類(lèi)比思想：計(jì)算教學(xué)的“引路人”

涂玉霞 方菊

類(lèi)比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的數(shù)學(xué)方法。所謂類(lèi)比，指以同類(lèi)事物或相近性質(zhì)為基礎(chǔ)進(jìn)行比較推理，以了解新事物的一種思想方法。計(jì)算教學(xué)中，有很多類(lèi)比思想方法的具體運(yùn)用，如運(yùn)算方法的類(lèi)比、解決問(wèn)題方法的類(lèi)比等。本期，我們討論在計(jì)算教學(xué)中，如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思想，并運(yùn)用類(lèi)比思想方法解決問(wèn)題。

類(lèi)比是借助兩個(gè)或兩類(lèi)思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似， 由已知一類(lèi)屬性推出它們?cè)诹硪活?lèi)屬性上也相同或相似的一種推理方法。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞提出“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”，相應(yīng)地，類(lèi)比思想可成為計(jì)算教學(xué)的引路人。如何在教學(xué)中滲透類(lèi)比思想，促進(jìn)學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的有效遷移呢？

一、聚焦本質(zhì)，類(lèi)比算理

算法、算理知識(shí)之間存在著密切的內(nèi)在聯(lián)系，教師在教學(xué)新知時(shí)，往往需要學(xué)生腦海中具有同化新知的上位概念或相似概念。因此，教師需要激活學(xué)生已有的計(jì)算知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，把握新舊知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，尋找新舊知識(shí)之間的一致性和相似性，搭建類(lèi)比學(xué)習(xí)的支架。

教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》時(shí)，部分教師直接借助直觀圖進(jìn)行教學(xué)。這樣教學(xué)后，幾乎所有學(xué)生都知道“異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算”的計(jì)算法則，但對(duì)算理的理解并不深刻，在知識(shí)的系統(tǒng)性上缺乏有效構(gòu)建。

良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料能夠激發(fā)學(xué)生思維的火花。在這節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以出示以下題目：13時(shí)-12分=（??? ）;5千克-200克=（??? ）;3.5千米+200米=（??? ）;[45-15=]（??? ）;[48+14 =]（??? ）;[35+12=]（?? ?）。通過(guò)分析這6道計(jì)算題，我們可以發(fā)現(xiàn)，異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理和“時(shí)間計(jì)算”“質(zhì)量計(jì)算”“長(zhǎng)度計(jì)算”“同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算”有本質(zhì)上的聯(lián)系，即相同的計(jì)數(shù)（數(shù)量）單位才能直接相加減。學(xué)生在計(jì)算含有不同計(jì)數(shù)（數(shù)量）單位的題目時(shí)，首先會(huì)將它們轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的計(jì)算（數(shù)量）單位，然后再進(jìn)行計(jì)算。因此，在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，學(xué)生受此啟發(fā)，能通過(guò)類(lèi)比思考理解異分母分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算要先通分，將異分母分?jǐn)?shù)化成同分母的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算的道理。隨后，教師可以呈現(xiàn)直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生利用圓片表示計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果，并追問(wèn)：“為什么要把圓片平均分成10份？”經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生能充分體會(huì)到不同分?jǐn)?shù)單位無(wú)法直接相加減，而轉(zhuǎn)化成相同分?jǐn)?shù)單位后，就可以直接相加減。

學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握“相同的計(jì)數(shù)（數(shù)量）單位才能直接相加減”這一計(jì)算的本質(zhì)原理，有助于學(xué)生抓住新舊知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，突破算理學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，并將小學(xué)階段的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行系統(tǒng)構(gòu)建。

二、融合經(jīng)驗(yàn)，類(lèi)比算法

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是要根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新的經(jīng)驗(yàn)?！冬F(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中，“經(jīng)驗(yàn)”有兩個(gè)含義：一是由實(shí)踐得來(lái)的知識(shí)與技能，二是經(jīng)歷。如果學(xué)生能把已有的生活、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效融合，就能以生動(dòng)、形象的方式內(nèi)化知識(shí)。

乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生容易把它與乘法結(jié)合律混淆，而且在實(shí)際應(yīng)用中，題目稍加變化，學(xué)生就可能錯(cuò)誤頻出。教師除了用乘法意義、問(wèn)題情境幫助學(xué)生理解，還可以增加一些更直觀的方式。比如，特級(jí)教師徐長(zhǎng)青執(zhí)教“乘法分配律”時(shí)，通過(guò)生活情景講解乘法分配律的“樣式”。20年后，兩名學(xué)生去探望老師，進(jìn)門(mén)后，老師分別與學(xué)生握手問(wèn)好。此情境中，“（小王+小李）跟老師握手=小王跟老師握手+小李跟老師握手”，這與“（a+b）×c=a×c+b×c”類(lèi)似。教師利用這個(gè)情境教學(xué)，能使學(xué)生對(duì)“分別相乘”有更深刻的體會(huì)。我們還可以拓展一下，如果來(lái)了三名學(xué)生，就是“（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d”。這種類(lèi)比有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

又如，教學(xué)“括號(hào)”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，在沒(méi)有引入中括號(hào)前，學(xué)生這樣列式：24÷（3×（3+1）=2。教師提問(wèn)：對(duì)于這道題，你先算什么、再算什么？學(xué)生回答：先算3+1=4，再算3×4=12，最后算24÷12=2。隨即有學(xué)生質(zhì)疑：這樣表達(dá)不合適，應(yīng)該把外面的小括號(hào)改成中括號(hào)，即24÷[3×（3+1）]=2。教師追問(wèn)：為什么要把小括號(hào)改成中括號(hào)？學(xué)生回答：小括號(hào)多了，不好看，也看不清楚。教師引導(dǎo)：如果我換衣服時(shí)，脫掉外面的西服，把旁邊早就準(zhǔn)備好的另一件襯衣再套上來(lái)，你們覺(jué)得怎么樣？學(xué)生笑著回答：兩件襯衣套在一起不合適。教師小結(jié)：對(duì)，里面的小括號(hào)就像是襯衣，我們?cè)谝r衣外面再套一件襯衣顯然不合適。

“不能在襯衣外面再套一件襯衣”，這一類(lèi)比把小括號(hào)外面不能再使用小括號(hào)的數(shù)學(xué)知識(shí)闡釋得特別貼切，凸顯了中括號(hào)產(chǎn)生的意義。相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象化、系統(tǒng)化、符號(hào)化等特征而言，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是情理融合的，這樣能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶。教師要找到生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的契合點(diǎn)，以恰當(dāng)?shù)念?lèi)比幫助學(xué)生更好地展開(kāi)數(shù)學(xué)化思考。

三、同構(gòu)聯(lián)想，類(lèi)比模型

美國(guó)教育心理學(xué)家杰羅姆·布魯納提出動(dòng)作的、形象的和符號(hào)化的三種學(xué)習(xí)的表征方式，并認(rèn)為這三者之間存在一種嚴(yán)格的遞進(jìn)關(guān)系。在比較復(fù)雜的計(jì)算中，我們可以借助不同的表征方式，通過(guò)聯(lián)想結(jié)構(gòu)相同或相似的問(wèn)題解決模型，獲得計(jì)算方法和策略的遷移。

《等差數(shù)列求和》的教學(xué)一直面臨“教師難教，學(xué)生難學(xué)”的現(xiàn)象。在等差數(shù)列求和的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生最早會(huì)接觸到“1+2+3+…+98+99+100=（??? ）”這樣的題目。一般情況下，教師會(huì)讓學(xué)生記住“數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”這個(gè)求和公式，并通過(guò)大量的練習(xí)題加以鞏固。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生并沒(méi)有在腦海中形成計(jì)算直觀，導(dǎo)致題目稍加變化便不知所措的現(xiàn)象。如“1+4+7+…+97+100+103=（??? ）”這道題，首項(xiàng)和尾項(xiàng)相加很簡(jiǎn)單，但項(xiàng)數(shù)是多少呢？為了幫助學(xué)生理解，教師可以引入“植樹(shù)問(wèn)題”，通過(guò)解決問(wèn)題模型的類(lèi)比，把“數(shù)”形象地轉(zhuǎn)化為“樹(shù)”，使計(jì)算等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題建立在植樹(shù)問(wèn)題模型（兩端都栽）之上，讓學(xué)生輕松掌握求等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的方法。具體教學(xué)過(guò)程如下。

師：同學(xué)們，等差數(shù)列相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是相等的，這跟我們學(xué)過(guò)的什么知識(shí)相似？

生1：跟植樹(shù)問(wèn)題相似，間隔都相等。

師（出示下圖）：一條路上，我們從第1米開(kāi)頭處開(kāi)始栽樹(shù)，栽到第103米開(kāi)頭處，第一棵樹(shù)與最后一棵樹(shù)之間的距離有多長(zhǎng)？<E：＼2020排版新＼教育教學(xué)＼2022＼5＼2022-5內(nèi)文＼Image＼微信圖片_20220420114414.png>

生2：102米。

師：從數(shù)列中可以看出，我們是每隔3米栽一棵樹(shù)的，且從頭到尾都栽。一共栽了幾棵樹(shù)呢？

生3：棵數(shù)=距離÷間隔長(zhǎng)+1 ，即102÷3+1=35（棵）。

師：數(shù)的個(gè)數(shù)=樹(shù)的棵數(shù)，那么這一組數(shù)的和是多少？

生4：（1+103）×35÷2=1820。

把求等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成植樹(shù)問(wèn)題（兩端都栽）中求植樹(shù)棵數(shù)的問(wèn)題，就簡(jiǎn)單多了。學(xué)生不用刻意記憶這些公式，看到等差數(shù)列求和問(wèn)題就去聯(lián)想植樹(shù)問(wèn)題，便能輕而易舉地掌握求項(xiàng)數(shù)的方法。

（作者單位：涂玉霞，湖北第二師范學(xué)院;方菊，湖北師范大學(xué)碩士研究生）

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