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    多視角分析促解題能力提升

    2022-06-09 01:46:41毛昌斌
    關(guān)鍵詞:多視角知識體系解題能力

    毛昌斌

    [摘? 要] 對于如何提升學(xué)生的解題能力,文章以數(shù)列為例,通過多視角分析,帶領(lǐng)學(xué)生掌握解題的通性通法,同時引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)和歸納中完成整體知識體系的建構(gòu). 這樣,當學(xué)生面對復(fù)雜的數(shù)列問題時,可以根據(jù)數(shù)列的特點,采取行之有效的解決方案,最終提升解題效率.

    [關(guān)鍵詞] 解題能力;多視角;知識體系

    談起數(shù)學(xué)解題大家往往聯(lián)想到的就是“刷題”,部分師生認為“刷題”是獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗的最直接的手段. “刷題”在一定程度上可以讓學(xué)生積累很多解題經(jīng)驗和解題技巧,然其并不是通往成功的捷徑,因為過多的訓(xùn)練使學(xué)生在解題時完全依賴經(jīng)驗,對題目的分析較少,因此其僅知道要這樣做而不懂為什么這樣做,這樣勢必會影響學(xué)生分析能力和解題能力的提升. 因此,在教學(xué)中要將“多做”變?yōu)椤岸鄦枴焙汀岸嗨肌?,讓學(xué)生更好地把握問題的本質(zhì),進而擁有以不變應(yīng)萬變的能力,從而真正提升解題能力.

    筆者借助于數(shù)列相關(guān)內(nèi)容的處理,讓學(xué)生多思考一些“為什么”,打破解題時僅知道要這樣做而不知為什么這樣做的尷尬,促進學(xué)生解題能力的提升.

    [?] 方法講解促生成

    等差數(shù)列和等比數(shù)列不僅是高考考查的重點內(nèi)容,也是學(xué)好數(shù)列的前提和保障,其概念、公式的推理中蘊含著豐富的知識及數(shù)學(xué)思想方法. 因此,在教學(xué)中要利用好其基礎(chǔ)地位,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之初就掌握基本思想和基本方法,使學(xué)生在解題時可以及時捕捉相關(guān)信息,借助于相似的方法進行求解,進而達到先入為主的效果,讓學(xué)生在相關(guān)的推理和求解中輕松地發(fā)現(xiàn)解題的切入點,成功解決問題.

    例如,根據(jù)等差數(shù)列{a}的概念可知,a-a=d,a-a=d,a-a=d,…,a-a=d,將這n-1個等式左右兩邊分別相加得a-a=(n-1)d,進而得到a=a+(n-1)d. 運用“疊加法”體驗了等差數(shù)列通項公式的生成過程,進而使學(xué)生再遇到類似的推理時會嘗試用“疊加法”求解.

    例1 已知數(shù)列{a}的前n項和為S,且S=a-1(n∈N*).

    (1)求數(shù)列{a}的通項公式;

    (2)在數(shù)列中,b=5,b=b+a,求數(shù)列的通項公式.

    題目解析:(1)由S=a-1得S=a-1,兩式相減并整理得=3,故{a}是公比為3的等比數(shù)列. 進一步推理得數(shù)列{a}的通項公式為a=2·3n-1.

    (2)因為b=b+a,所以當n≥2時,b=b+2·3n-2,…,b=b+2·31,b=b+2·30,疊加得b=b+2(3n-2+…+31+30)=5+2·=3n-1+4. 當n=1時,3n-1+4=5=b,所以b=3n-1+4.

    又如,根據(jù)等比數(shù)列{a}的概念可知,=q,=q,…,=q,將這n-1個等式左右兩邊分別相乘得=qn-1,即a=aqn-1. 公式推理階段引入的思想往往讓學(xué)生的印象更加深刻,學(xué)生再遇到此類問題時自然會通過該證明方法(“疊乘法”)求解.

    例2 已知數(shù)列{a}中,a=3·5nan,a=2,求數(shù)列{a}的通項公式.

    題目解析:因為a=3·5nan,所以=3·5n,所以a=··…··a,整理化簡得a=3·5a,又a=2,所以a=2·3·5.

    類似地,還涉及“倒序相加法”“錯位相減法”等證明方法. 有了前期知識的積累,學(xué)生再求解類似題目時,首先就會聯(lián)想到處理此類問題的策略,進而為求解提供了方向,學(xué)生容易找到解決該問題的切入點,有利于解題效率的提升.

    [?] 放手探究促發(fā)展

    數(shù)學(xué)是一門規(guī)律性較強的學(xué)科,若沒有讓學(xué)生經(jīng)歷自我發(fā)現(xiàn)的過程,很難實現(xiàn)知識的內(nèi)化,題目略有變化學(xué)生就會感覺到束手無策. 因此,學(xué)習(xí)過程中要多引導(dǎo)學(xué)生進行自主探究,這對提升學(xué)生的分析能力和培養(yǎng)學(xué)生的自信心都有著重要的意義.

    例3 在數(shù)列{a}中,a=1,若a=(n∈N*),求通項a.

    題目解析:通過觀察發(fā)現(xiàn),本題并不適用“疊加法”和“疊乘法”,解答需要從a=出發(fā),通過對它的觀察尋找求解的規(guī)律. 將a=兩邊取倒數(shù)后,得=,化簡得=+3,即數(shù)列

    是以=1為首項,公差為3的等差數(shù)列,推理至此就可以求出數(shù)列a的通項公式了.

    求解本題運用的是“構(gòu)造法”,通過“兩邊取倒數(shù)”構(gòu)造出了等差數(shù)列

    . 雖然“構(gòu)造法”在求數(shù)列通項公式時經(jīng)常使用,但“構(gòu)造法”較靈活,學(xué)生往往很難入手,本題若直接應(yīng)用該方法學(xué)生雖然理解但很難轉(zhuǎn)化成自己的認知和能力.

    對于一些新穎別致的、陌生的數(shù)列,直接求解往往難以入手,這時可以通過特殊值尋找規(guī)律,進而找到解題方法. 對于本題求解,教師引導(dǎo)學(xué)生放手嘗試,通過觀察和推理找到解決方案.

    師:假設(shè)n=5,你能寫出各項的值嗎?(教師引導(dǎo)學(xué)生通過“代入法”尋找規(guī)律)

    生1:a=,a=,a=,a=.

    師:很好!你能發(fā)現(xiàn)什么?

    代入值之后不難發(fā)現(xiàn)各項的分母是等差數(shù)列,學(xué)生自然就聯(lián)想到了:若各項取倒數(shù)就可以變?yōu)?,7,10,13,即可以變?yōu)楣顬?的等差數(shù)列,故

    這個等差數(shù)列也就自然地推理出來了.

    教學(xué)中放手讓學(xué)生嘗試觀察、思考,這樣學(xué)生在應(yīng)對千變?nèi)f化的題目時可以靜心去思考,借助于規(guī)律找到解決問題的突破口,進而促進解題能力的提升.

    [?] 及時引導(dǎo)促提升

    數(shù)列從題型到方法都是靈活多變的,若都靠學(xué)生探究顯然很難達到預(yù)期的效果. 因此,在教學(xué)中要充分發(fā)揮教師的作用,帶領(lǐng)學(xué)生在多變的題目中挖掘通用的方法,進而達到融會貫通的效果.

    例4 已知數(shù)列{a}滿足a=1,a=3a+1,求a的通項公式.

    題目解析:若沒有3,則a=a+1,數(shù)列為等差數(shù)列;若沒有1,則a=3a,數(shù)列為等比數(shù)列. 為此,解題時可以嘗試從不同的視角進行分析.

    視角1:視為等差數(shù)列.

    師:如果將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,對a=3a+1該如何處理呢?

    生齊聲答:兩邊同時除以3.

    師:哦,是這樣嗎?=a+. (教師按照學(xué)生的思路板演)

    通過觀察,學(xué)生發(fā)現(xiàn),這樣直接除以3顯然不能直接轉(zhuǎn)化.

    師:那到底應(yīng)該除以多少呢?聯(lián)想遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征,如何使其結(jié)構(gòu)統(tǒng)一呢?

    經(jīng)過共同探究發(fā)現(xiàn),若左右同時除以3n+1,則==+,這樣就構(gòu)造出了一個新的數(shù)列

    ,學(xué)生有等差數(shù)列通項公式推理的經(jīng)驗,該問題也就迎刃而解了.

    視角2:視為等比數(shù)列.

    師:若我們想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,右邊1是否可以直接去掉呢?

    生2:不能. 因為若想消除右邊的1,那么左邊也要減去1,這樣還是不具備等比數(shù)列的特征.

    師:既然不能減去,是否可以加上一個數(shù)呢?是否可以構(gòu)造一個形如{a+x}的數(shù)列呢?(在教師的引導(dǎo)下學(xué)生積極探究,最終得出了答案)

    生3:設(shè)a+x=3(a+x),由a=3a+1,得x=,所以a+=3

    a+

    . 令b=a+,則b=a+,所以b=3b,所以數(shù)列是以b=a+=為首項,以q=3為公比的等比數(shù)列. 所以b=bqn-1=·3n-1,即a+=·3n-1,所以a=.

    在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生積極調(diào)動了已有經(jīng)驗,通過聯(lián)想構(gòu)造出了等差數(shù)列和等比數(shù)列,成功地求出了通項公式. 在此過程中運用了遞推,遞推是一個非常重要的概念和方法,解決數(shù)列問題時應(yīng)用較多. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,解題固然重要,然通過解題掌握其思想方法更重要,只有掌握了思想方法才掌握了精髓,才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),進而提升學(xué)生的綜合能力.

    [?] 歸納總結(jié)促完善

    數(shù)列是高考重要考點之一,雖然每年的題型都有所不同,然仔細推敲不難發(fā)現(xiàn)其考查的類型也就分為如下4種:①等差、等比問題;②求數(shù)列的通項公式;③求數(shù)列的前n項和;④數(shù)列與不等式. 考查的類型通過分析整理后,再根據(jù)各個類型總結(jié)歸納出具體的解題方法,進而將整個數(shù)列問題建構(gòu)成一個完整的知識體系,這樣學(xué)生遇到千變?nèi)f化的題目時,通過分析和聯(lián)想可以找到與之相匹配的解題方法,進而成功解決問題.

    例如,求通項公式可以應(yīng)用如下方法:①利用a=S-S(n≥2);②疊加法;③疊乘法;④構(gòu)造法.

    例5 已知數(shù)列{a}滿足a+2a+3a+4a+…+na=n(n+1)(n+2),則{a}的通項公式為________.

    題目解析:本題雖然不能直接利用a=S-S解答,然其與和有關(guān),故仍需考慮利用a=S-S(n≥2). 設(shè)T=a+2a+3a+4a+…+na=n(n+1)(n+2),則Tn-1=a+2a+3a+4a+…+(n-1)a=n(n-1)(n+1). 兩邊相減得na=3n(n+1),所以a=3n+3.

    又如,數(shù)列求和常用的方法有:①倒序相加法;②錯位相減法;③分組求和法;④裂項相消法. 以“裂項相消法”為例,形如以下幾個類型均可應(yīng)用:

    ①=-(等差型);

    ②lg=lg(n+1)-lgn(對數(shù)型);

    ③=-(根式型);

    ④2n=2n+1-2n(指數(shù)型);

    ⑤C=C-C(排列組合型).

    例6 S為數(shù)列{a}的前n項和,已知a>0,a+2a=4S+3.

    (1)求{a}的通項公式;

    (2)設(shè)b=,求數(shù)列的前n項和T.

    題目解析:(1)根據(jù)前面的解題經(jīng)驗可以輕松求得{a}的通項公式為a=2n+1.

    (2)由(1)可知,b==

    -

    ,所以的前n項和為T=b+b+…+b=

    -

    +

    -

    +…+

    -

    =-.

    數(shù)列問題是非常靈活的,部分學(xué)生在解決數(shù)列問題時常因其復(fù)雜多變而產(chǎn)生畏難情緒,但要讓學(xué)生克服這種情緒決不能盲目地重復(fù)練習(xí),雖然那樣學(xué)生短時間內(nèi)解題能力會有所提高,然過多追求“練”,而忽視“總結(jié)和歸納”,從長遠來看,對學(xué)生分析能力和解題能力的提升并未發(fā)揮太大的作用. 因此,在教學(xué)中要重視方法的總結(jié)和歸納,這樣學(xué)生才能真正地擁有“以不變應(yīng)萬變”的能力,學(xué)生的綜合能力才能真正地有所提升.

    總之,在各模塊教學(xué)中,教師要帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會多視角、全方位地審視問題,進而理清問題的來龍去脈,總結(jié)和歸納出解題策略,建立完善的知識體系,從而全面提升解題能力.

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