基于非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的發(fā)動(dòng)機(jī)訂單預(yù)測(cè)模型

譚祖健 官丹萍 莫 愁 丁振偉 李曉霞

（1.廣西玉柴機(jī)器股份有限公司，廣西 玉林 537005；2.桂林電子科技大學(xué)，廣西 桂林 541004）

0 前言

基于已有產(chǎn)品銷(xiāo)售數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)將來(lái)的訂單變化趨勢(shì)，進(jìn)而配備合適的生產(chǎn)所需零部件庫(kù)存，并制定合適的生產(chǎn)方案，能夠在很大程度上提高訂單快速交付的能力。對(duì)于如何準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)產(chǎn)品訂單，眾多研究者均取得過(guò)較好成果。杜瑩利用平滑指數(shù)模型優(yōu)化了某汽車(chē)公司的訂單預(yù)測(cè)方法，并改善了該公司生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)流程中的重復(fù)環(huán)節(jié)，降低了庫(kù)存量，提高了效益。佟晶博將動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法引入訂單預(yù)測(cè)模型中，建立了河蟹電商分銷(xiāo)系統(tǒng)，該系統(tǒng)能夠預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)各分銷(xiāo)商的訂單。李浩等人構(gòu)建了一種融合VGG 網(wǎng)絡(luò)與全卷積網(wǎng)絡(luò)（FCN）的出租車(chē)多區(qū)域訂單預(yù)測(cè)模型，與基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型相比，該預(yù)測(cè)模型平均準(zhǔn)確率更高且均方根誤差更低。也有一些研究的目標(biāo)并非提出成套的預(yù)測(cè)方法，而是著眼于提升預(yù)測(cè)過(guò)程中某個(gè)環(huán)節(jié)的質(zhì)量和/或簡(jiǎn)便程度。例如DANIEL ORTIZ-ARROYO 等人在模糊邏輯預(yù)測(cè)模型中，將有序加權(quán)平均算子應(yīng)用于原始時(shí)間序列劃分并重構(gòu)，使一階預(yù)測(cè)模型精度比對(duì)比文獻(xiàn)高，盡管該模型精度仍達(dá)不到高階模型的水平，但仍然可以縮短計(jì)算時(shí)間。劉道元等人為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)某批訂單的剩余完工時(shí)間（以便動(dòng)態(tài)調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃、優(yōu)化制造過(guò)程），提出了一種基于自組織映射（SOM）網(wǎng)絡(luò)-特征加權(quán)模糊C 均值（FWFCM）的特征選擇算法。在現(xiàn)有的公開(kāi)文獻(xiàn)中，直接針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)訂單預(yù)測(cè)進(jìn)行研究的文獻(xiàn)數(shù)量較少。

1 模型選擇及模型特性分析

1.1 發(fā)動(dòng)機(jī)訂單序列特性分析與模型選擇

根據(jù)時(shí)間先后順序?qū)⒁欢〞r(shí)間范圍內(nèi)的采樣數(shù)排列成1組或多組數(shù)列，這些時(shí)間序列可以表征某種特征變量隨著時(shí)間不斷變化的過(guò)程和趨勢(shì)。發(fā)動(dòng)機(jī)月訂單數(shù)量、季度訂單數(shù)量就是一種典型的時(shí)間序列。但該時(shí)間序列在1 a 周期內(nèi)的每個(gè)月、每個(gè)季度都不是固定在某個(gè)范圍內(nèi)的，而是隨著企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量、企業(yè)供貨能力、客戶(hù)需求以及社會(huì)宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境好壞等因素的變化呈一定規(guī)律的非平穩(wěn)變化，而且這個(gè)變化是隱含的，需要進(jìn)一步挖掘才能用一定的模型來(lái)表征。由于非平穩(wěn)時(shí)間序列特征數(shù)據(jù)呈隨機(jī)變化的趨勢(shì)，其數(shù)理統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也會(huì)隨著時(shí)間推移而發(fā)生變化，因此對(duì)這種特性的數(shù)據(jù)進(jìn)行未來(lái)趨勢(shì)預(yù)測(cè)時(shí)，必須選擇能評(píng)估和處理序列中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)、能處理數(shù)理統(tǒng)計(jì)性質(zhì)變化的模型。滿(mǎn)足這個(gè)要求的模型有自回歸條件異方差模型（ARCH 模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model））、灰色模型和自回歸整合滑動(dòng)平均模型（ARIMA 模型）等。其中，ARIMA 模型在建模時(shí)考慮了時(shí)間序列的自回歸特性和滑動(dòng)平均特性，并進(jìn)行了平穩(wěn)化處理，因此比較適合分析發(fā)動(dòng)機(jī)訂單時(shí)間序列和預(yù)測(cè)未來(lái)訂單。

1.2 模型特征分析

自回歸功能可以描述一組變量在前后期的變化特征，即用前期若干時(shí)刻的隨機(jī)變量的線性組合來(lái)表征后期某時(shí)段隨機(jī)變量的線性回歸。其與用自變量預(yù)測(cè)因變量的其他線性回歸不同，該功能是用前期的預(yù)測(cè)后期的（自身）。將該自回歸模型記為（），將隨機(jī)序列記為X，其模型結(jié)構(gòu)如公式（1）所示。

式中：為時(shí)間點(diǎn)；為模型階數(shù)；，，…，a為自回歸系數(shù)（當(dāng)=0 時(shí)，（）去中心化）；{}為白噪聲序列。

對(duì)時(shí)間點(diǎn)來(lái)說(shuō)，如果有? <，（Xε）=0，即如果任意小于時(shí)間點(diǎn)的時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變量與白噪聲序列相乘，其數(shù)學(xué)期望均為0，則表明前面的時(shí)間序列與后面的白噪聲不相關(guān)，這是ARIMA 模型自回歸功能的基本條件和優(yōu)點(diǎn)。

對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)訂單時(shí)間序列的非平穩(wěn)性特征來(lái)說(shuō)，線性回歸模型等簡(jiǎn)單模型的精度較低。自回歸模型將盡量消除白噪聲影響作為建模目標(biāo)，因此它可以獲得較高的精度。

對(duì)公式（1）來(lái)說(shuō)，只有確定了系數(shù)a，其才有使用意義，否則公式（1）就是一個(gè)無(wú)窮多項(xiàng)式?？梢杂冒自肼曅蛄?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">ε，ε，ε，…，ε表示隨機(jī)序列X，并將滑動(dòng)平均模型記為MA（），其模型結(jié)構(gòu)如公式（2）所示。

式中：為多項(xiàng)式常數(shù)，由變量特征確定；為模型階數(shù)；，,…,b為滑動(dòng)平均系數(shù)，且|b|<1，此處=1，2，…，。

如果設(shè)定了b的范圍，則公式（2）是收斂的。=1 的特例MA（1）如公式（3）所示。

由公式（3）可知，X為2 個(gè)擾動(dòng)因子（白噪聲）ε和ε的加權(quán)平均。根據(jù)以上分析可知，MA（）模型是AR（）模型的模型階數(shù)受到某種限制時(shí)的情形。由于ARIMA 模型融合了AR（）模型和MA（）模型，且值和值的大小體現(xiàn)了這 2 個(gè)模型在 ARIMA 模型中作用的強(qiáng)弱，因此在應(yīng)用時(shí)需要確定值和值。

由于類(lèi)似發(fā)動(dòng)機(jī)訂單這樣的時(shí)間序列有明顯的趨勢(shì)性和/或季節(jié)性，因此在建立ARIMA 模型時(shí)需要先去除這2 個(gè)趨勢(shì)，再進(jìn)行平穩(wěn)化處理。一般來(lái)說(shuō)，進(jìn)行1 次差分和2 次差分就可以剔除其中1 個(gè)趨勢(shì)和2 個(gè)趨勢(shì)。

1.3 ARIMA建模程序

使用ARIMA 模型進(jìn)行訂單預(yù)測(cè)的一般步驟如下：首先，對(duì)樣本進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果不平穩(wěn)，通常就進(jìn)行若干次差分，直到樣本平穩(wěn)。其次，對(duì)模型進(jìn)行定階，確定ARIMA（，，）（為為檢驗(yàn)樣本平穩(wěn)性而進(jìn)行差分的次數(shù)）中和值后即可建立模型。再次，對(duì)模型進(jìn)行適應(yīng)性檢驗(yàn)，達(dá)到誤差要求后才可用于預(yù)測(cè)未來(lái)變量，否則需要重新進(jìn)行平穩(wěn)化處理或重新確定階數(shù)。ARIMA 建模和預(yù)測(cè)流程如圖1 所示。

圖1 ARIMA 預(yù)測(cè)建模流程

平穩(wěn)性檢驗(yàn)可以判斷特征樣本隱含的是確定性趨勢(shì)還是隨機(jī)趨勢(shì)（或者二者兼有）。主要方法有以檢驗(yàn)單位根為手段的笛基-福勒檢驗(yàn)（Dickey-Fuller 檢驗(yàn)）和以檢驗(yàn)誤差項(xiàng)自相關(guān)或異方差為手段的菲利普斯-佩隆檢驗(yàn)（Phillips-Perron 檢驗(yàn)）。在對(duì)模型進(jìn)行定階時(shí)，確定值和值的方法主要有自相關(guān)函數(shù)法、偏自相關(guān)函數(shù)法、赤池信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC 準(zhǔn)則）法和貝葉斯信息準(zhǔn)則（Bayesian Information Criterion，BIC 準(zhǔn)則）法；模型適應(yīng)性檢檢驗(yàn)的目的是評(píng)估建立的模型時(shí)間序列與樣本時(shí)間序列的相關(guān)性，評(píng)價(jià)手段是檢驗(yàn)擬合殘差項(xiàng){ε}是否為白噪聲。建立的模型建立的模型如果顯著有效，則表現(xiàn)為提取樣本中全部或接近全部相關(guān)信息后，殘差沒(méi)有相關(guān)性，即{ε}應(yīng)為白噪聲。通常會(huì)通過(guò)楊-博克斯Q 統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)（Ljung-Box Q Test，LBQ 檢驗(yàn)）來(lái)評(píng)估模型是否顯著有效。

2 實(shí)例應(yīng)用及分析

以某發(fā)動(dòng)機(jī)生產(chǎn)商1995—2017 年（共23 a）每季度的發(fā)動(dòng)機(jī)訂單為樣本，基于以上理論，使用MATLAB 軟件編制相關(guān)程序，建立ARIMA（，，）模型，并預(yù)測(cè)未來(lái)3 a（2018—2020 年）的季度訂單。

2.1 建立一般預(yù)測(cè)模型

通過(guò)Phillips-Perron 檢驗(yàn)對(duì)樣本進(jìn)行平穩(wěn)性檢測(cè)的方法如下：首先，用最小二乘法估計(jì)樣本回歸模型，得到參數(shù)估計(jì)和殘差序列。其次，利用殘差自相關(guān)中的信息計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z，如果Z滿(mǎn)足設(shè)定顯著性水平的限值，則認(rèn)為該樣本平穩(wěn)。在MATLAB 中調(diào)用pptest 函數(shù)進(jìn)行Phillips-Perron 檢驗(yàn)的程序語(yǔ)句為[h]=pptest（x,'model','AR'）。其中，（輸入?yún)?shù)）為檢驗(yàn)的序列，該文為發(fā)動(dòng)機(jī)訂單序列；'model','AR'為檢驗(yàn)的模型選用AR（自回歸）模型；（即輸出參數(shù)）為測(cè)試結(jié)果的布爾決策向量，當(dāng)=1 時(shí)，表示拒絕有單位根的假設(shè)，當(dāng)=0 時(shí)，表示不能接受原假設(shè)，即模型有單位根。

將實(shí)例樣本發(fā)動(dòng)機(jī)季度訂單序列作為語(yǔ)句中的量代入，得到=0，則該實(shí)例樣本不平穩(wěn)。因?yàn)閷?shí)例樣本為季度訂單，具有典型的季節(jié)性和趨勢(shì)性，所以首先，應(yīng)以=4 的步長(zhǎng)做1 次差分去除季節(jié)性。其次，以=1 的步長(zhǎng)再做1 次差分去除趨勢(shì)性。最后，對(duì)差分后的時(shí)間序列進(jìn)行同樣的檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果表明，該序列平穩(wěn)。

使用AIC 準(zhǔn)則對(duì)模型定階的基本原理是針對(duì)樣本時(shí)間序列建立 ARIMA 模型，用極大似然方法估計(jì)模型參數(shù)，不同的AR 階數(shù)（值）、MA 階數(shù)（值）組合會(huì)得到不同的殘差、方差的極大似然值，最小極大似然值對(duì)應(yīng)的階次即為最優(yōu)值、值。在該實(shí)例使用AIC 準(zhǔn)則時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定最高階次為4，在MATLAB 軟件中運(yùn)行AIC 準(zhǔn)則程序得到的AIC 定階數(shù)值分布熱度圖如圖2 所示。圖2 中的數(shù)值均為熱度值，深淺不同的顏色表示不同熱度。由圖2 可知，有2 組階數(shù)組合的最小極大似然值為1.641，取階數(shù)較小者，得到最佳自回歸階數(shù)（）=3，滑動(dòng)平均階數(shù)（）=3。

圖2 一般預(yù)測(cè)模型AIC 定階數(shù)值分布熱度圖

根據(jù)樣本平穩(wěn)化處理時(shí)所做的差分次數(shù)以及使用AIC法則定階時(shí)的（）階數(shù)、（）階數(shù)，可建立模型ARIMA（3，2，3）。然后用LBQ 檢驗(yàn)來(lái)評(píng)估模型是否顯著有效。在MATLAB 中調(diào)用 lbqtest 函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)的程序語(yǔ)句為[h]=lbqtest（reg,'Lags',1:4,'alpha',0.05）。其中，（輸入變量）為用于檢驗(yàn)的殘差序列；（輸入變量）為檢驗(yàn)的滯后項(xiàng)數(shù)目，這里分別取1、2、3 和4 共4 個(gè)項(xiàng)數(shù)；（輸入變量）為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，這里取0.05；（輸出變量）為檢驗(yàn)結(jié)果，因?yàn)闇箜?xiàng)數(shù)目是4，所以這里的測(cè)試次數(shù)為4 次。在每次得出的結(jié)果中，如果=1，則表示拒絕殘差無(wú)自相關(guān)的零假設(shè)，如果=0，則表示不拒絕殘差無(wú)自相關(guān)的零假設(shè)，即說(shuō)明殘差沒(méi)有自相關(guān)性。該模型的檢驗(yàn)結(jié)果顯示4 個(gè)項(xiàng)數(shù)均有=0，可知建立的模型顯著有效。

2.2 未來(lái)訂單預(yù)測(cè)及分析

基于第2.1.3 節(jié)建立的模型，可預(yù)測(cè)2018—2020 年的季度訂單數(shù)量。在MATLAB 軟件中調(diào)用forecast 函數(shù)預(yù)測(cè)未來(lái)訂單的程序語(yǔ)句為[Y,YMSE]=forecast(mdl,12,'Y0',x)。其中，mdl（輸入變量）為建立的ARIMA 模型，即預(yù)測(cè)的推理依據(jù)；12（輸入變量）為預(yù)測(cè)范圍，即預(yù)測(cè)未來(lái)12 個(gè)季度的訂單；'Y0'，意為前樣本響應(yīng)數(shù)據(jù)為，即數(shù)據(jù)初值為發(fā)動(dòng)機(jī)訂單序列；（輸出變量）為預(yù)測(cè)值，為的均值平方誤差。

運(yùn)行此程序得到的結(jié)果如圖3 所示（”預(yù)測(cè)訂單1“部分）。為了分析預(yù)測(cè)訂單趨勢(shì)和以往實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)訂單的變化趨勢(shì)，該文將1995—2017 年發(fā)動(dòng)機(jī)季度銷(xiāo)量繪制在同一圖中（即圖3“實(shí)際訂單”部分）。由圖3 可知，與實(shí)際訂單變化情況一樣，2018—2020 年的預(yù)測(cè)訂單逐年上升，且每年內(nèi)4 個(gè)季度的訂單也逐季上升，呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性。實(shí)際訂單與預(yù)測(cè)訂單的曲線變化趨勢(shì)的一致性較好。

圖3 發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際訂單與預(yù)測(cè)訂單曲線

2.3 季節(jié)性預(yù)測(cè)與一般預(yù)測(cè)模型建模效果的比較分析

第2.1 節(jié)和第2.2 節(jié)是根據(jù)ARIMA 模型的一般流程來(lái)建模并分析的，而文獻(xiàn)[6]給出了一種在MATLAB 中直接利用arima 函數(shù)中的“Seasonality”來(lái)建立季節(jié)性模型的方法。與傳統(tǒng)方法相比，這種方法更簡(jiǎn)潔，因?yàn)槠浔Ａ袅藰颖镜募竟?jié)性，所以建模時(shí)只需要進(jìn)行一次差分去除趨勢(shì)性即可。這種建模方法需要配合使用AIC 準(zhǔn)則來(lái)判斷最優(yōu)的（）階數(shù)和（）階數(shù)，方法同第2.1.2 節(jié)所述。在MATLAB 中調(diào)用ARIMA 函數(shù)建立模型的程序語(yǔ)句為model=arima('D',1,'Sea sonality',4,'SARLags',i,'SMALags',j)。

語(yǔ)句含義為根據(jù)括號(hào)內(nèi)設(shè)置的參數(shù)建立一個(gè)ARIMA 模型。其中，'D',1 意為差分次數(shù)是1；'Seasonality',4 意為季節(jié)差分滯后算子多項(xiàng)式程度是4；'SARLags',i,'SMALags',j 意為（）階數(shù)和（）階數(shù)分別為由AIC 準(zhǔn)則確定的最優(yōu)的值和值。

基于一階差分樣本得到的AIC 定階數(shù)值分布熱度如圖4所示。由圖4 可知，各組（）和（）組合對(duì)應(yīng)的極大似然值與樣本經(jīng)過(guò)2 次差分后得到的結(jié)果不同，最佳（）=4，（）=1，因此可建立模型ARIMA（4，1，1），并用LBQ 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐?，由檢驗(yàn)結(jié)果可知，該模型顯著有效。用該模型預(yù)測(cè)的2018—2020 年季度訂單數(shù)量如圖5 所示（“預(yù)測(cè)訂單 2”部分）。

圖4 季節(jié)性預(yù)測(cè)模型AIC 定階數(shù)值分布熱度圖

為分析模型可信度，該文將2018—2020 年實(shí)際的發(fā)動(dòng)機(jī)季度訂單與2 種建模方法所得的預(yù)測(cè)訂單進(jìn)行比較，繪制的變化曲線圖如圖5 所示。由圖5 可知，2 種方法所得的預(yù)測(cè)訂單都很好地跟隨了實(shí)際訂單的變化，且除2020 年第一季度外，季節(jié)性預(yù)測(cè)模型所得預(yù)測(cè)訂單均更接近實(shí)際訂單的變化。2 種方法所得的2020 年第一季度預(yù)測(cè)訂單與實(shí)際訂單的相對(duì)誤差分別為6.2%和9.3%，而其他季度的相對(duì)誤差均為0.9%～2.3%，誤差較小。整體分析預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相關(guān)性，在顯著性水平=0.05 的情況下，2 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果均有決定系數(shù)=0.89，在滿(mǎn)意范圍內(nèi)。

圖5 2018—2020 年預(yù)測(cè)訂單與實(shí)際訂單的比較

時(shí)間序列預(yù)測(cè)基于這樣一個(gè)假設(shè)：預(yù)測(cè)期與樣本采樣期的環(huán)境條件基本相同。而2020 年第一季度由于受新冠疫情影響，國(guó)內(nèi)外生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)環(huán)境嚴(yán)重惡化，樣本采樣公司當(dāng)季銷(xiāo)量同比增幅極小，而當(dāng)季的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值較大誤差為9.3%。

3 結(jié)論

為了滿(mǎn)足快速交付訂單的客戶(hù)需求，首先，該文研究了某公司1995—2017 年（共23 a）的發(fā)動(dòng)機(jī)銷(xiāo)量時(shí)間特性，選擇ARIMA 模型建立發(fā)動(dòng)機(jī)訂單預(yù)測(cè)模型。其次，分析了ARIMA模型適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的自回歸功能、滑動(dòng)平均功能和平穩(wěn)化處理特征，給出了訂單預(yù)測(cè)模型的建模步驟。再次，以某公司以往訂單為訓(xùn)練樣本，使用該模型預(yù)測(cè)了2018—2020 年3 a 的季度訂單，結(jié)果表明，預(yù)測(cè)訂單的變化曲線與以往實(shí)際銷(xiāo)售數(shù)量的變化曲線的一致性較好。從次，將2018—2020 年的預(yù)測(cè)訂單與實(shí)際訂單進(jìn)行比較，結(jié)果顯示兩者誤差較小，決定系數(shù)較高。最后，得出該文所建立的預(yù)測(cè)模型具有較高的可信度，可以對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)訂單進(jìn)行預(yù)測(cè)。