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    圓形或扇形薄板的橫向振動(dòng)問題(一) 圓心處的邊界條件

    2022-06-10 06:07:24吳崇試
    大學(xué)物理 2022年6期
    關(guān)鍵詞:連續(xù)譜零解有界

    吳崇試

    (北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

    《大學(xué)物理》等刊物上發(fā)表的一系列文章(見文獻(xiàn)[1-5]),討論了各種形狀薄板的橫振動(dòng)固有頻率問題.大約3年前,針對(duì)扇形薄板的問題,筆者曾經(jīng)提出了質(zhì)疑[6],基本觀點(diǎn)有兩個(gè)方面:第一方面是關(guān)于邊界條件,在扇形的情況下周期條件不適用,同時(shí)圓心處的邊界條件似乎也存在問題.前者應(yīng)該是基本的共識(shí),無(wú)需進(jìn)一步闡述,本文將對(duì)后者作比較仔細(xì)的分析,并提出圓心處邊界條件的正確提法.第二方面是四階偏微分方程的分離變量問題,這方面的內(nèi)容,留待下一篇文章闡述.

    1 圓形薄板圓心處原有邊界條件的分析

    本文之所以選擇圓形薄板加以討論,原因是這時(shí)可以應(yīng)用周期條件,而且,為了簡(jiǎn)單起見,本文還只討論邊界固定情形下的圓形薄板橫向振動(dòng)問題,這樣,我們可以專注于圓心處邊界條件的正確選取.

    在上述條件下,對(duì)于薄板的固有振動(dòng)模式,本征值問題就是[7]:

    (Δ2-k4)w=0

    (1)

    周期條件w(r,θ)=w(r,θ+2π)

    (2)

    w(r,θ)在圓心r=0處的(自然)邊界條件

    w(r,θ)在圓周r=a上的邊界條件

    因?yàn)閳A周固定,w(r,θ)在圓周r=a上邊界條件的表述形式就是[7]

    w|r=a=0

    (3)

    (4)

    對(duì)于圓心處的邊界條件,筆者搜索過相關(guān)文章,發(fā)現(xiàn)大體有兩種形式,一種是像文獻(xiàn)[7]那樣,沒有明確列出,實(shí)際上只是要求

    w|r=0有界

    (5)

    還有像文章[1-5]中那樣,除了上式之外,還要求

    (6)

    但這兩種情況下都沒有給出嚴(yán)格的推導(dǎo),下面我們將嚴(yán)格論證,這樣的邊界條件,并不能得出文章[1-5]或文章[7]中的結(jié)論.

    考慮到周期條件(2)的要求,振動(dòng)模式應(yīng)該是

    w(r,θ)=Rm(r)cosmθ

    (7)

    w(r,θ)=Rm(r)sinmθ

    (8)

    于是R(r)所滿足的方程就是

    (9)

    如果采用邊界條件(3)—(6),它們也可以分離變量,從而得到

    R(0)有界

    (10)

    R′(0)有界

    (11)

    R(a)=0

    (12)

    R′(a)=0

    (13)

    當(dāng)k≠0時(shí),式(9)的通解是

    Rm(r)=AmJm(kr)+BmNm(kr)+CmIm(kr)+DmKm(kr)

    (14)

    代入邊界條件,原則上就應(yīng)當(dāng)可以求出k,從而進(jìn)一步定出固有振動(dòng)頻率.

    現(xiàn)在仔細(xì)地分析一下解式(14)在r=0處的行為.因?yàn)镴m(kr)和Im(kr)在全平面解析,所以只需討論一下Nm(kr)和Km(kr)在r=0處的行為.

    1) 當(dāng)m=0時(shí),這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是

    因此,將它們適當(dāng)組合起來,有

    由于在r=0附近,

    R0(r)=A0J0(kr)+B0V0(kr)+C0I0(kr)

    (15)

    而且邊界條件(11)自然成立.再進(jìn)一步利用邊界條件(12)和(13),我們就得到

    A0J0(ka)+B0V0(ka)+C0I0(ka)=0,

    給定任意k,通過這兩個(gè)方程,總可以求得非零解A0,B0,C0.換言之,此方程組對(duì)任意k均成立.這意味著,當(dāng)m=0時(shí)為連續(xù)譜!甚至還可以是復(fù)數(shù)!

    2) 當(dāng)m=1時(shí),可以類似地將N1(kr)和K1(kr)作適當(dāng)?shù)木€性組合,從而得到

    顯然,在r=0附近,有

    我們看到,當(dāng)m=1時(shí),只要求滿足邊界條件(10)或是要求同時(shí)滿足條件(10)、(11),會(huì)導(dǎo)致截然不同的結(jié)果:如果只是要求滿足邊界條件(10),則式(14)中的D=2B/π,而B任意,因此會(huì)得到與m=0時(shí)相同的結(jié)論;如果再加上式(11)的要求,則有B=D=0,再利用邊界條件(12)和(13),我們就得到

    AJ1(ka)+CI1(ka)=0

    此方程組有非零解的充分必要條件是

    由此即可定出本征值k1i,i=1,2,3,…,相應(yīng)的非零解(固有振動(dòng)模式)為

    R1(r)=I1(k1ia)J1(k1ir)-J1(k1ia)I1(k1ir)

    3) 當(dāng)m=2時(shí),同樣可以將N2(kr)和K2(kr)作線性組合:

    因?yàn)樵趓=0附近:

    A2J2(ka)+B2V2(ka)+C2N2(ka)=0,

    定出本征值為連續(xù)譜!

    4) 當(dāng)m≥3時(shí),可以作類似的分析.這時(shí),無(wú)論將Nm(kr)與Km(kr)作何種組合,均不可能滿足邊界條件(10)[即R(0)有界]的要求,必須有B=D=0,因此式(14)變?yōu)?/p>

    Rm(r)=AJm(kr)+CIm(kr),m=3,4,5,…

    (16)

    的正零點(diǎn),相應(yīng)的固有振動(dòng)模式為

    Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

    綜上所述,在承認(rèn)本征值問題(1)—(5)或(1)—(6)的前提條件下,可以得出下列結(jié)論:

    1) 單獨(dú)的Nm(kr)、Km(kr)在r=0的確無(wú)界,但是它們的線性組合仍然可能有界.

    2) 當(dāng)m=0,2時(shí),只要求R(0)有界,則自動(dòng)導(dǎo)出R′(0)有界.因此定出的k為連續(xù)譜,甚至可以是任意復(fù)數(shù)值.此結(jié)果令人費(fèi)解,而且可能與實(shí)驗(yàn)事實(shí)不符!

    3) 當(dāng)m=1時(shí),要求R(0)有界或是要求R(0)、R′(0)均有界,將得到不同結(jié)果.前者可以得到離散譜,后者則是連續(xù)譜.

    4) 當(dāng)m≥3時(shí)又出現(xiàn)另外一種現(xiàn)象,即只要R(0)有界一個(gè)條件就足以定出B=D=0,R′(0)有界或R″(0)有界都變成是多余的?

    2 圓心處邊界條件的正確提法

    基于上面的分析,筆者認(rèn)為,根本原因是上面的本征值問題中r=0處邊界條件(6)不正確!

    不妨回憶一下在圓形區(qū)域內(nèi)二維拉普拉斯方程的本征值問題中,也是采用平面極坐標(biāo)系,并且將坐標(biāo)原點(diǎn)置于圓心,這時(shí)在圓心r=0處,應(yīng)該加上有界條件u|r=0有界.受這一事實(shí)的啟發(fā),如果把方程(1)改寫為方程組:

    自然會(huì)得想到在r=0處,取代原有的邊界條件(6),正確的邊界條件應(yīng)該是要求

    u|r=0有界

    (17)

    這樣,Rm(r)所滿足的本征值問題就是

    (18)

    Rm(0)有界

    (19)

    (20)

    Rm(a)=0

    (21)

    (22)

    而且k≠0(證明從略).式(18)的通解仍為式(14).因?yàn)镴m(kr)及Im(kr)在全平面解析,這兩個(gè)函數(shù)以及它們的任意階導(dǎo)數(shù)在r=0均有界,所以在討論解式(14)在r=0點(diǎn)是否滿足邊界條件(19)、(20)時(shí),就只需考慮函數(shù)Nm(kr)和Km(kr),注意有

    所以,將解式(14)代入邊界條件(19)、(20)時(shí),就得到

    [BmNm(kr)+DmKm(kr)]r=0有界,

    [BmNm(kr)-DmKm(kr)]r=0有界

    這樣就導(dǎo)致

    從而定出Bm=Dm=0.因此就只需要將

    Rm(r)=AmJm(kr)+CmIm(kr)

    代入邊界條件(21)、(22),給出

    AmJm(ka)+CmIm(ka)=0,

    此方程組有非零解的充分必要條件是

    Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

    以下從略.

    3 討論

    上面分析了圓形薄板橫振動(dòng)的固有振動(dòng)頻率問題,發(fā)現(xiàn)圓心r=0處邊界條件的現(xiàn)有提法,會(huì)導(dǎo)致固有振動(dòng)頻率為連續(xù)譜,甚至固有振動(dòng)頻率還可以取復(fù)數(shù)值.這和既有實(shí)驗(yàn)事實(shí)不相符合.筆者之所以給出了比較詳細(xì)的計(jì)算,無(wú)非是因?yàn)楝F(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)此問題并未曾作認(rèn)真而仔細(xì)的分析,甚至以為只要R(0)有界一個(gè)條件就足以排除掉Nm(kr)和Km(kr)兩個(gè)特解.

    針對(duì)圓形薄板橫振動(dòng)問題中有關(guān)圓心處邊界條件提法的欠缺,筆者提出了在圓心r=0處邊界條件的新提法,即式(5)和式(17).這樣的邊界條件,比較完滿地解決了求解圓形薄板橫振動(dòng)固有振動(dòng)頻率的問題.當(dāng)然,這一提法是否正確,還有待實(shí)驗(yàn)事實(shí)的檢驗(yàn).但是,至少?gòu)睦碚撋险f,這一新提法,也可以從變分計(jì)算的角度得到支持.因?yàn)闆Q定固有頻率的本征值問題,從變分法的角度來看,它來自勢(shì)能項(xiàng)在給定邊界條件以及約束條件(本征函數(shù)可歸一化)下的條件極值問題,即[7]

    其中D0是薄板的抗彎剛度,ρ和h則是薄板的密度和厚度,而由拉格朗日乘子ω2即可定出固有振動(dòng)頻率ω.根據(jù)上式,經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算,就能導(dǎo)出偏微分方程:

    以及相應(yīng)的邊界條件.計(jì)算中需要用到格林公式,如果采用平面極坐標(biāo)系,還應(yīng)該額外增加一項(xiàng)在原點(diǎn)處的邊界條件:

    因此,最簡(jiǎn)單的情形,便應(yīng)當(dāng)要求在原點(diǎn)處

    表面上看來,似乎可以組成4種不同的邊界條件.但第2節(jié)的分析表明

    是不正確的組合,應(yīng)當(dāng)排除.而正確的邊界條件可能只有兩種,即

    本文之所以討論圓形薄板,原因是在這種情形下,可以應(yīng)用周期條件,在圓周上的邊界條件給定的情況下,本征值問題是否有合乎物理預(yù)期的解,就只取決于圓心處邊界條件的提法是否正確.在扇形情況下,就還涉及θ=常數(shù)的兩條半徑上的邊界條件.下一篇文章將討論這種情形.我們將看到,它還與4階偏微分方程的分離變量問題密切相關(guān).

    最后,需要說明,筆者只是從事物理專業(yè)的教學(xué)和科研工作,對(duì)于彈性力學(xué)的知識(shí)欠缺.以上有關(guān)圓心處邊界條件的提法,純粹是從數(shù)理方程的角度進(jìn)行的,是否合理,這樣的邊界條件相當(dāng)于薄板的何種物理狀態(tài),還需要從彈性力學(xué)專業(yè)的角度考察.歡迎批評(píng)指正.

    致謝:作者感謝與楊孔慶教授、宣本金教授及白在橋教授進(jìn)行的有益討論,他們的建議豐富了本文的內(nèi)容.

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