遵循思維規(guī)律 提升思維能力

司徒超旋 趙銀倉

[摘? 要] 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)離不開學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升，因而務(wù)必要讓學(xué)生學(xué)會思考. 學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的過程，就是體驗對數(shù)學(xué)問題的抽象分析過程、將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題的過程、開展數(shù)學(xué)運算推理的過程和數(shù)學(xué)想象的過程，就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程. 運用思維策略能發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 學(xué)會思考;數(shù)學(xué)思維;思維策略;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

有位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過，“學(xué)生在中學(xué)階段所接受的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)入社會后，沒有機(jī)會直接應(yīng)用，唯有數(shù)學(xué)精神、思維方法和策略等，使他們終身受益.”可見數(shù)學(xué)思維會影響學(xué)生終身發(fā)展. 要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要讓學(xué)生學(xué)會思考，只要學(xué)會思考，并能深度思考，才能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[?] 讓學(xué)生學(xué)會思考，才能促進(jìn)素養(yǎng)的落實

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵和要求是多方面的，在教育教學(xué)的過程中讓學(xué)生學(xué)會思考，就是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，廣泛聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，深度探究解決問題的路徑，無疑是非常重要的一個方面. 學(xué)生思考解決問題的過程中，體驗對數(shù)學(xué)問題的抽象分析過程，發(fā)展抽象素養(yǎng);在找到問題中量之間的關(guān)系使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題的過程中，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng);數(shù)學(xué)推理離不開數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象離不開數(shù)學(xué)想象，這必然發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng). 因此，讓學(xué)生學(xué)會思考，并能深度思考，一定能極大地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，終身受益.

[?] 遵循數(shù)學(xué)思維策略，促使學(xué)生學(xué)會思考

數(shù)學(xué)思維能力的提升，要遵循數(shù)學(xué)思維的原則、規(guī)律，使思維過程少走彎路. 文章擬就探討數(shù)學(xué)思維應(yīng)遵循的基本策略，并舉例說明其應(yīng)用.

1. 簡單化策略

在數(shù)學(xué)中，往往是未知與已知、高次與低次、空間與平面等問題互相聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化. 從解決問題的思維過程來看，通常是化繁為簡. 主要途徑是：（1）分解為簡單問題的組合. 從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，設(shè)法將較繁的問題分解為按一定方式相聯(lián)系的簡單問題，分步解決. （2）分解為若干同類的子問題. 根據(jù)某一本質(zhì)屬性的差異，分為不同的種類，分類解決. （3）抽象為基本問題的推廣. 對于抽象復(fù)雜的問題，從同類特殊情形中尋找可推廣的結(jié)論和方法，迂回解決原問題. 這里將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為某個簡單問題或幾個簡單問題的組合. 找到這個（這些）簡單問題，將它（它們）解決掉，原有的復(fù)雜問題也就迎刃而解了.

簡單化策略是指這種化陌生為熟悉、化高級為低級、化復(fù)雜為簡單的思想方法. 這種對問題的簡單化體現(xiàn)著要理清問題中各種量及其關(guān)系、概念間的聯(lián)系、問題間的邏輯關(guān)系，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

例1 設(shè)復(fù)數(shù)z=3cosθ+i2sinθ，并設(shè)復(fù)數(shù)z的輻角為α，求函數(shù)y=tan（θ-α）0<θ

<的最大值以及對應(yīng)的θ值.

分析：此問題可分解為：

（1）求α的正切值. 由0<θ<知tanθ>0，且tanα==tanθ.

（2）將tan（θ-α）表為θ的函數(shù)，即y=tan（θ-α）==.

（3）求最大值及相應(yīng)的θ值. 因為+2tanθ≥2，所以y≤，當(dāng)且僅當(dāng)=2tanθ

0<θ<

時，即tanθ=時，上式取等號.所以當(dāng)θ=arctan時，函數(shù)y取得最大值.

這種分解與組合，使得復(fù)雜問題變得簡單，思維自然流暢，邏輯關(guān)系清晰，條理性強(qiáng). 對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，可以幫助他們找到解題的思路、成功的體驗，能喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

2. 等價變換策略

如果命題A成立當(dāng)且僅當(dāng)命題B成立，那么就稱A和B為等價命題，記為A?B. 能使變換前和變換后的命題等價的變換叫做等價變換. 等價變換的主要途徑有：

（1）數(shù)學(xué)語言間的互譯. 靈活地進(jìn)行語言形態(tài)的變換，發(fā)揮它們各自的優(yōu)勢，發(fā)散思維，開闊思路;不同形態(tài)的數(shù)學(xué)語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的互譯，往往能全方位、多角度地審視題目，簡縮思維過程，擺脫思維受阻的困境，有利于培養(yǎng)思維的廣闊性.

（2）引入輔助（變）量. 引入新的（變）量，促使原問題的形式結(jié)構(gòu)向易于理解和解決的方向轉(zhuǎn)化.

（3）恒等變形. 通過與已知問題結(jié)構(gòu)的對比，找出異同，變異為同.

（4）數(shù)形轉(zhuǎn)換. 將幾何的直觀和代數(shù)的靈活相結(jié)合，靈活地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，不斷優(yōu)化解題的思維過程.

（5）圖形變換. 利用某種變換手段恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行圖形變換，創(chuàng)造新的問題情境，尋求簡明快捷的解題途徑.

等價變換的過程就是不斷地聯(lián)想類比與變形推理的過程，能夠豐富學(xué)生的想象力，增強(qiáng)推理能力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

例2 設(shè)a，a，…，a都是正數(shù)，證明：不等式++…++≥a+a+…+a成立.

分析1：原不等式?

+a

+

+a

+…+

+a

+

+a

≥2a+2a+…+2a. 由+b≥2a（a>0，b>0）成立知原不等式成立.

分析2：原不等式?

-a1

+

-a2

+…+

-an-1

+

-an

≥（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）. 由-a≥a-b（a>0，b>0）成立知原不等式成立.

分析3：原不等式?

++…++

（a+a…+a+a）≥（a+a+…+a）2，由柯西不等式知原不等式成立.

對于某些問題，從其形式結(jié)構(gòu)出發(fā)，與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)想類比，找出其異同，利用它們結(jié)構(gòu)的相似性，進(jìn)行恒等變形，應(yīng)用已有結(jié)論導(dǎo)出新的結(jié)論.這種思維策略有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的想象力，靈活性與深刻性，引導(dǎo)學(xué)生尋找疑難問題的數(shù)學(xué)本源，能促進(jìn)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升.

3. 映射反演策略

如果兩個命題或系統(tǒng)的內(nèi)容、形式、結(jié)構(gòu)之間存在某種相似性，那么設(shè)法在它們之間建立一種對應(yīng)關(guān)系，把原問題映射到其他領(lǐng)域中去解決，然后反演回原來的領(lǐng)域中求得問題的解答. 這種解決數(shù)學(xué)問題的方法叫做映射反演原則. 這里“映射”指實現(xiàn)命題轉(zhuǎn)換的某種對應(yīng)方法或變換手段，而“反演”指將變換后求得的解答轉(zhuǎn)換成原問題的解答.

實施映射反演，就是一種構(gòu)造的方法，通過類比聯(lián)想，利用映射構(gòu)造新的問題，使原來困難的問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題，解決問題的思維中包含著聯(lián)想、構(gòu)造、抽象與推理等思維要素，能發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

例3 求sin220°+cos280°+sin20°·cos80°的值.

分析：對于每個給定的x∈R，在sinx，cosx之間建立對立關(guān)系，產(chǎn)生對偶式可幫助解題. 于是設(shè)a=sin220°+cos280°+sin20°cos80°，b=cos220°+sin280°+cos20°sin80°，則a+b=2+sin100°，a-b=-cos10°-，相加得a=.

例4 集合S={1，2，…，18}的五元子集S={a，a，a，a，a}中，任何兩元素之差不為1，這樣的子集S有多少個？

分析1：若分類考慮，明顯太煩. 由于S中的每個元素都在S中且任何兩個元素之差不為1，作子集S′={a，a-1，a-2，a-3，a-4}，則S′與S一一對應(yīng)，而S′是{1，2，3，…，14}的五元子集，故共有C個.

分析2：原問題可轉(zhuǎn)化為18名學(xué)生中有5名女生，要排成一排，其中任何兩名女生不得相鄰，問共有多少種不同的排法？

在解題過程中，采用輔助手段如對偶、換元、排序、賦值、分割、投影、放縮等，尋求與原問題相關(guān)的對應(yīng)元素、情境和新問題，進(jìn)行遷移和移植，使難題巧解，這種方法能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和靈活性. 促進(jìn)數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等素養(yǎng)的形成.

4. 猜想驗證策略

猜想驗證原則指對某個數(shù)學(xué)問題通過實驗與觀察分析，提出該問題具有某種可能結(jié)果的猜想，然后多次驗證，以逐步認(rèn)識并找出該問題的解決方法.猜想指對某個新命題結(jié)論的猜想，也指對解題方向的猜想. 當(dāng)結(jié)論是關(guān)于自然數(shù)的命題時，通常用數(shù)學(xué)歸納法證明.

這是一種由特殊到一般的思維方法，學(xué)生在長期的學(xué)習(xí)中形成了一般到特殊的思維定式，也就是習(xí)慣演繹推理，不熟悉使用合理推理解決問題的路徑，培養(yǎng)學(xué)生用猜想驗證解決問題能使思維更加全面靈活，使得邏輯推理素養(yǎng)進(jìn)一步落實.

例5 求和S=arctan+arctan+arctan+…+arctan.

分析：對于該題，求和既無現(xiàn)成公式可用，也不知往何處簡化. 但聯(lián)想到S=++…+可使用錯位相消法求和，因此猜想arctan=arctanα-arctanβ，若能找到這樣的α與β，問題便迎刃而解了.不難驗證α=2m+1，β=2m-1滿足要求，于是可得S=arctan（2n+1）-.

猜想驗證是探求問題結(jié)論的有效方法，它有利于培養(yǎng)思維的靈活性、縝密性、創(chuàng)造性，能綜合提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

5. 辯證轉(zhuǎn)化策略

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾，如已知和未知、常量和變量、相等和不等、有限和無限、運動和靜止、合并和分解等. 矛盾的雙方既對立又統(tǒng)一，在一定的條件下，互相轉(zhuǎn)化、互相制約. 當(dāng)直接解決某數(shù)學(xué)問題有困難時，可轉(zhuǎn)向探索與該問題相聯(lián)的另一個相對的數(shù)學(xué)問題，再利用兩者之間的依賴關(guān)系解決原問題. 稱這種運用辯證思維策略來探索數(shù)學(xué)問題的方法為辯證轉(zhuǎn)化原則.

辯證轉(zhuǎn)化這一思維方式能使學(xué)生學(xué)會從正反兩個方面考慮問題，證明一個問題的不成立性，從正面解決不好表達(dá)，難于下手. 要說明一個問題的不成立性，只要找到一個合適的反例即可，這也是研究數(shù)學(xué)問題常用的方法. 對于正面解決有困難的問題，可以轉(zhuǎn)化為它的逆否命題，即假設(shè)結(jié)論不成立，找出與已知或事實矛盾的結(jié)果. 這能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與深刻性，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng).

例6 已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a=a+b，b=a+λb，且a=b=1，λ為常數(shù). 設(shè)c=a+b，n=1，2，3，…，求證：λ≠時，{c}不可能是等差數(shù)列.

分析：用反證法解答. 設(shè){c}是等差數(shù)列，則c=a+b=a+b+λ

-b=c+λ

-b，即{c}的公差d=λ

-b為常數(shù)，所以λ=或b=b=1. 因為λ≠，故b=1. 由b=a+λb，得a=1-λ也為常數(shù);再由a=a+b，b=1及a=a為常數(shù)，導(dǎo)出1-λ=，得λ=，與λ≠矛盾. 故得證.

順向推導(dǎo)有困難時就逆向推導(dǎo)，直接證明有困難時就間接證明. 這種正難則反的辯證思維策略往往使解題易于入手，有利于培養(yǎng)思維的靈活性.

例7 試求橢圓+=1的內(nèi)接三角形面積的最大值.

分析：由面積射影定理聯(lián)想到橢圓為一圓柱的截面，因此，橢圓內(nèi)接△ABC在圓柱底面上的射影為圓內(nèi)接△ABC，且當(dāng)△ABC為正三角形時，橢圓內(nèi)接△ABC的面積最大，易知截面與底面夾角的余弦值為，從而求得橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值為.

在平面上解決該問題，會陷入僵局，無計可施，利用“升”維變換到空間，茅塞頓開，淺顯易見. 從問題的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，靈活使用“次數(shù)”“維數(shù)”升降的辯證關(guān)系，改變思維角度，另辟蹊徑，可擺脫思維受阻，走出困境. 數(shù)學(xué)中處處滲透著辯證法，數(shù)學(xué)科學(xué)也離不開辯證思維. 辯證思維的形式是多樣的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，靈活應(yīng)用這些辯證思維的策略，可優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高思維的深刻性與全面性，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

[?] 結(jié)語

通過對所屬學(xué)校的高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的調(diào)研和訪談發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成了一定的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法的定式，課堂上聽課模仿做題，課后參考答案做題，相當(dāng)多的學(xué)生沒有答案搜答案，依賴答案完成作業(yè)，沒有答案沒法學(xué)習(xí). 可見，讓學(xué)生學(xué)會思考是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)刻不容緩的一項重要任務(wù)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，形成一定的思考能力，有助于學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)思維策略去分析問題和解決問題. 只有學(xué)會思考，并能深度思考，才能發(fā)展學(xué)生的思維能力，遇到問題時才能獨立思考并尋找解決方法，改變過去靠記憶和模仿學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣;只有學(xué)會思考，學(xué)生才能感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，感染和熏陶學(xué)生在心底由衷地喜歡數(shù)學(xué)，鉆研數(shù)學(xué)，才能在教學(xué)中落實數(shù)學(xué)素養(yǎng).