周期結(jié)構(gòu)帶阻尼項(xiàng)橢圓邊值問(wèn)題的雙尺度有限元誤差分析*

李志青, 李遠(yuǎn)飛, 張文彬

(廣州華商學(xué)院,廣東 廣州 511300)

近年來(lái),在科學(xué)和工程的計(jì)算領(lǐng)域中,復(fù)合材料的出現(xiàn)對(duì)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了極大的推動(dòng)作用.在新型復(fù)合材料的研發(fā)過(guò)程中,經(jīng)常需要對(duì)一些復(fù)合材料進(jìn)行等效性能評(píng)價(jià)分析,雙尺度方法和均勻化方法因此得到了發(fā)展[1-11].以上研究主要對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行了多尺度分析、均勻化分析、漸近分析以及雙尺度解和有限元解的誤差估計(jì).本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究周期結(jié)構(gòu)帶阻尼項(xiàng)橢圓邊值問(wèn)題,就其有效算法和近似算法展開(kāi)討論，利用均勻化方法及高階雙尺度方法對(duì)周期結(jié)構(gòu)帶阻尼項(xiàng)橢圓邊值問(wèn)題進(jìn)行了分析,給出了這類(lèi)方程的雙尺度漸近展開(kāi)式并分析雙尺度有限元解的誤差估計(jì),最后設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的有限元算法.

周期結(jié)構(gòu)帶阻尼項(xiàng)橢圓邊值問(wèn)題可以表示為

其中：

1)i、j、h、k=1,2,…,n.

2)?Ωε=Γε滿(mǎn)足Lipschitz邊界條件,并且Γε=?Ω∩εω,Ωε為與ε有關(guān)的小周期狀區(qū)域,其中ω為以1為周期的無(wú)界區(qū)域,Ω為Rn中的有界閉區(qū)域.

(2)

(3)

1 θε(x)的雙尺度漸近展開(kāi)式及均勻化方程

假設(shè)問(wèn)題(2)有如下的雙尺度形式漸近展開(kāi)式：

(4)

其中Hα1(ξ)、Hα1α2(ξ)、Hα1α2α3(ξ)、…在整個(gè)空間Rn上定義,它們?cè)诟鱾€(gè)方向是關(guān)于ξ為周期的標(biāo)量函數(shù),且可以在單位胞體Q上定解.

聯(lián)合(4)和(2),再由ε的任意性,通過(guò)計(jì)算并比較ε-1、ε0和ε1的兩邊系數(shù)及邊界條件可知

(5)

而θ0(x)是問(wèn)題(2)的均勻化解,滿(mǎn)足

(6)

其中：

(7)

(8)

2 uε(x)的雙尺度漸近展開(kāi)式及均勻化方程

問(wèn)題(3)的解uε(x)是與x、ξ和ε有關(guān)的函數(shù),假設(shè)uε(x)有如下的形式漸近展開(kāi)式：

(9)

其中，u0(x)是待定的充分光滑函數(shù);M0(ξ)、Mα1(ξ)、Nα1(ξ)、Nα1α2(ξ)、…為在Q上待定義的周期向量函數(shù)與周期矩陣函數(shù),它們?cè)诟鱾€(gè)方向是關(guān)于ξ為周期的函數(shù).

聯(lián)合(9)、(3)和(4),再由ε的任意性,通過(guò)計(jì)算并比較ε-1、ε0和ε1的兩邊系數(shù)及邊界條件可知

(10)

(11)

而u0(x)是問(wèn)題(3)的均勻化解,滿(mǎn)足

(12)

其中：

(13)

(14)

(15)

3 雙尺度有限元解構(gòu)造

在Q和Ω中,引入兩個(gè)函數(shù)空間：

ν={?|?∈H1(Q),?|?Q=0},

當(dāng)L≥1時(shí),uε(x)和θε(x)的L-階雙尺度漸近解定義為

一般地取L=1或2,因此可構(gòu)造(uε(x),θε(x))的L-階雙尺度近似解如下：

在實(shí)際數(shù)值計(jì)算中,用

(16)

的解近似代替均勻化解(u0(x),θ0(x))，其中：

(17)

4 有限元誤差估計(jì)

成立.特別當(dāng)L=1時(shí),有

定理2和定理3的證明類(lèi)似于定理1.根據(jù)上述理論推導(dǎo)，設(shè)計(jì)雙尺度有限元算法的計(jì)算過(guò)程如下:

(1)確定材料或區(qū)域?qū)傩?特別是小周期內(nèi)的各種材料的構(gòu)成；

(6)得到相應(yīng)的有限元誤差估計(jì)式.

5 小結(jié)