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    基于靜電學(xué)討論蛋白質(zhì)分子的聚沉現(xiàn)象

    2022-06-10 06:08:58范寶路
    大學(xué)物理 2022年6期
    關(guān)鍵詞:膠粒靜電場(chǎng)勢(shì)能

    范寶路,周 雷,劉 陽(yáng)

    (淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 淮安 223003)

    隨著納米科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,微觀粒子由于尺寸效應(yīng)導(dǎo)致其具有優(yōu)異的物理性質(zhì)以及廣泛的應(yīng)用.例如膠體納米顆粒已經(jīng)在微型發(fā)光器件、太陽(yáng)能電池和催化等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1-4].膠體溶液中大量的懸浮顆粒(1~100 nm)能夠彼此保持分散狀態(tài),而不引起自發(fā)性團(tuán)聚效應(yīng),主要是由于膠粒間的相互作用導(dǎo)致的.膠體顆粒的相互作用非常復(fù)雜,通過(guò)改變顆粒的表面、改變溫度、加入電解質(zhì)或其他膠體顆粒、外加電場(chǎng)或磁場(chǎng)等方式,都可以顯著改變膠體顆粒的有效相互作用,并進(jìn)而改變膠體系統(tǒng)的相行為[5-7].帶電膠粒間的靜電相互作用導(dǎo)致其不發(fā)生凝聚現(xiàn)象,如果改變膠粒的周圍環(huán)境則可能會(huì)發(fā)生顆粒自發(fā)性的聚集.日常生活中的鹵水點(diǎn)豆腐以及河流入??谛纬傻娜侵薅际怯捎谀z粒周圍環(huán)境的變化導(dǎo)致其凝聚變大并且沉積的現(xiàn)象.

    如何運(yùn)用靜電學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的分析電解質(zhì)中蛋白質(zhì)分子的行為是深刻理解類似現(xiàn)象的關(guān)鍵要素.靜電場(chǎng)理論的方法是從簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始——即所有電荷的位置都已經(jīng)確定且相對(duì)靜止.如果電荷的分布已知,基于庫(kù)侖定律和疊加原理任何帶電物體間的相互作用都可以定量給出[8].但實(shí)際情況并非如此,在許多實(shí)際的靜電學(xué)問(wèn)題中,我們并不知道電荷在哪里以及如何分布,僅僅知道電荷的分布是按照物性所規(guī)定的方式自行分布.同時(shí),帶電物體中電荷所占據(jù)的位置取決于電場(chǎng),而這個(gè)電場(chǎng)又是由電荷位置決定.換句話說(shuō),日常生活中所遇見(jiàn)的很多靜電場(chǎng)問(wèn)題,其中的電場(chǎng)是由兩種物理規(guī)律的組合所確定: 1) 靜電場(chǎng)的方程組把電場(chǎng)與電荷的分布聯(lián)系起來(lái); 2) 電場(chǎng)存在時(shí)電荷的位置或運(yùn)動(dòng)由另外一個(gè)物理學(xué)規(guī)律所支配[9].因此,在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí),需根據(jù)具體情境綜合運(yùn)用物理學(xué)定律進(jìn)行分析處理.

    在膠體溶液加入電解質(zhì)后,膠粒所處的溶液環(huán)境發(fā)生變化.在這種特殊的情況下,電荷分布即非固定不變也不是由膠粒所攜帶,而是由其他某種物理規(guī)律來(lái)確定.基于電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)理論,我們很容易可以知道加入電解質(zhì)后溶液的電容率發(fā)生了變化,從而導(dǎo)致膠粒間的靜電相互作用發(fā)生改變.當(dāng)膠粒之間的范德華引力大于靜電排斥力時(shí)膠粒則很容易凝聚在一起.電容率是描述材料介電特性的物理量,然而物質(zhì)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,加入電解質(zhì)后溶液的電容率如何變化是定量分析的關(guān)鍵.本文基于加NaCl水溶液導(dǎo)致牛奶溶液中蛋白分子發(fā)生的聚沉現(xiàn)象,構(gòu)建理想化的球形膠粒模型[10],運(yùn)用靜電場(chǎng)方程以及玻爾茲曼分布定律求解加鹽后膠粒周圍附近的電勢(shì)分布.通過(guò)對(duì)比加鹽前后靜電排斥勢(shì)能和范德華吸引勢(shì)能的大小分析膠粒的凝聚現(xiàn)象.同時(shí),結(jié)合電解質(zhì)中點(diǎn)電荷模型的電勢(shì)公式得出加鹽過(guò)程中溶液電容率相對(duì)變化的函數(shù)關(guān)系.同時(shí),本文旨在強(qiáng)調(diào)運(yùn)用物理定律分析日常生活現(xiàn)象在物理教學(xué)中的重要性.

    1 靜電場(chǎng)的方程組

    靜電場(chǎng)的麥克斯韋方程組表述為

    (1)

    ?×E=0

    (2)

    式中E表示電場(chǎng)強(qiáng)度,ρ是電荷密度,ε0為真空的電容率. 式(1)和(2)分別說(shuō)明靜電場(chǎng)是有散度無(wú)旋度的矢量場(chǎng).根據(jù)式(2),我們知道可把靜電場(chǎng)描述為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度:

    E=-?φ

    (3)

    標(biāo)量場(chǎng)φ表示電勢(shì),我們可以用電勢(shì)完整地描述一個(gè)特定的電場(chǎng).將式(3)代入式(1)中,得到電勢(shì)應(yīng)遵從的微分方程:

    (4)

    2 膠體蛋白分子的聚沉現(xiàn)象

    加水稀釋后的牛奶溶液是分散性較好的膠體溶液,用激光筆照射可發(fā)生明顯的丁達(dá)爾效應(yīng).牛奶中的蛋白質(zhì)分子是很長(zhǎng)且可彎曲的復(fù)雜氨基酸鏈,在這些大蛋白分子上存在各種電荷(正電荷或負(fù)電荷),在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中會(huì)有一些凈電荷沿著氨基酸鏈分布,由于電荷間的相互排斥作用,導(dǎo)致蛋白分子保持拉伸狀態(tài),且與其他蛋白分子相互排斥,彼此保持分開(kāi).但如果把NaCl水溶液加入膠體蛋白溶液中,我們會(huì)觀測(cè)到有沉淀從溶液中析出.NaCl水溶液的加入改變了蛋白分子鏈上的電荷分布,從而改變了其在溶液中的特性.為了更好觀測(cè)加鹽引起蛋白質(zhì)的聚沉現(xiàn)象,首先在牛奶中提取蛋白質(zhì),制備膠體蛋白質(zhì)溶液.將牛奶溶液加熱到40 ℃ ,在攪拌下加入醋酸-醋酸鈉緩沖液,緩沖液由0.2 mol/L的醋酸鈉溶液與0.2 mol/L的醋酸溶液按1∶1混合配制,調(diào)節(jié)混合溶液的PH值為4.7.將上述懸浮液冷卻至室溫,離心處理(3 000 r/min、15 min),取沉淀物用水洗滌沉淀3次,離心處理,獲得蛋白質(zhì)沉淀物.為了去除沉淀物中殘留的脂類雜質(zhì),獲得純凈的膠體蛋白質(zhì)溶液,用乙醇-乙醚混合液洗滌沉淀2次,離心得到純凈的蛋白質(zhì)沉淀;將沉淀物重新溶解在水溶液中獲得膠體蛋白溶液.

    為了定量化的討論膠體蛋白溶液中加鹽出現(xiàn)的蛋白質(zhì)分子聚沉現(xiàn)象,我們構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)化的模型進(jìn)行討論.如圖1所示,我們進(jìn)行了近似處理:1) 相對(duì)于離子的尺度,蛋白分子近似作為巨大的球形膠粒進(jìn)行處理;假設(shè)膠粒帶正電荷(電荷量為Q),并且電荷均勻分布在表面. 2) 在原子尺度上,膠粒表面的一小部分近似看成平面.在試圖求解復(fù)雜問(wèn)題或理解新的物理現(xiàn)象時(shí),取一個(gè)簡(jiǎn)化的物理模型總是一個(gè)好的思想.基于簡(jiǎn)化模型理解了問(wèn)題的本質(zhì)特征,才能更好的進(jìn)行更為精確的計(jì)算分析.

    圖1 蛋白質(zhì)分子的膠粒模型圖

    基于膠粒模型可以很容易得到未加NaCl溶液時(shí)帶電膠粒周圍附近的電勢(shì)分布如下式[11,12]:

    (5)

    式中εw為水的電容率.膠粒周圍的電勢(shì)分布類似于點(diǎn)電荷模型.圖2曲線給出未加鹽的膠粒表面附近電勢(shì)的變化,電勢(shì)進(jìn)行了歸一化處理.如圖所示,球形膠粒是一個(gè)等勢(shì)體,在膠粒表面附近的電勢(shì)與距離成反比關(guān)系.以膠粒半徑R度量膠粒表面附近電勢(shì)隨距離增加下降的快慢,我們發(fā)現(xiàn)距離膠粒表面3R處的電勢(shì)仍然是表面電勢(shì)的四分之一.因此,隨著距離的增加,電勢(shì)下降較為緩慢.

    圖2 未加鹽的膠粒表面附近電勢(shì)的變化情況

    (6)

    式(6)顯示靜電排斥勢(shì)能和范德華引力勢(shì)能都與顆粒間的距離成反比,兩者求和的正負(fù)性由膠粒尺寸、所帶電荷量以及溶液的電容率決定.由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以知,在未加入NaCl水溶液之前膠粒是彼此分離呈現(xiàn)膠體狀態(tài).兩帶電膠粒間的相互作用力表現(xiàn)為排斥力,所以膠粒之間的靜電排斥勢(shì)能應(yīng)該大于范德華引力勢(shì)能.

    現(xiàn)在,把NaCl水溶液加入膠體溶液中,在膠粒周圍Cl-離子會(huì)被吸引,Na+離子則一定程度被排斥.電解質(zhì)溶液中帶電離子的位置一定程度受膠粒電荷所產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)所控制;同時(shí),帶電離子的位置對(duì)膠粒的行為有著重要的影響.因此如何確定圍繞在膠粒附近的Na+和Cl-的空間分布是求解膠粒附近電勢(shì)分布的關(guān)鍵因素.

    為了討論方便,我們僅僅求解一維情況.以膠粒表面為坐標(biāo)原點(diǎn),膠粒附近的Na+和Cl-的空間分布會(huì)引起膠粒周圍產(chǎn)生一個(gè)電荷密度ρ(x)和一個(gè)電勢(shì)φ(x),這兩者之間滿足式(4).根據(jù)統(tǒng)計(jì)力學(xué)規(guī)律,在一個(gè)保守力場(chǎng)中處于熱平衡的粒子分布遵循玻爾茲曼定律[14,15].因此膠粒周圍離子的空間分布遵循玻爾茲曼分布,即在位置x處的粒子數(shù)密度由下式給出:

    n(x)=n0e-Ep(x)/kT

    (7)

    式中Ep(x)為勢(shì)能,k是玻爾茲曼常數(shù)量,T為絕對(duì)溫度,n0為離子濃度.現(xiàn)在,假設(shè)膠粒周圍已經(jīng)存在一個(gè)電勢(shì)φ(x),則Na+和Cl-在膠粒附近的粒子數(shù)密度分布滿足式(7).在距離膠粒表面為x的位置處,Na+的電勢(shì)能為eφ(x),e為Na+所帶的電荷量,則Na+的粒子數(shù)密度為n+(x)=n0e-eφ(x)/kT;同理,Cl-的粒子數(shù)密度為n-(x)=n0eeφ(x)/kT,則凈電荷密度為

    ρ(x)=en0(e-eφ(x)/kT-eeφ(x)/kT)

    (8)

    式(8)則描述了加入NaCl后帶電膠粒附近的離子產(chǎn)生的電荷密度分布.把式(8)代入式(4)中,我們可以得到電勢(shì)φ(x)滿足下式

    (9)

    求解這個(gè)微分方程可以得到膠體顆粒表面附近的電勢(shì)分布.令b=-en0/εw,a=e/kT,且方程兩邊同時(shí)乘以φ′(x)并對(duì)x積分,借助MatLab計(jì)算軟件我們得到電勢(shì)φ(x)滿足下式:

    (10)

    (11)

    φ(x)=C1e-x/D+C2ex/D

    (12)

    常數(shù)C1和C2由膠粒帶電情況決定,由討論的情況可知電勢(shì)φ(x)為有限值,所以C2=0.因此,我們可以得到φ(x)=C1e-x/D,式中的C1是x=0處的電勢(shì)大小,即膠體顆粒表面處的電勢(shì).

    如圖3所示,每當(dāng)距離增大D時(shí),電勢(shì)就降低一個(gè)因子1/e,膠粒表面附近的電勢(shì)衰減極快.D是對(duì)電解質(zhì)中包圍一個(gè)巨大帶電膠粒的離子層厚度的一種度量,稱為德拜屏蔽長(zhǎng)度.圖3顯示當(dāng)x=5D時(shí),電勢(shì)幾乎變?yōu)榱?離子層對(duì)帶電膠粒的屏蔽效應(yīng)如同把其置于一個(gè)閉合的球形導(dǎo)體面內(nèi),球形導(dǎo)體面外部沒(méi)有電場(chǎng)存在.由D的定義可知,當(dāng)離子濃度增加或者溶液溫度降低時(shí),離子層變??;離子層越薄則電勢(shì)衰減越快.當(dāng)D很大時(shí),表現(xiàn)為長(zhǎng)程排斥勢(shì)能;當(dāng)D變小時(shí),排斥勢(shì)能的作用范圍減小.膠粒間的相互作用是靜電排斥與離子層共同作用的結(jié)果,離子層起到屏蔽庫(kù)侖勢(shì)的作用. 因此通過(guò)改變膠粒的表面性質(zhì)及介質(zhì)的離子強(qiáng)度等參數(shù),可以使粒子間相互作用勢(shì)在很大的范圍內(nèi)連續(xù)變化,從而有效調(diào)節(jié)和控制膠粒的聚沉與相變過(guò)程[10].實(shí)驗(yàn)中,NaCl加入到膠體蛋白溶液中,德拜長(zhǎng)度會(huì)減小,膠粒能夠相互靠近,如果加入溶液中的NaCl足夠多時(shí),膠體蛋白分子便從溶液中沉淀出來(lái).

    圖3 加入鹽后膠粒表面附近電勢(shì)的變化情況

    當(dāng)x→0時(shí),即膠粒表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度大小可表述為:E=σ/εw,其中σ=Q/4πR2為膠粒表面的電荷面密度.由式(3)和(12)得出C1=σD/εw,我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)電勢(shì)與兩板間距為D中間充滿水的電容器的電勢(shì)相同.最終可以得到加入NaCl水溶液后顆粒表面附近的電勢(shì)分布如下式:

    (13)

    對(duì)比式(5)和(13),我們發(fā)現(xiàn)電勢(shì)之間的差別為(Dxe-x/D)/R2,基于電介質(zhì)的靜電場(chǎng)理論,加入NaCl后均勻帶電球形膠粒在空間中產(chǎn)生的電勢(shì)分布可以表述為:φ(x)=Q/(4πεNaClx),式中εNaCl為加入NaCl后溶液的電容率.因此加入NaCl前后溶液電容率的相對(duì)變化量可以表述為

    (14)

    εr描述了加入NaCl后溶液的介電特性.由式(14)可知加入NaCl后溶液的εr變化非常復(fù)雜,它不僅與加入的離子濃度密切相關(guān),而且是各向異性的.在某一確定位置處,加入的NaCl越多,則電容率的相對(duì)變化量就越大.

    下面我們可以根據(jù)式(13)得到加入NaCl溶液后膠粒間的靜電排斥勢(shì)能與范德華引力勢(shì)能之和

    (15)

    3 結(jié)論

    靜電學(xué)中,泊松方程給出了電勢(shì)和電荷分布之間的關(guān)系,但是實(shí)際問(wèn)題中電荷分布難以確定.牛奶加鹽過(guò)程中的聚沉現(xiàn)象可運(yùn)用靜電學(xué)的泊松方程結(jié)合玻爾茲曼分布定律給予很好的解釋.本文通過(guò)構(gòu)建簡(jiǎn)化的球形模型,計(jì)算膠粒附近的電勢(shì)分布;然后,對(duì)比靜電排斥勢(shì)能和范德華吸引勢(shì)能之間的大小,定量的分析了加鹽過(guò)程中膠體蛋白分子的聚沉現(xiàn)象.同時(shí),我們從日常生活中的現(xiàn)象進(jìn)行靜電學(xué)分析,給出兩個(gè)重要物理定律之間的密切關(guān)聯(lián),期望能夠促進(jìn)教學(xué)甚至研究并獲得新的結(jié)果.

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