均質(zhì)Reuleaux多邊形平板轉(zhuǎn)動慣量的求解

張會均，陳 靖，蔣逢春，王世卓

( 鄭州輕工業(yè)大學 物理與電子工程學院，河南 鄭州 450001 )

Reuleaux三角形是德國機械工程Franz Reuleaux提出來的. Reuleaux三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓，在三個圓的交匯處，由三段圓弧組成的一種特殊圖形. 當它在地面滾動時，其高度始終不變，為正三角形的邊長，因此也稱此類曲線為等寬曲線. 高度相同的等寬曲線具有相同的周長，其中圓的面積最大，Reuleaux三角形的面積最小. 等寬曲線的應用比較廣泛，例如，Reuleaux三角形鉆頭可鉆出正方形的孔洞，Reuleaux五邊形鉆頭則能給出正六邊形的鉆孔，這能滿足一些特殊的工業(yè)設計需求；馬自達Renesis轉(zhuǎn)子發(fā)動機的轉(zhuǎn)子截面是Reuleaux三角形[1]，相對于傳統(tǒng)活塞式發(fā)動機，轉(zhuǎn)子發(fā)動機體積小，質(zhì)量輕，運行平穩(wěn)，噪聲小，相同排量的轉(zhuǎn)子發(fā)動機的輸出功率和扭矩更大.

轉(zhuǎn)動慣量用來衡量剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動時慣性的大小，剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算是大學物理教學的一類典型題目. 本文以勻質(zhì)的Reuleaux多邊形剛性平板為研究對象，求解繞過質(zhì)心并垂直于平板轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.

1 Reuleaux三角形板

1.1 方法1：扇形+弓形

圖1 Reuleaux三角形

轉(zhuǎn)軸命名的規(guī)則如下，第1個字母代表轉(zhuǎn)軸通過的點，第2個字母P代表垂直于平板的軸，例如OP指過質(zhì)心O并垂直于平板的轉(zhuǎn)軸. 求解Reuleaux三角形板繞質(zhì)心軸OP的轉(zhuǎn)動慣量IReu-3，可先求繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量IA. 如圖1(a)所示，將Reuleaux三角板分成3個區(qū)域，則有IA=IAI+IAII+IAIII=IAII+2IAI. 扇形區(qū)域II的轉(zhuǎn)動慣量IAII以A為圓心，半徑L3圓盤的1/6，有

(1)

設平板的面質(zhì)量密度為σm,求解弓形區(qū)域I的轉(zhuǎn)動慣量，可建立如圖1(b)所示的極坐標系，圓心角為dθ的陰影區(qū)域是以A為圓心，半徑為2L3cosθ圓盤的一部分,其轉(zhuǎn)動慣量為

(2)

則

(3)

因此

(4)

根據(jù)平行軸定理，Reuleaux三角形板繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量：

(5)

其中

(6)

是Reuleaux三角形的面積. 半徑為R的圓盤繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量：

(7)

由式(5)可得

(8)

即Reuleaux三角形板的轉(zhuǎn)動慣量約為外接圓盤的47.1%.

1.2 方法2：正三角形+弓形

將Reuleaux三角形分為一個正三角形和三個弓形. 勻質(zhì)正三角形平板繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量[3]為

(9)

圖2 弓形質(zhì)心C

IOC=IC+mCOC2,

IAC=IC+mCAC2,

IA△=IO△+m△R2,

(10)

上式中IOC、IAC和IC分別是弓形繞OP、AP和其質(zhì)心軸CP的轉(zhuǎn)動慣量，IA△是正三角形繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量，IAL3是以A為圓心，半徑為L3的圓盤繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量,mC是弓形的質(zhì)量.

弓形質(zhì)心的y坐標為

(11)

聯(lián)立式(9)—(11)，并考慮

IReu-3=IO△+3IOC

(12)

可得到與式(8)相同的結(jié)果.

上述2種方法的區(qū)別主要在于對Reuleaux三角形板的分區(qū)方式. 方法1是分區(qū)積分的，由于A點不僅在扇形II的圓心處，也在弓形I、III的圓弧上，因此可以用積分的方法求解IA；方法2則是將其分為正三角形和弓形，需要確定出弓形的質(zhì)心位置，并根據(jù)平行軸定理求解IOC，優(yōu)點是此過程用到了IC但不涉及具體求解.

2 Reuleaux多邊形板

Reuleaux多邊形板轉(zhuǎn)動慣量采用方法1直接積分求解有一定的困難，以圖3(a)中Reuleaux五邊形為例，由于A點與區(qū)域I和III有直接關系，可直接積分求解繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量，而對于區(qū)域II來講，A點既不是圓弧的圓心，也不在圓弧的圓周上，直接積分求解區(qū)域II繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量有一定的困難.

圖3 Reuleaux五邊形

邊數(shù)為N的ReuleauxN邊形可看作由內(nèi)接正N邊形和N個弓形組成，則ReuleauxN邊形繞OP的轉(zhuǎn)動慣量：

IReu-N=ION+NIOC

(13)

ION和IOC分別是正N邊形[3]和弓形繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量

(14)

其中

分別是正N邊形的質(zhì)量、邊長和內(nèi)切圓半徑. 設點C是ReuleauxN邊形其中一弓形[圖3(b)陰影區(qū)]的質(zhì)心，根據(jù)平行軸定理,有

(18)

上式中IOC、IAC和IC分別是弓形繞OP、AP和CP軸的轉(zhuǎn)動慣量.IALN是以A為圓心，半徑為LN的圓繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量.IA△是三角形AEF[如圖3(b)所示]繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量.IA-2N是以A點為中心，正2N邊形繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量，其中心點A到其頂點E、F的距離是LN，LN同時也是ReuleauxN邊形圓弧的半徑.IA-2N的計算需要用到式(14),但要注意相關參數(shù)需要對應變化.

弓形的質(zhì)心坐標：

(19)

其中弓形的質(zhì)量為

(20)

聯(lián)立式(13)—(20)可得到IReu-N，具體將在第3節(jié)與數(shù)值積分結(jié)果對比討論.

3 數(shù)值積分

勻質(zhì)剛體繞轉(zhuǎn)軸OP的轉(zhuǎn)動慣量定義如下

(21)

其中r是質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離. ReuleauxN邊形繞OP軸轉(zhuǎn)動時具有N重旋轉(zhuǎn)對稱性，所以只需要求其1/N(如圖4中的陰影區(qū)域)的轉(zhuǎn)動慣量即可.

圖4 坐標系

圖4(a)中Reuleaux三角形的陰影區(qū)域分布在一、二象限，當邊數(shù)N>3時，多邊形的1/N[以圖4(b)陰影區(qū)為例]僅分布在第1象限. 圖4中OE=OF=R是外接圓半徑. 圖4(a)中陰影區(qū)坐標(x,y)的約束條件是

(22)

圖4(b)中ReuleauxN邊形陰影區(qū)的圓心角θ=2π/N，陰影區(qū)坐標(x,y)的約束條件是

0≤x≤R, 0≤y≤xtanθ

(23)

(24)

則基于式(21)，Reuleaux N邊形的轉(zhuǎn)動慣量可寫為

(25)

實現(xiàn)式(25)所使用的編程語言是Fortran95，計算相關的物理量均設置為雙精度. 取面元ds=dxdy為正方形，dx=dy是兩個方向的積分步長，并取R=1(SI)，σm=1(SI). 數(shù)值求解IReu-N的精度取決于面元ds的大小，所以需要先進行面元ds的大小的收斂測試，令

(26)

為ReuleauxN邊形板轉(zhuǎn)動慣量與其外界圓盤的比值，顯然當N→∞時有ηN→1，式(8)給出了解析結(jié)果η3=0.470 556 583 4(保留10位有效數(shù)字).

表1列出了面元ds的大小對η3的影響及相對誤差，隨著ds的減小，η3的結(jié)果趨向解析結(jié)果，相對誤差也隨之降低. 數(shù)值積分的誤差一方面是因為當考慮面元到轉(zhuǎn)軸的距離時，忽略了面元本身的大小，另一方面是當面元恰好在陰影區(qū)邊界處時，面元的一部分是在陰影區(qū)之外的，注意，這兩種誤差來源均可通過減小面元來降低. 但考慮數(shù)值結(jié)果的精度和計算效率，在后續(xù)的計算中均取ds=4.00E-10(SI).

表1 η3數(shù)值解的收斂測試

計算ηN時,IReu-N分別使用解析式(13)和數(shù)值積分式(25)就得到了表2中ηN的解析與數(shù)值結(jié)果，表2中的下劃線是數(shù)值解與解析解不同的部分，數(shù)值解的相對誤差隨著N的增大而增大，這是因為相同的ds所帶來的誤差在1/N的ReuleauxN邊形中的占比更大，表2中的結(jié)果也表明了Reuleaux多邊形板的轉(zhuǎn)動慣量隨著N的增大也愈趨近于其外接圓盤.

表2 ηN的解析解與數(shù)值積分結(jié)果

需要注意的是，ReuleauxN邊形的邊數(shù)N只能取奇數(shù)[4]. 圖5中列出了ReuleauxN邊形板與正N邊形板的轉(zhuǎn)動慣量相對于外界圓盤的比例. 當N較小時，兩者相差較大，例如IReu-3是其外接圓盤的47.06%，而I△僅為其外接圓盤的20.67%；隨著邊數(shù)N的增大，ηN→1,此時正多邊形板、Reuleaux多邊形板的結(jié)果都向其外接圓盤趨近，例如，IReu-27可達外接圓盤的99.1%，正27邊形板的轉(zhuǎn)動慣量是其外接圓盤的98.2%.

圖5 轉(zhuǎn)動慣量相對于外接圓盤的比例

4 結(jié)語

勻質(zhì)Reuleaux多邊形平板轉(zhuǎn)動慣量的解析解與數(shù)值解的相互吻合，印證了求解方法的正確性，并定量地給出了一些符合理論變化趨勢的結(jié)論. Reuleaux多邊形是一類特殊的等寬曲線，每個圓弧邊所對的圓心角相同，內(nèi)嵌的是正多邊形，其實只要對角線相等而邊長不一定相等的奇數(shù)多邊形都可形成等寬曲線. 等寬曲線型平板轉(zhuǎn)動時的高度雖然不變，但其質(zhì)心高度卻是時刻變化的，因此并沒有廣泛應用在車輪上. Reuleaux多邊形等寬曲線在互關聯(lián)干涉成像儀的設計上也有相關應用[5].

根據(jù)等寬曲線的特征，Reuleaux多邊形平板容易推廣到沿各個方向滾動高度都不變的Reuleaux多面體，但與Reuleaux多邊形平板不同的是，Reuleaux多邊體的類型是有限個數(shù)的，其轉(zhuǎn)動慣量可通過內(nèi)接正多面體[6]和若干球冠的結(jié)果疊加得到.