光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)半波損失的條件

邱慧斌，吳俊杰，肖東華，胡天一，鐘乘杰，李曉彬

(南昌大學(xué) 物理系，江西 南昌 330031)

波從波疏介質(zhì)射向波密介質(zhì)時(shí)(圖1中介質(zhì)1的折射率小于介質(zhì)2的折射率時(shí)),在反射過程中，反射波在離開反射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)方向相對(duì)于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)相反，或者說，反射波相對(duì)于入射波相位突變?chǔ)?，這種現(xiàn)象叫做半波損失[1,2]. 但這個(gè)定義中的“振動(dòng)相反”，在某些情況下是不好界定的，比如入射角為π/4時(shí)，根據(jù)反射定律，反射角也為π/4，那么此時(shí)反射波和入射波垂直，于是反射波在離開反射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)方向相對(duì)于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)相同還是相反是無法定義的.

圖1 光的反射和折射示意圖

為了使得以上的定義仍然發(fā)揮作用，需要對(duì)正方向進(jìn)行規(guī)定，即規(guī)定圖2中光的電場(chǎng)分量箭頭所指方向?yàn)檎较? 如此，則以上的半波損失的定義仍然適用. 但還是存在不足，比如，在圖2(b) 中，當(dāng)介質(zhì)1的折射率小于介質(zhì)2的折射率且入射角為0時(shí)，根據(jù)反射定律，反射角也為0，此時(shí)發(fā)現(xiàn)：反射波在離開反射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)方向相對(duì)于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)相反，但按上述正方向的規(guī)定，反射波相對(duì)于入射波相位并未突變?chǔ)? 這個(gè)不足可以通過修改正方向的規(guī)定而克服，比如可修改圖2(b) 中反射波電場(chǎng)分量箭頭方向?yàn)樨?fù)向. 但是作這個(gè)修改會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)問題，即考慮在圖2(b) 中，當(dāng)入射角為π/2時(shí)，根據(jù)反射定律，反射角也為π/2，此時(shí)發(fā)現(xiàn)：反射波在離開反射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)方向相對(duì)于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)相反，但是此時(shí)按修改后的正方向的規(guī)定，反射波相對(duì)于入射波相位卻未改變.

這樣修改正方向的規(guī)定雖然消除了一個(gè)不足但又產(chǎn)生了另一個(gè)不足，此外還有如下缺點(diǎn)：1)對(duì)于一般情況，修改后的正方向不直觀；2)要修改教科書中常用的菲涅耳公式，這會(huì)給菲涅耳公式的使用造成一定困擾；3)根據(jù)菲涅耳公式得出的已有結(jié)論需要重新審查，常用結(jié)論使用前需要再次確認(rèn)是否正確，多出了檢查過程. 反之，則沒有以上3點(diǎn)缺陷. 綜合以上考慮本文仍采用圖2中正方向的規(guī)定.

圖2 光的電場(chǎng)和磁場(chǎng)垂直和平行分量正方向的規(guī)定示意圖

半波損失是大學(xué)物理中一個(gè)重要的概念和知識(shí)點(diǎn)，它通常作為用于驗(yàn)證光的電磁理論[3]正確性的一個(gè)例子，同時(shí)在涉及波的相干疊加問題[4]時(shí)需要對(duì)它特別加以考慮. 然而就一束光而言，往往很難籠統(tǒng)地說是否有半波損失[4]，因此現(xiàn)有文獻(xiàn)中的討論往往有限制且不完整. 比如，郭碩鴻著的《電動(dòng)力學(xué)》[3]中提到“在E⊥入射面情形，由(2.12)式，因?yàn)楫?dāng)ε2>ε1時(shí)θ>θ″，因此E′/E為負(fù)數(shù)，即反射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)反相，這現(xiàn)象稱為反射過程中的半波損失.”讀到這句具有分類性質(zhì)的語句時(shí)，我們自然地想要窮舉下去，而這里只提到“E⊥入射面情形”情形，那么E∥入射面的情形呢？還有一般情形呢？于是很自然地，我們自己去把這兩種情形補(bǔ)齊，但是發(fā)現(xiàn)：在E∥入射面情形，仍考慮“ε2>ε1,θ>θ”的情況，E′/E為負(fù)數(shù)是有條件的，這個(gè)條件是θ+θ″>π/2. 接下來，我們自然想問：如果半波損失是在一定條件下才能發(fā)生，那么這個(gè)條件是什么？對(duì)于既非平行又非垂直的一般情形，這個(gè)條件又是什么？既然ε2>ε1時(shí)發(fā)生半波損失是有條件的，它不一定會(huì)發(fā)生半波損失，那么ε2<ε1時(shí)，有沒有可能發(fā)生半波損失？

我們查閱了相關(guān)教材與文獻(xiàn)[4-8]，發(fā)現(xiàn)都沒有完整給出反射波與入射波間的相位差. 因此，無遺漏地清楚闡明反射光什么時(shí)候?qū)l(fā)生半波損失是非常有必要的，這成為本文的重要目標(biāo). 本文將從菲涅耳公式出發(fā)，通過對(duì)反射波和入射波振幅的比值關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)解析推演、作圖呈現(xiàn)和分析討論，給出反射光和入射光相位差在折射率-入射角空間的詳細(xì)分布圖，研究表明當(dāng)光束由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)反射波也可能發(fā)生半波損失；而當(dāng)光束由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)時(shí)反射波也不是一定會(huì)發(fā)生半波損失.

1 結(jié)果

為了理解反射波與入射波之間相位差對(duì)入射角和相對(duì)折射率的依賴關(guān)系，從麥克斯韋方程組出發(fā)，得到邊值關(guān)系，然后利用邊值關(guān)系求得與著名的菲涅耳公式[3,4,9-11]一致的入射波、反射波和折射波的振幅關(guān)系如下:

(1)

為方便討論，引入E⊥入射面時(shí)的反射波與入射波之間的相位差[4]:

(2)

及E‖入射面時(shí)的反射波與入射波之間的相位差:

(3)

以上公式以圖3—圖9和表1、表2清晰闡述如下. 從圖3和圖5可以看出，當(dāng)光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)，反射光也可能發(fā)生半波損失(見圖3中線段c及圖5中線段c和e，亦見表1和表 2)；從圖5可以看出，光的電場(chǎng)分量平行于入射面時(shí)且入射角在大于等于0和小于布儒斯特角時(shí)(圖5中線段a和區(qū)域I)，反射光和入射光的相位差則為-π[指反射光平行電場(chǎng)分量的方向與圖2(b) 中E′所指方向相反]；從圖5亦可以看出，當(dāng)光束由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)時(shí)反射波也不是一定會(huì)發(fā)生半波損失，比如：光的電場(chǎng)分量平行于入射面時(shí)且入射角在大于等于0和小于布儒斯特角時(shí)(圖5中線段b和區(qū)域IV)，反射光和入射光的相位差則為0[指反射光平行電場(chǎng)分量的方向與圖2(b) 中E′所指方向相同〗. 另外，本文給出了反射波和入射波之間相位差的所有細(xì)節(jié)，這為涉及反射波和入射波相位差的問題——比如波的相干疊加問題[4]——的解決提供了便利.

圖3中橫坐標(biāo)為入射角θ，是入射光線與入射表面法線的夾角(見圖1)，其取值范圍為[0,π/2]，其中θ=0表示光垂直射向入射表面；θ=π/2表示光平行于入射表面；θ=θB=arctann21時(shí)，即入射角為布儒斯特角時(shí)，折射角和反射角之和為π/2，此時(shí)反射光變?yōu)榇怪庇谌肷涿嫫竦耐耆窆鈁3](見圖4)；θ=θc=arcsinn21時(shí)，即入射角為全反射臨界角時(shí)，將發(fā)生全反射[4]. 縱坐標(biāo)為介質(zhì)2相對(duì)于介質(zhì)1的折射率n21，含義為n21=n2/n1，其取值范圍是(-∞,+∞)，本文聚焦于n21∈(0,+∞)的情況，折射率為零和負(fù)折射率情形將另文研究.n21=0+表示光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，且光疏介質(zhì)的折射率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光密介質(zhì)的折射率.n21=1表示光在一種介質(zhì)中傳播，或者從一種介質(zhì)射向另一種折射率相同的介質(zhì).n21=+∞表示光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)，且光疏介質(zhì)的折射率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光密介質(zhì)的折射率. 圖3中6條邊界線(a—f)和2條分界線(g,h)，將圖劃分為3個(gè)區(qū)域(I—III). 下面對(duì)圖3進(jìn)行詳細(xì)說明.

圖3 反射光和入射光垂直于入射面的電場(chǎng)分量相位差的n21-θ空間分布圖

圖4 以布儒斯特角入射時(shí)反射光偏振示意圖

圖6 不同相對(duì)折射率下反射光和入射光垂直于入射面的電場(chǎng)分量相位差隨入射角變化曲線

圖7 不同入射角時(shí)反射光和入射光垂直于入射面的電場(chǎng)分量相位差隨相對(duì)折射率變化曲線

為方便查閱，圖3的相關(guān)內(nèi)容可制成表1.

表1 垂直相位差δ⊥的n21-θ空間分布與標(biāo)識(shí)顏色

圖5中6條邊界線(a—f)和3條分界線(g—i)，將圖劃分為5個(gè)區(qū)域(I—V). 注意到圖5比圖3多一條分界線h，其原因是：在入射角為布儒斯特角時(shí)反射光的垂直電場(chǎng)分量并不會(huì)為零，也即在入射角大于和小于布儒斯特角的兩種情況下，反射光的垂直電場(chǎng)分量方向并沒有不同，這與反射光的平行電場(chǎng)分量性質(zhì)不同. 下面對(duì)圖5進(jìn)行詳細(xì)說明.

圖5 反射光和入射光平行于入射面的電場(chǎng)分量相位差的n21-θ空間分布圖

圖9 不同入射角時(shí)反射光和入射光平行于入射面的電場(chǎng)分量相位差隨相對(duì)折射率變化曲線

圖8 不同相對(duì)折射率下反射光和入射光平行于入射面的電場(chǎng)分量相位差隨入射角變化曲線

表2 平行相位差δ‖的n21-θ空間分布與標(biāo)識(shí)顏色

2 討論和結(jié)論

本文給出了詳盡的兩種非鐵磁質(zhì)的一般正折射率介質(zhì)界面上反射光與入射光電場(chǎng)分量相位差的n21-θ空間分布圖(圖3和圖5)，詳細(xì)給出了反射光發(fā)生半波損失的所有情況和條件(表1和表2). 在《中國(guó)中學(xué)教學(xué)百科全書·物理卷》“半波損失”詞條中，對(duì)相位突變現(xiàn)象、洛埃鏡實(shí)驗(yàn)和維納光駐波實(shí)驗(yàn)做了說明和解釋. 根據(jù)上述結(jié)果，可對(duì)其中的一些問題作出討論：

1)本文研究發(fā)現(xiàn)：在洛埃鏡干涉實(shí)驗(yàn)中，無論是光的平行電場(chǎng)分量還是垂直電場(chǎng)分量，以及無論光是由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)，還是由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，都會(huì)發(fā)生相位差π的現(xiàn)象，見圖3中線段c和d及圖5中線段c和d. 因此，文獻(xiàn)[2]在提到掠入射時(shí)界面處的反射光與入射光的電矢量振動(dòng)方向相反時(shí)，不需要加上“光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)”這個(gè)條件.

2)在維納實(shí)驗(yàn)中，一定是光從光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)才會(huì)發(fā)生光駐波現(xiàn)象，因?yàn)橹挥写藭r(shí)電場(chǎng)分量是反向的，見圖3和圖5中的線段b. 這里需說明的是，圖5中線段b雖然表示光從光疏介質(zhì)垂直于分界面射向光密介質(zhì)，在界面處發(fā)生反射，反射光和入射光的平行于入射面的電場(chǎng)分量不發(fā)生反相[指反射光平行電場(chǎng)分量的方向與圖2(b)中E′所指方向相同]，但是從圖2(b)可以看出，當(dāng)入射角為0時(shí)，反射光和入射光的平行于入射面的電場(chǎng)分量雖然不發(fā)生反相，但反射光和入射光的平行于入射面的電場(chǎng)分量方向是相反的. 這樣就非常合理，因?yàn)檎肷淇梢钥醋魇枪獾碾妶?chǎng)分量垂直于入射面，也可以看作是光的電場(chǎng)分量平行于入射面，按這兩種情形來討論，理論上應(yīng)給出相同的結(jié)果. 但由于反射光電矢量正方向的選擇(見圖2及引言部分的說明)，數(shù)學(xué)上看上去結(jié)果不同(一個(gè)相位差π，一個(gè)沒有相位差)，但物理上都表示反射光和入射光的電場(chǎng)分量方向相反.

3)文獻(xiàn)[2]原文提到“界面處的反射光與入射光的電矢量振動(dòng)方向相反. 這表明兩個(gè)光振動(dòng)的位相差π，折算成光程，相當(dāng)于有半個(gè)波長(zhǎng)的光程差,故稱這種現(xiàn)象為半波損失”，其實(shí)反射光與入射光的電矢量振動(dòng)方向相反，并不一定是兩個(gè)光振動(dòng)的相位差π，這與光的電矢量振動(dòng)的正方向的選取有關(guān). 比如選取圖2(b)中電矢量方向?yàn)檎?，從圖5中線段b可知，光從光疏介質(zhì)垂直于分界面射向光密介質(zhì)，在界面處發(fā)生反射，反射光和入射光的電矢量方向相反，但反射光和入射光的相位差為零.我們也可以規(guī)定正方向?yàn)橄喾捶较?，但正如引言中已提到的，本文仍采用圖2中正方向的規(guī)定是因?yàn)槔嘤诒?

4)文獻(xiàn)[2]原文提到“還可證明兩個(gè)結(jié)論. ①光從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時(shí)，在非掠入射的情況下，反射光相對(duì)于入射光無半波損失”，其實(shí)如果半波損失根據(jù)“反射光和入射光相位差π”來定義，那么文獻(xiàn)里漏了一種情況，即光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)且光疏介質(zhì)的折射率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光密介質(zhì)的折射率，在界面處發(fā)生反射，反射光和入射光的平行于入射面的電場(chǎng)分量相位差π，見圖5線段e.

半波損失是物理中一個(gè)重要的概念和知識(shí)點(diǎn)，它通常作為用于驗(yàn)證光的電磁理論正確性的一個(gè)例子，同時(shí)在涉及波的相干疊加問題[4]時(shí)需要對(duì)它特別加以考慮. 我們的研究進(jìn)一步驗(yàn)證了電磁場(chǎng)理論的正確性，澄清和補(bǔ)充了一些現(xiàn)有教科書和科普讀物中不很明確的結(jié)論，將有助于加強(qiáng)人們對(duì)麥克斯韋電磁理論的信心和認(rèn)同，同時(shí)激發(fā)同學(xué)們對(duì)包含麥克斯韋方程的更宏大統(tǒng)一場(chǎng)理論的興趣，有助于大學(xué)物理知識(shí)的講學(xué)、傳承和發(fā)揚(yáng).

致謝：感謝袁尤龍、朱宇晴、彭行坤、張鴻輝、陳江村、蔡奇龍、吳勝發(fā)等同學(xué)參與制圖和討論.