“分區(qū)”與“契合”思想求解半空間含凸起地形對(duì)SH波散射問(wèn)題的研究進(jìn)展

屈恩相，齊 輝，郭 晶，楊 杰，鄭 易

(1.齊齊哈爾大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

自然界中存在著不同種類(lèi)的地形，地形對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的影響是地震工程學(xué)中重要的研究課題。關(guān)于地形變化主要可以分為凸起和凹陷兩種不同形式的地形，分析其地形的方法主要包括解析法和數(shù)值法兩種。在解析法的應(yīng)用上，科研人員常常采用波函數(shù)展開(kāi)法、Green法、復(fù)變函數(shù)法、多極坐標(biāo)法等研究凸起與凹陷相關(guān)地形對(duì)SH波的散射問(wèn)題。對(duì)于含凸起地形問(wèn)題的研究要比凹陷地形復(fù)雜的多，凸起地形的研究對(duì)于地震工程學(xué)來(lái)說(shuō)具有重要的研究?jī)r(jià)值和意義?！胺謪^(qū)”與“契合”的思想應(yīng)用十分廣泛，比如界面復(fù)合缺陷問(wèn)題與其他缺陷相互作用[1-4]、等值線圖的局部精確性評(píng)價(jià)[5]、地鐵列車(chē)振動(dòng)誘發(fā)的層狀地基振動(dòng)問(wèn)題[6]、沉積盆地對(duì)地震波的散射問(wèn)題[7]、SV波入射下隧道山體問(wèn)題[8]、qP波入射橫觀各向同性場(chǎng)襯砌隧道問(wèn)題[9]以及橫觀各向同性介質(zhì)沉積谷地對(duì)平面qP和qSV波的散射問(wèn)題[10]、任意多個(gè)凸起地形對(duì)平面P波的散射問(wèn)題[11]、彈性半空間中半圓隧道對(duì)波場(chǎng)散射問(wèn)題[12]、梯形凸起地形與淺埋夾雜之間的相互作用[13]以及半空間凸起地形缺陷[14-41]等方面都有應(yīng)用。文中論述的半空間凸起地形缺陷主要包括圓弧形凸起、等腰三角形凸起、非等腰三角形凸起等等或者是孔洞、襯砌、夾雜與凸起地形相互作用的組合缺陷形式，例如凸起與圓孔問(wèn)題、凸起與“隱蔽地形”問(wèn)題、凸起附近淺埋襯砌問(wèn)題、凸起與淺埋裂紋問(wèn)題、凸起與凹陷相連問(wèn)題；求解的區(qū)域又可分為全空間、半空間及直角域等等，該類(lèi)問(wèn)題又可以與多種缺陷形式相結(jié)合；含多種缺陷組合而成的介質(zhì)還可以分為均勻的、非均勻的、各向同性、各向異性，等等。

研究含凸起地形對(duì)SH波散射問(wèn)題時(shí)，需要將求解區(qū)域進(jìn)行分解。這將會(huì)導(dǎo)致需要對(duì)混合邊值問(wèn)題進(jìn)行處理，使得該問(wèn)題的解析解更為困難。應(yīng)用“分區(qū)”與“契合”思想可以有效的避免混合邊值問(wèn)題帶來(lái)的麻煩，“分區(qū)”的思想是用一種全新的方法對(duì)含凸起地形散射問(wèn)題研究，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為滿足公共邊界“契合”的邊值問(wèn)題。

1 求解SH波入射純凸起地形的散射問(wèn)題

半空間的純凸起地形問(wèn)題可以分為圓弧形凸起、等腰三角形凸起等等，或者是凸起的組合缺陷形式。與凹陷問(wèn)題相比含凸起地形問(wèn)題的研究更為復(fù)雜，波函數(shù)展開(kāi)法求解該類(lèi)問(wèn)題會(huì)涉及混合邊值問(wèn)題。

袁曉銘[14-15]等人通過(guò)引入輔助函數(shù)和Graf加法公式解決了圓弧形凸起所帶來(lái)的混合邊值問(wèn)題的困難，得出小高寬比凸起地形對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的放大和空間分布有影響的結(jié)論。崔志剛[16]等人使用“分區(qū)”與“契合”方法，求解了圓弧形凸起地形對(duì)SH波散射問(wèn)題。理論模型如圖1所示，地表S和界面C滿足應(yīng)力為零，其余邊界應(yīng)力任意?；镜那蠼馑枷肴鐖D2所示，將模型分成兩個(gè)求解區(qū)域，即“分區(qū)”思想。區(qū)域I是包含弧形邊界在內(nèi)的C和C，區(qū)域Ⅱ是包含水平邊界S和C挖掉余下的S所組成?！捌鹾稀彼枷胧菍⑦吔鏢和C在公共邊界滿足位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)的條件?！胺謪^(qū)”與“契合”思想有效地解決了圓弧形凸起的地形問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為只需滿足公共邊界契合條件的問(wèn)題。Zhang[17]利用“分區(qū)”與“契合”思想求解了彈性半空間中非均勻山丘對(duì)SH波散射問(wèn)題。模型如圖3所示，區(qū)域分解圖如圖4所示。模型分為兩個(gè)區(qū)域。區(qū)域Θ是包括圓形山丘的圓形區(qū)域，其中上邊界和下邊界分別表示為L(zhǎng)和L；區(qū)域D形成了其余的半空間。區(qū)域Θ和D的共同邊界是L，水平邊界用L表示。將復(fù)雜模型劃分為兩個(gè)完全獨(dú)立的圓形區(qū)域和含有凹陷直邊界區(qū)域，再結(jié)合兩個(gè)區(qū)域間位移和應(yīng)力的連續(xù)性可以推導(dǎo)出原模型的邊界條件。曹欣榮[18]等人使用“分區(qū)”與“契合”思想，求解了任意形狀凸起對(duì)SH波的散射問(wèn)題。與崔志剛[16]不同的是使用保角映射思想將區(qū)域Ⅰ外域映射為單位圓域，引入了映射函數(shù)。該方法求解高寬比過(guò)小或者有尖角的凸起地形有限制，需要另尋其他路徑解決。邱發(fā)強(qiáng)[19]等人使用“分區(qū)”與“契合”求解了等腰三角形凸起的理論模型如圖5所示；運(yùn)用“分區(qū)”的思想先將理論模型分成兩個(gè)區(qū)域輔助問(wèn)題，區(qū)域分割圖如圖6。區(qū)域Ⅰ是包含等腰三角形的夾雜凸起，區(qū)域Ⅱ是整個(gè)理論模型挖去區(qū)域Ⅰ余下的部分。理論模型邊界地表S和界面C滿足應(yīng)力為零。區(qū)域Ⅰ在邊界D構(gòu)造駐波解，區(qū)域Ⅱ中D的總波場(chǎng)由入射波、反射波、散射波所構(gòu)成。在公共邊界進(jìn)行契合，公共邊界D和D位移和應(yīng)力都連續(xù)。Lin[20]等人研究了斜三角形山丘地形對(duì)SH波的散射問(wèn)題。帶有斜三角山丘地形為區(qū)域Ⅰ，余下含有凹陷地形為區(qū)域Ⅱ。在區(qū)域Ⅰ中構(gòu)造了一個(gè)駐波函數(shù)，該駐波函數(shù)在三角形楔塊處滿足零應(yīng)力條件。在區(qū)域II中構(gòu)造散射波函數(shù)，該散射波函數(shù)在水平面處滿足零應(yīng)力條件，在兩個(gè)區(qū)域公共交界面滿足位移和應(yīng)力連續(xù)條件。杜永軍[21]等人展開(kāi)了對(duì)雙等腰三角形凸起地形對(duì)SH波散射問(wèn)題的研究，使用“分區(qū)”與“契合”思想求解了雙等腰三角形凸起的理論模型；運(yùn)用“分區(qū)”的思想先將理論模型分成三個(gè)區(qū)域輔助問(wèn)題，兩個(gè)帶有半圓形弧線的等腰三角形夾雜凸起為區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，余下含有兩個(gè)半圓形凹陷的地形為區(qū)域Ⅲ。運(yùn)用“契合”思想在公共邊界進(jìn)行契合裝配，滿足公共邊界上位移和應(yīng)力連續(xù)。杜永軍[22]等人又進(jìn)行了等腰三角形凸起地形與半圓形凹陷地形相互作用對(duì)SH波散射問(wèn)題的研究。運(yùn)用“分區(qū)”的思想先將理論模型分成三個(gè)區(qū)域輔助問(wèn)題，半圓形弧線的等腰三角形夾雜凸起為區(qū)域Ⅰ，圓形夾雜為區(qū)域Ⅲ，余下含有兩個(gè)半圓形凹陷的地形為區(qū)域Ⅱ。運(yùn)用契合思想在公共邊界進(jìn)行契合裝配，滿足公共邊界上位移和應(yīng)力連續(xù)。

圖1 圓弧形凸起地形模型

圖2 區(qū)域分割圖

圖3 彈性半空間中非均勻山丘地形模型

圖4 區(qū)域分割圖

圖5 等腰三角形凸起地形模型

圖6 區(qū)域分割圖

“分區(qū)”和“契合”關(guān)鍵思想在求解純凸起類(lèi)地形對(duì)SH波散射問(wèn)題具有關(guān)鍵作用，首先將該類(lèi)地形模型進(jìn)行分區(qū)，分成若干個(gè)輔助問(wèn)題，構(gòu)造滿足各個(gè)部分波場(chǎng)的條件。契合是將分成的若干區(qū)域在公共邊界進(jìn)行裝配，分別滿足應(yīng)力和位移連續(xù)性條件。這樣“分區(qū)”和“契合”思想有效的避免了求解混合邊值問(wèn)題的影響。

2 求解SH波入射凸起與凹陷地形的散射問(wèn)題

凸起與凹陷地形相互作用在自然界廣泛存在，在修建高鐵時(shí)，通常會(huì)經(jīng)過(guò)山峰與河谷相連的地形。凸起與凹陷地形主要包括圓形凸起與凹陷、三角形凸起與凹陷、凸起與沉積谷地等問(wèn)題；“分區(qū)”與“契合”關(guān)鍵思想在求解SH波入射該類(lèi)地形問(wèn)題時(shí)也有應(yīng)用。

呂曉棠[23]等人采用“分區(qū)”與“契合”方法求解了半圓形凸起與凹陷地形相連的地震動(dòng)問(wèn)題，理論模型如圖7，區(qū)域分割圖如圖8所示。分區(qū)是將理論模型分解成兩個(gè)區(qū)域問(wèn)題，含有圓形夾雜為區(qū)域Ⅰ，余下含有兩個(gè)凹陷地形為區(qū)域Ⅱ；地形邊界中S、C、S2應(yīng)力為零。區(qū)域Ⅰ需要構(gòu)造滿足上半圓形凸起應(yīng)力為零，其余位移、應(yīng)力為任意駐波。區(qū)域Ⅱ利用復(fù)變函數(shù)法、多極坐標(biāo)法構(gòu)造其相應(yīng)的散射波、反射波和入射波場(chǎng)；契合思想是將公共邊界S1上位移和應(yīng)力連續(xù)進(jìn)行裝配。楊在林[24-26]等人對(duì)等腰三角形凸起、非等腰三角形凸起與半圓形凹陷地形相連問(wèn)題進(jìn)行研究，采用“分區(qū)”與“契合”關(guān)鍵思想進(jìn)行處理。將三角形凸起夾雜地形分成兩個(gè)輔助問(wèn)題，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ，余下含有半圓形凹陷地形為區(qū)域Ⅱ。水平邊界S和斜邊界C滿足應(yīng)力自由條件，“契合”思想表現(xiàn)在區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，區(qū)域Ⅲ和區(qū)域Ⅱ的公共邊界D1和D3進(jìn)行裝配，滿足位移連續(xù)、應(yīng)力連續(xù)。帶有半圓形沉積谷地地形也同樣可以使用“分區(qū)”與“契合”思想，呂曉棠[27]等人研究了半圓形凸起與沉積谷地相連地形問(wèn)題。理論模型如圖9所示，區(qū)域分割圖如圖10所示。邊界S和C滿足應(yīng)力自由，沉積谷地S2滿足應(yīng)力、位移連續(xù)條件?！胺謪^(qū)”是將模型分成三個(gè)輔助問(wèn)題，分別是區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ，分別構(gòu)造滿足各自的波場(chǎng)。在公共邊界進(jìn)行契合，S1邊界上滿足圓形夾雜駐波與SH入射波、反射波以及S1和S2邊界的散射波位移和應(yīng)力連續(xù)。

圖7 半圓形凸起和凹陷相互作用理論模型

圖8 區(qū)域分割圖

圖9 半圓形凸起與半圓形沉積谷地相連地形模型

圖10 區(qū)域分割圖

對(duì)于沉積地形部分同樣也滿足契合條件。韓峰[28-29]等人研究了半圓柱形峽谷與三角形山丘相連地形及多個(gè)凸起與凹陷相連的地形問(wèn)題?！胺謪^(qū)”思想是將模型分解成兩個(gè)求解區(qū)域。包含三角形山丘地形為區(qū)域?yàn)棰?，余下帶有半圓形凹陷地形為區(qū)域Ⅱ。使用復(fù)變函數(shù)法和多極坐標(biāo)法構(gòu)造區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ滿足的邊界條件。利用“契合”思想，在公共邊界S1和S2進(jìn)行裝配，在公共邊界上滿足位移和應(yīng)力連續(xù)條件。雙等腰三角形凸起與半圓形凹陷地形模型如圖11所示，區(qū)域分割圖如12所示。“分區(qū)”思想是將模型分解成三個(gè)求解區(qū)域。雙等腰三角形的求解區(qū)域?yàn)棰窈廷螅嘞聨в邪雸A形凹陷地形為區(qū)域Ⅱ。使用復(fù)變函數(shù)法和多極坐標(biāo)法構(gòu)造區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ滿足的邊界條件。利“契合”思想，在公共邊界S1和S3進(jìn)行裝配。

圖11 雙等腰三角形凸起與半圓形凹陷地形模型

圖12 區(qū)域分割圖

“分區(qū)”與“契合”關(guān)鍵思想在求解凸起與凹陷相連地形問(wèn)題上有廣泛應(yīng)用，“分區(qū)”思想是將地形分成若干個(gè)凸起與凹陷的區(qū)域，分別構(gòu)造滿足各自的波場(chǎng)。“契合”思想將分成區(qū)域的若干公共邊界進(jìn)行裝配，需要說(shuō)明原模型中存在凹陷部分不需要進(jìn)行裝配，只需滿足公共邊界滿足應(yīng)力和位移連續(xù)性條件。

3 求解SH波入射孔洞、襯砌、夾雜、裂紋與凸起地形相互作用的散射問(wèn)題

“分區(qū)”與“契合”思想在處理半圓形凸起與圓形孔洞問(wèn)題、半圓形凸起與圓形襯砌問(wèn)題、淺埋圓孔與多個(gè)半圓形凸起地形相互作用問(wèn)題、孔洞與三角形凸起地形、多個(gè)淺埋圓形孔洞與多個(gè)含孔半圓形凸起地形上有關(guān)鍵作用。

李彤[30]等人對(duì)含圓形孔洞的半圓形凸起問(wèn)題進(jìn)行研究，理論模型如圖13，區(qū)域分割圖如14所示。半圓形孔洞問(wèn)題與半圓形凸起不同，半圓形凸起是將區(qū)域分成圓形夾雜部分和半圓形凹陷部分。圓形空洞問(wèn)題是分解成圓環(huán)部分和半圓形凹陷部分，所滿足的邊界條件有所不同。分區(qū)和契合作為關(guān)鍵思想求解該類(lèi)問(wèn)題，分區(qū)是將模型分解成兩個(gè)區(qū)域，分別是有圓環(huán)的區(qū)域Ⅰ和有凹陷部分為區(qū)域Ⅱ。理論模型邊界S和C滿足應(yīng)力為零，對(duì)于圓環(huán)區(qū)域的上部分C也應(yīng)滿足應(yīng)力為零，其余邊界應(yīng)力任意。區(qū)域Ⅱ所構(gòu)造的波場(chǎng)有入射波、反射波、散射波。在公共邊界進(jìn)行契合，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)域Ⅰ存在的駐波在公共邊界與區(qū)域Ⅱ波場(chǎng)所滿足的條件裝配。李敏[31-33]在李彤[30]的基礎(chǔ)上增加了單個(gè)圓形孔洞[31]、多個(gè)圓形孔洞[32]、多個(gè)圓孔的半圓形凸起與多個(gè)圓形孔洞[33]，同樣采用了“分區(qū)”與“契合”的思想。分區(qū)是將模型分成兩個(gè)區(qū)域，分別是含有圓環(huán)的區(qū)域Ⅰ和余下還有凹陷與圓形孔洞相互作用的區(qū)域Ⅱ。邊界S、C以及圓孔滿足應(yīng)力為零，其余邊界應(yīng)力自由。在公共邊界進(jìn)行契合，滿足位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)的條件。李敏[32-33]在研究中發(fā)現(xiàn)類(lèi)似使用了“分區(qū)”與“契合”思想，兩者分區(qū)中的區(qū)域Ⅰ都是圓環(huán)形，所不同的是區(qū)域Ⅱ波場(chǎng)的構(gòu)造，包括多個(gè)孔洞相互作用，反射與散射波場(chǎng)要更為復(fù)雜，在公共邊界契合時(shí)同樣滿足應(yīng)力與位移連續(xù)性條件；另外，其在研究中還發(fā)現(xiàn)相同的是區(qū)域分割圖中的區(qū)域Ⅱ，所不同的是區(qū)域Ⅰ，包含的是多個(gè)圓環(huán)形，需要構(gòu)造每一個(gè)不同圓環(huán)所滿足的波場(chǎng)。區(qū)域Ⅰ中每一個(gè)圓環(huán)都要在公共邊界上進(jìn)行裝配，契合都應(yīng)滿足每一個(gè)公共邊界部位的應(yīng)力和位移連續(xù)的條件。

圖13 含圓形孔洞的半圓形凸起模型

圖14 區(qū)域分割圖

劉殿魁[34]等人對(duì)半圓形凸起附近的淺埋圓孔問(wèn)題進(jìn)行研究，對(duì)于該類(lèi)問(wèn)題“分區(qū)”與“契合”方法有效地進(jìn)行解決。理論模型如圖15所示，區(qū)域分割圖如圖16所示。該地形分區(qū)成兩個(gè)區(qū)域，圓形夾雜為區(qū)域Ⅰ，余下半圓形凹陷與附近圓形孔洞為區(qū)域Ⅱ。邊界S和C邊界條件應(yīng)力為零，區(qū)域Ⅰ半圓形凸起地形上半部分應(yīng)力為零而其余部分位移、應(yīng)力均為任意駐波，區(qū)域Ⅱ中要考慮“公共邊界”和地下孔洞所產(chǎn)生的散射波，并滿足水平界面上應(yīng)力為零的邊界條件。該問(wèn)題轉(zhuǎn)為只需要滿足“公共邊界”上的“契合”條件和地下孔洞邊界條件的邊值問(wèn)題。杜永軍[35]等人在凸起的地形基礎(chǔ)上增加圓形襯砌結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步豐富了復(fù)雜缺陷形式存在對(duì)SH波散射的影響。地形模型如圖17所示，區(qū)域分割圖如圖18所示?！胺謪^(qū)”思想是將模型分成三個(gè)區(qū)域，分別是圓形夾雜區(qū)域Ⅰ、含有半圓形凹陷區(qū)域Ⅱ、圓形襯砌結(jié)構(gòu)為區(qū)域Ⅲ?！捌鹾稀彼枷胧菍^(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ在公共邊界進(jìn)行裝配，滿足位移和應(yīng)力連續(xù)性條件。圓形襯砌結(jié)構(gòu)與圓形夾雜、圓形孔洞問(wèn)題的邊界條件有所不同，即區(qū)域Ⅲ中T1和T2邊界所滿足的條件有所不同，T1邊界既要滿足位移連續(xù)又要滿足應(yīng)力連續(xù)，而T2邊界只需要滿足應(yīng)力為零條件。劉剛[36]等人對(duì)等腰三角形凸起地形與圓孔作用進(jìn)行研究，分區(qū)是將求解模型分割成兩個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ是由半圓形弧和等腰三角形組成，區(qū)域Ⅱ是其余部分。在區(qū)域Ⅰ中構(gòu)造一個(gè)滿足等腰三角形兩斜邊上應(yīng)力自由的駐波函數(shù)，在區(qū)域Ⅱ中構(gòu)造出半圓形凹陷和淺埋圓孔的散射波并滿足水平界面上應(yīng)力為零的邊界條件。利用復(fù)平面下坐標(biāo)移動(dòng)，滿足公共邊界的位移和應(yīng)力連續(xù)和淺埋孔洞內(nèi)邊界應(yīng)力自由條件。

圖15 半圓形凸起與圓孔相互作用地形模型

圖16 區(qū)域分割圖

圖17 半圓形凸起與襯砌相互作用地形模型

圖18 區(qū)域分割圖

對(duì)于多個(gè)半圓形凸起與圓形孔洞相互作用問(wèn)題，也可以采用“分區(qū)”與“契合”的思想進(jìn)行處理。杜永軍[37]等人使用“分區(qū)”與“契合”求解了多個(gè)凸起地形與淺埋孔洞相互作用的理論模型；運(yùn)用“分區(qū)”的思想先將理論模型分成兩個(gè)區(qū)域輔助問(wèn)題。區(qū)域Ⅰ是包含多個(gè)圓形夾雜，區(qū)域Ⅱ是整個(gè)理論模型挖去區(qū)域Ⅰ余下的部分。Lv[38]在淺埋圓柱形彈性?shī)A雜附近多個(gè)半圓形凸起地形上進(jìn)行延伸，同樣使用了“分區(qū)”和“契合”的思想。理論模型如圖19所示，區(qū)域分割圖如圖20所示?！胺謪^(qū)”是將模型分成區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，區(qū)域Ⅰ是包括多個(gè)圓形夾雜所組成、區(qū)域Ⅱ是余下部分。Lv[38]與杜永軍[37]所不同的是區(qū)域Ⅱ中圓形孔洞與圓形夾雜滿足的邊界條件有所不同。圓形夾雜邊界條件需要滿足應(yīng)力和位移連續(xù)性條件，而圓形孔洞滿足應(yīng)力自由。Lv[39]等人對(duì)半圓形山丘和半圓形峽谷對(duì)淺埋隧道影響的動(dòng)力分析問(wèn)題進(jìn)行研究。該類(lèi)問(wèn)題理論模型如圖21所示，運(yùn)用“分區(qū)”和“契合”思想對(duì)二維平面模型進(jìn)行分解如圖22所示?！胺謪^(qū)”是將模型分解成兩個(gè)區(qū)域，分別是凸起地形為區(qū)域Ⅰ，余下部分為區(qū)域Ⅱ。運(yùn)用“分區(qū)”與“契合”思想有效地避免求解混合邊值問(wèn)題，只要滿足公共邊界契合問(wèn)題即可。Lv[40]對(duì)SH波作用下含裂紋與半圓形凸起地形的地震動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究。分區(qū)是將求解區(qū)域分成兩個(gè)部分包括半圓形凸起在內(nèi)的圓形區(qū)域?yàn)閰^(qū)域Ⅱ，余下部分為區(qū)域Ⅰ。契合是在兩個(gè)區(qū)域的公共邊界進(jìn)行裝配，滿足位移和應(yīng)力連續(xù)性條件。

圖19 多個(gè)半圓形凸起與圓柱形彈性?shī)A雜相互作用地形模型

圖20 區(qū)域分割圖

圖21 半圓形山丘與峽谷相連附近淺埋隧道理論模型

圖22 區(qū)域分割圖

張海[41]等人結(jié)合“分區(qū)”和“契合”思想研究半圓形山嶺襯砌隧道對(duì)SH波散射的影響，理論模型如圖23所示。運(yùn)用分區(qū)的方法將理論模型分成四個(gè)區(qū)域，分別如圖24所示。第Ⅰ區(qū)域是由上部L和下部L組成的外邊界與上部L1和下部L組成的內(nèi)邊界共同形成的圓環(huán)形Θ域；第Ⅱ區(qū)域是上部L1和下部L組成的外邊界與由上部L2和下部L2組成的內(nèi)邊界共同形成的環(huán)形Ω域；第Ⅲ區(qū)域是上邊界地表L3與所圍成的半圓形Λ區(qū)域。第Ⅳ區(qū)域是余下的含有半空間凹陷的D區(qū)域。契合思想是將每個(gè)區(qū)域相連的公共部分進(jìn)行裝配，滿足應(yīng)力和位移連續(xù)。第Ⅰ區(qū)域與第Ⅱ區(qū)域的公共邊界是L1和L1；第Ⅱ區(qū)域和第Ⅲ區(qū)域的公共邊界是L；第Ⅳ區(qū)域和第Ⅰ區(qū)域的公共邊界是。邊界L、Г、L2、L3應(yīng)力為零?！胺謪^(qū)”和“契合”的思想有效地求解了該類(lèi)復(fù)雜多區(qū)域的地形問(wèn)題。從外至內(nèi)依次分解，然后在公共邊界部分組裝。

圖23 凸起地形中半圓形襯砌隧道理論模型

圖24 區(qū)域分割圖

結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)半空間凸起類(lèi)地形問(wèn)題進(jìn)行分析，論述了“分區(qū)”與“契合”關(guān)鍵思想求解該類(lèi)問(wèn)題的應(yīng)用性研究。該種方法是先分后合的處理辦法，分是將問(wèn)題模型分成多干個(gè)問(wèn)題求解區(qū)域，然后分別處理每一個(gè)輔助問(wèn)題所滿足的條件；合則是將拆分的求解區(qū)域在公共邊界進(jìn)行組裝，分別滿足相應(yīng)的連續(xù)性條件。通過(guò)研究“分區(qū)”與“契合”思想可以對(duì)半空間含凸起類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行求解，有效地解決了不同缺陷組合的混合邊值問(wèn)題，還可以進(jìn)一步的豐富和推廣到復(fù)雜地形、任意形狀或者是不規(guī)則的特殊地形問(wèn)題。