞泵缸體-配流盤(pán)、滑靴-斜盤(pán)這兩對(duì)關(guān)鍵摩擦副的耐磨可靠性設(shè)計(jì)模型。YIN、YANG等[5,15]采用非概率的方法對(duì)水壓柱塞泵的滑靴副、配流副進(jìn)行了可靠性分析。ZHANG等[16-17]以比功(PV)和強(qiáng)度指標(biāo)為度量，基于矩量法提出了液壓柱塞泵的典型摩擦副的抗磨損和抗疲勞可靠性模型，并進(jìn)行了可靠性靈敏度和可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)。上述對(duì)柱塞泵可靠性的研究主要集中在單個(gè)摩擦副磨損和疲勞可靠性分析，對(duì)整個(gè)柱塞泵總效率特性的可靠性分析很少涉及。

本文作者對(duì)柱塞泵影響效率特性的因素進(jìn)行全面分析，研究了基于Kriging模型的柱塞泵總效率建模方法，揭示了壓力和轉(zhuǎn)速對(duì)柱塞泵總效率的影響規(guī)律；以建立的總效率Kriging模型為基礎(chǔ)，把極限總效率作為可靠性失效判據(jù)，分別采用改進(jìn)的一次二階矩法和Monte-Carlo數(shù)值仿真法對(duì)柱塞泵總效率進(jìn)行了可靠性和可靠性靈敏度分析。文中所提方法可推廣至其他液壓泵效率模型的建立及可靠性靈敏度分析。

1 柱塞泵總效率分析

液壓軸向柱塞泵主要由泵軸、斜盤(pán)、滑靴、柱塞、缸體和配流盤(pán)等部件組成，構(gòu)成了滑靴-斜盤(pán)副、柱塞-缸體副、缸體-配流盤(pán)副3對(duì)主要摩擦副(如圖1所示)。泵軸在原動(dòng)機(jī)(內(nèi)燃機(jī)或電動(dòng)機(jī))的驅(qū)動(dòng)下作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)缸體與柱塞滑靴組一起旋轉(zhuǎn)，在斜盤(pán)的作用下，柱塞滑靴組在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，沿缸體孔軸線(xiàn)作直線(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)密封腔容積變化；在配流盤(pán)吸油腰槽和排油腰槽的作用下，實(shí)現(xiàn)吸油和排油的過(guò)程。

圖1 斜盤(pán)式軸向柱塞泵結(jié)構(gòu)示意

軸向柱塞泵各摩擦副之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦損失將導(dǎo)致機(jī)械效率降低，為減少運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各摩擦副之間的摩擦及功率損失，各摩擦副之間要形成適當(dāng)?shù)挠湍?，所形成的油膜間隙勢(shì)必造成一定的泄漏損失，從而降低容積效率。如圖2所示，柱塞泵總效率主要由容積效率和機(jī)械效率構(gòu)成。容積效率損失主要是由泄漏損失產(chǎn)生，在柱塞泵中造成容積效率損失主要因素有滑靴-斜盤(pán)副、柱塞-缸體副、缸體-配流盤(pán)副和滑靴-柱塞球鉸副4對(duì)摩擦副的的間隙泄漏損失，油液的壓縮損失和油液物理特性(受溫度影響油液黏度的變化)等；機(jī)械效率損失主要是由摩擦損失造成，除上述4對(duì)摩擦副的摩擦損失外，還有滑靴-回程盤(pán)、軸承和黏性攪拌摩擦等損失。

圖2 液壓柱塞泵總效率特性影響因素

柱塞泵總效率為機(jī)械效率與容積效率的乘積，容積效率、機(jī)械效率和總效率特性是液壓系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇的重要依據(jù)，也是評(píng)價(jià)液壓泵性能的重要技術(shù)指標(biāo)。如圖3所示為柱塞泵效率傳送簡(jiǎn)圖，主要損失來(lái)源于柱塞泵的泄漏和摩擦產(chǎn)生的熱量損失。其容積效率為柱塞泵實(shí)際輸出流量Qd與輸出流量Qi之比，容積效率為

圖3 柱塞泵效率傳輸簡(jiǎn)圖

(1)

式中：QL為泄漏流量；Vd為柱塞泵排量；ω為缸體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

其機(jī)械效率為理論轉(zhuǎn)矩與實(shí)際輸入轉(zhuǎn)矩之比

(2)

式中：MP為輸入轉(zhuǎn)矩；ML為損失轉(zhuǎn)矩；pd為負(fù)載壓力；pi為進(jìn)油口壓力；Δp為進(jìn)出油口壓力差。

其總效率為柱塞泵輸出的液壓功率與輸入的機(jī)械功率之比

(3)

2 Kriging模型

上述柱塞泵總效率模型多是基于不同轉(zhuǎn)速、不同壓力、不同溫度、不同排量下的試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的數(shù)值模型，為了獲得全面的柱塞泵效率特性，需要足夠多工況點(diǎn)的樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)，這必然耗費(fèi)大量測(cè)試時(shí)間，勞動(dòng)強(qiáng)度大，能源消耗多。擬合數(shù)值模型常用的方法有多項(xiàng)式模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和Kriging模型。Kriging模型作為一種估計(jì)方差最小的無(wú)偏估計(jì)模型，具有全局近似和局部隨機(jī)誤差相結(jié)合的特點(diǎn)，它的有效性不依賴(lài)于隨機(jī)誤差的存在，對(duì)非線(xiàn)性程度較高和局部響應(yīng)突變問(wèn)題具有良好的擬合效果，因此文中采用Kriging模型對(duì)柱塞泵總效率模型進(jìn)行函數(shù)近似。

Kriging模型可近似為響應(yīng)值與自變量之間的關(guān)系，為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)隨機(jī)分布函數(shù)之和，即

(4)

式中：F(x)=[F1(x),F2(x),…,Fm(x)]T為多項(xiàng)式函數(shù)；β=[β1,β2,…,βm]T為回歸待定系數(shù)；z(x)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)過(guò)程，協(xié)方差為

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj)

(5)

式中：σ為標(biāo)準(zhǔn)差；R(θ,xi,xj)為2個(gè)樣本點(diǎn)之間的相關(guān)函數(shù)，為相關(guān)矩陣。

為了滿(mǎn)足模擬過(guò)程的無(wú)偏性，根據(jù)Kriging理論，隨機(jī)響應(yīng)的估計(jì)值為

(6)

當(dāng)樣本值確定后，利用以上公式就可以確定函數(shù)的表達(dá)式，基于表達(dá)式就可以獲知未知樣本點(diǎn)的響應(yīng)值。

3 可靠性靈敏度分析

由于不合理的設(shè)計(jì)制造，惡劣工況下應(yīng)用，磨損腐蝕等導(dǎo)致的性能退化，柱塞泵均會(huì)表現(xiàn)出總效率的降低。因此，可以采用總效率作為柱塞泵的失效判據(jù)。根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，其可靠性極限狀態(tài)方程為

g(X)=η-ηlim

(7)

式中：X為基本隨機(jī)變量；ηlim為柱塞泵總效率極限值，由JB/T 7043—2006《液壓軸向柱塞泵》[19]，公稱(chēng)排量為25 mL/r≤V≤250 mL/r時(shí)，ηlim≥87%。g(X)具有以下?tīng)顟B(tài)

(8)

其可靠度定義為

(9)

文中采用改進(jìn)一次二階矩法(AFOSM)[20]，通過(guò)將非線(xiàn)性功能函數(shù)線(xiàn)性展開(kāi)近似求得非線(xiàn)性功能函數(shù)的可靠度。AFOSM將功能函數(shù)線(xiàn)性化的點(diǎn)取在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，相對(duì)于均值一次二階矩中的均值點(diǎn)，提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度和精確性?；倦S機(jī)變量X相對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)為X*，g(X)在X*處泰勒展開(kāi)取一次相近似為

(10)

其可靠性指標(biāo)為

(11)

可靠度RAFOSM為

RAFOSM=Φ(βAFOSM)

(12)

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)X*事先無(wú)法確定，采用迭代法得到可靠指標(biāo)和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的值

(13)

設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的計(jì)算公式為

(14)

可靠度對(duì)隨機(jī)變量均值和方差的靈敏度為

(15)

(16)

式中：

式中：符號(hào)?代表Kronecker積。

將設(shè)計(jì)參數(shù)代入可靠性分析結(jié)果和式(15)和式(16)就可獲得液壓柱塞泵的可靠性對(duì)基本隨機(jī)參數(shù)均值和方差的敏感度。

用Kriging模型對(duì)柱塞泵總效率進(jìn)行可靠性靈敏度分析步驟如圖4所示。

圖4 柱塞泵總效率可靠性靈敏度分析流程

4 數(shù)值算例

4.1 基于Kriging模型的柱塞泵總效率仿真

仿真所用試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)[7]見(jiàn)表1，選用排量為39.57 mL/r的柱塞泵作為建模對(duì)象，選取轉(zhuǎn)速500、1 500、2 500、3 000 r/min分別作為柱塞泵效率的輸入樣本數(shù)據(jù)，選取1 000、2 000 r/min作為驗(yàn)證樣本。由式(3)可知，柱塞泵總效率與輸出流量、壓差、輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速相關(guān)，壓差和轉(zhuǎn)速為已知量，因此需要分別獲取輸出流量、輸入轉(zhuǎn)矩與壓差、轉(zhuǎn)速的對(duì)應(yīng)關(guān)系，文中分別采用Kriging模型建立映射關(guān)系。

表1 不同工況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)

建立后的模型采用轉(zhuǎn)速分別為1 000和2 000 r/min的試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。圖5給出了Kriging模型仿真與試驗(yàn)的流量對(duì)比曲線(xiàn)，兩者最大相對(duì)誤差為1.37×10-4，因此Kriging方法建立的流量模型具有較高的精確性。從圖5也可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，柱塞泵輸出流量逐漸增加；隨著壓差的增加，輸出流量逐漸降低。

圖5 仿真與試驗(yàn)的流量對(duì)比

圖6給出了總效率仿真與試驗(yàn)對(duì)比曲線(xiàn)，2種方法的總效率最大相對(duì)誤差為1.58×10-3，表明采用Kriging模型建立的流量和轉(zhuǎn)矩模型具有較高的精度，精確的效率模型有助于在特定工況下優(yōu)化柱塞泵效率。

圖6 仿真與試驗(yàn)的總效率對(duì)比

從圖6中可以看出，轉(zhuǎn)速為1 000 r/min時(shí)總效率明顯高于2 000 r/min。隨著壓差的增加，摩擦副的油膜厚度將會(huì)逐漸增厚，造成間隙泄漏損失增加，致使容積效率逐漸降低；而摩擦副油膜厚度的增加，為摩擦副運(yùn)行提供了較好的潤(rùn)滑條件，摩擦轉(zhuǎn)矩?fù)p失降低，從而機(jī)械效率逐漸提高?？傂蕿槿莘e效率和機(jī)械效率的乘積，因效率值均小于1，所以總效率受兩者較小值的影響較大。因此，隨著壓差的增加，總效率先主要受機(jī)械效率影響而逐漸增加，后主要受容積效率影響而逐漸降低，呈先升高后降低的拋物線(xiàn)形式。

基于Kriging模型分別建立的輸出流量、輸入轉(zhuǎn)矩模型，給出了全面的柱塞泵總效率分布，如圖7所示。可以看出隨壓差和轉(zhuǎn)速的增加，總效率呈先增后降的趨勢(shì)，極大值區(qū)域出現(xiàn)在低速中壓區(qū)域。在高壓低轉(zhuǎn)速的工況下，總效率主要受容積效率影響，在低壓高速工況下，主要受機(jī)械效率影響。因此該方法通過(guò)少量的試驗(yàn)樣本即可獲得全面的柱塞泵總效率，利于柱塞泵在選型過(guò)程中能量的高效利用。

圖7 柱塞泵總效率分布

4.2 柱塞泵總效率可靠性靈敏度分析

選取X=[Δpnηlim]T作為極限狀態(tài)方程的基本隨機(jī)變量，假設(shè)各基本隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其概率分布信息見(jiàn)表2。

表2 柱塞泵隨機(jī)變量概率分布信息

Monte-Carlo法又稱(chēng)為隨機(jī)數(shù)值模擬法，具有直觀(guān)、精確、通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，隨著模擬次數(shù)的增加可以獲得較高的精度，缺點(diǎn)是計(jì)算工作量較大，特別是在實(shí)際大型復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中小概率事件發(fā)生時(shí)很難應(yīng)用，常被作為標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證其他方法的準(zhǔn)確性。文中采用Monte-Carlo法對(duì)極限狀態(tài)方程進(jìn)行106次抽樣，2種方法得到的結(jié)果如下:

βAFORM=2.403 698，RAFORM=0.991 885

βMCS=2.401 635，RMCS=0.991 839

可以看出采用AFOSM法可靠度計(jì)算結(jié)果與Monte-Carlo法十分接近，2種方法的最大相對(duì)誤差為4.6×10-5，AFOSM法計(jì)算效率上明顯優(yōu)于Monte-Carlo法。

將表2中柱塞泵參數(shù)代入式(15)和式(16)得到基本隨機(jī)變量均值和方差靈敏度，見(jiàn)圖8和圖9?？芍?種方法獲得的靈敏度大小和趨勢(shì)基本一致，在此工況下，均值靈敏度和方差靈敏度均為負(fù)值，即隨著均值和方差的增大，可靠度降低；絕對(duì)值最大的是極限總效率，其次是壓差。

圖8 柱塞泵無(wú)量綱均值靈敏度

圖9 柱塞泵無(wú)量綱方差靈敏度

為了證實(shí)不同工況下靈敏度的變化情況，圖10和圖11分別給出了轉(zhuǎn)速為1 500 r/min或壓差為20 MPa工況下均值靈敏度隨壓差和轉(zhuǎn)速的變化情況。圖10中，隨著壓差的增加，摩擦副油膜厚度增加，潤(rùn)滑條件有所改善，摩擦轉(zhuǎn)矩?fù)p失降低，但間隙泄漏損失增加。在低壓時(shí)機(jī)械效率快速增長(zhǎng)，總效率主要受機(jī)械效率影響而升高，可靠性對(duì)壓差的靈敏度為正值(正相關(guān))，其值隨壓差增加急劇降低，即隨著壓差均值的增加，可靠度將迅速提高；在中間壓力區(qū)域，靈敏度趨近于0，即壓差的均值對(duì)靈敏度影響相對(duì)較小，趨近于穩(wěn)??；在高壓時(shí)，總效率主要受容積效率的影響呈降低趨勢(shì)，可靠性對(duì)壓差的靈敏度為負(fù)值(負(fù)相關(guān))，其值隨壓差增加迅速降低。隨著壓差的增加，轉(zhuǎn)速的靈敏度一直為負(fù)值，但影響程度呈現(xiàn)由大變小再變大的拋物線(xiàn)形式，即低壓時(shí)和高壓時(shí)轉(zhuǎn)速均值對(duì)可靠性影響較大，在1 500 r/min轉(zhuǎn)速工況下，降低一定轉(zhuǎn)速有利于提高可靠度。圖11中，隨著轉(zhuǎn)速的增加，在壓差為20 MPa工況下，轉(zhuǎn)速的靈敏度由正值逐漸降低為負(fù)值，即轉(zhuǎn)速對(duì)可靠性的影響由正相關(guān)逐漸變?yōu)樨?fù)相關(guān)，在速度較低時(shí)升高轉(zhuǎn)速，在速度較高時(shí)降低速度有利于提高可靠度；壓差的靈敏度一直為負(fù)值，影響程度呈現(xiàn)由大變小后變大的拋物線(xiàn)形式，在壓差為20 MPa工況下，降低壓差有利于提高總效率可靠度。因此隨機(jī)變量對(duì)柱塞泵總效率可靠性影響依賴(lài)于運(yùn)行工況，不同工況下靈敏度具有較大差異。

圖10 柱塞泵均值靈敏度隨壓差變化曲線(xiàn)

圖11 柱塞泵均值靈敏度隨轉(zhuǎn)速變化曲線(xiàn)

5 結(jié)論

(1)首次采用Kriging模型擬合了液壓柱塞泵輸出流量和輸出轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速和壓差之間的映射關(guān)系，建立的總效率模型具有較高的精度，模擬結(jié)果可以獲取全面的柱塞泵效率特性。

(2)分別采用AFOSM法和Monte-Carlo法獲得了不同工況下的可靠性靈敏度，結(jié)果表明，在壓差為20 MPa、轉(zhuǎn)速為1 500 r/min工況下，壓差和轉(zhuǎn)速均值對(duì)總效率可靠性的影響均為負(fù)值，且壓差對(duì)可靠性的影響較大，即該工況下降低壓差和轉(zhuǎn)速有利于提高總效率可靠度；不同運(yùn)行工況下柱塞泵總效率可靠性靈敏度差異較大，甚至正負(fù)值可能發(fā)生改變，因此在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)要重視運(yùn)行工況的影響。