完全0-單半群上的共軛關(guān)系*

劉鑫， 陳輝， 王守峰

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 基本定義及引理

其中,當(dāng)a≠0時,

a～trb?(?ɡ,h∈S1)ɡhɡ=ɡ,hɡh=h,ɡaw+1h=bw+1,hɡ=aw,ɡh=bw.

由文獻(xiàn)[7]中的定理4.5,有以下結(jié)果:

引理1[7]設(shè)S是群界半群,a,b∈S.則a～trb當(dāng)且僅當(dāng)存在ɡ,h∈S1使得

aɡ=ɡb,bh=ha,ɡh=aw,hɡ=bw.

a～nb?(?ɡ,h∈S1)aɡ=ɡb,bh=ha,haɡ=b,ɡbh=a,

并指出這是一個等價關(guān)系.

眾所周知,完全0-單半群是一類重要的半群.1940年，Rees給出了這類半群的如下結(jié)構(gòu).

引理2[9]設(shè)G是群,I,Λ是非空集,P=(pλi)Λ×I是矩陣,pλi∈G0且P滿足正則條件

(?i∈I)(?λ∈Λ)pλi≠0;(?λ∈Λ)(?i∈I)pλi≠0.

在S=(I×G×Λ)∪{0}上定義運算

則S是完全0-單半群.記S=M0[G;I,Λ;P].反之,任意完全0-單半群均可如此構(gòu)造.

據(jù)文獻(xiàn)[9]的定理3.2.11及其證明，有下面的引理.

完全0-單的逆半群稱為Brandt半群.文獻(xiàn)[9]的定理5.1.8給出了Brandt半群的如下結(jié)構(gòu):

引理4[9]Brandt半群是且僅是M0[G;I,I;Δ]，其中Δ=[δij]為I×I矩陣且

e是G中的單位元.

對完全0-單半群上的共軛關(guān)系,據(jù)文獻(xiàn)[7]中的定理4.8,命題4.26及文獻(xiàn)[8]中的命題2.3,有以下結(jié)果.

2 主要結(jié)果

引理6設(shè)

則以下陳述等價:

(1) (i,a,λ)～n(j,b,μ);

(2)(i,a,λ)～c(j,b,μ);

(3) (i,a,λ)～p(j,b,μ);

(5) (i,a,λ)～tr(j,b,μ);

(6) (?c∈G)b=(cpμj)-1apλic.

證明由引理5,只需證明(5)蘊(yùn)含(6)和(6)蘊(yùn)含(1).

(i,a,λ)(k,c,v)=(k,c,v)(j,b,μ),(j,b,μ)(s,d,w)=(s,d,w)(i,a,λ),

由上述等式知

pvs≠0,pwk≠0,w=λ,v=μ,k=i,s=j,apλkc=cpvjb.

整理后可得b=(cpμj)-1apλic.

(i,a,λ)(i,c,μ)=(i,apλic,μ)=(i,cpμjb,μ)=(i,c,μ)(j,b,μ)，

類似可證

故(i,a,λ)～n(j,b,μ).

定理1在完全0-單半群S中，以下陳述成立:

(1)[0]n=[0]c={0}.

(2)若(i,a,λ)∈S且pλi=0，則[(i,a,λ)]n=[(i,a,λ)]c={(i,a,λ)}.

(3)若(i,a,λ)∈S且pλi≠0，則

證明(1) 由～n和～c的定義立得.

(i,a,λ)(k,c,v)=(k,c,v)(j,b,μ)，(j,b,μ)(s,d,w)=(s,d,w)(i,a,λ).

(3)由引理6可得.

由引理4和定理1可得以下結(jié)果.

推論1設(shè)S=M0[G;I,I;Δ]是Brandt半群.則以下陳述成立:

(1) [0]n=[0]c={0}.

(2)當(dāng)i≠λ時，[(i,a,λ)]n=[(i,a,λ)]c={(i,a,λ)}.

(3)對(i,a,i)∈S,[(i,a,i)]n=[(i,a,i)]c={(j,b,j)∈S|(?c∈G)b=c-1ac}.

特別地,當(dāng)S有限時,若|I|=m,|G|=t且G有r個共軛類,則S有1+t(m2-m)+r個～n-類和～c-類.

下面考察S上的～p*-類和～tr-類.

定理2在完全0-單半群S中,以下陳述成立:

(1)[0]p*=[0]tr={0}∪{(i,a,λ)|pλi=0}.

(2)若(i,a,λ)∈S且pλi≠0，則

證明(1)設(shè)(i,a,λ)∈S.若(i,a,λ)～tr0，則由引理1知存在(j,b,μ),(k,c,v)∈S使得

(i,a,λ)(j,b,μ)=(j,b,μ)0=0,(j,b,μ)(k,c,v)=(i,a,λ)w.

0(i,a,λ)=(i,a,λ)0=(i,a,λ)(i,a,λ)=0=0w=(i,a,λ)w.

由引理1知(i,a,λ)～tr0.故[0]tr={0}∪{(i,a,λ)|pλi=0}.設(shè)(i,a,λ)∈S，pλi=0.由矩陣P的正則條件知存在j∈I使得pλj≠0.于是

[0]p*=[0]tr={0}∪{(i,a,λ)|pλi=0}.

(2) 由引理6可得.

由引理4和定理2可得下面的結(jié)果.

推論2設(shè)S=M0[G;I,I;Δ]是Brandt半群.則以下陳述成立

(1) [0]p*=[0]tr={0}∪{(i,a,λ)|i≠λ}.

(2)對(i,a,i)∈S，則[(i,a,i)]p*=[(i,a,i)]tr={(j,b,j)∈S|(?c∈G)b=c-1ac}.

由定理1和定理2可得下述結(jié)果.