一類非本原傳遞置換群的塊*

李諾， 鄧奇， 張華

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言

置換群理論是群論中最古老的分支，目前被廣泛應(yīng)用于組合理論、圖論、編碼理論和計算機理論中.Wielandt、Dixon和Neuman等人對置換群的研究得到了許多優(yōu)秀成果.本原群在置換群論中處于核心地位，通常被認為是構(gòu)建一般置換群的基石.在20世紀，Burnside給出了本原群結(jié)構(gòu)的一個初步刻畫[1]，而后O′Nan和Scott獨立地對有限本原群的結(jié)構(gòu)做了更為具體的描述和刻畫，得到了關(guān)于有限本原群的結(jié)構(gòu)的O′Nan-Scott定理[2-3].在此之后,Liebeck、Praeger和Cameron等人對本原群的刻畫也取得了一些重要成果[4-9].相對于一般傳遞群，對本原群結(jié)構(gòu)的研究是比較透徹的.通常對一般置換群的研究可歸結(jié)為對傳遞置換群的研究，而對傳遞置換群的研究可以通過考慮其塊系轉(zhuǎn)化為對本原群的研究,因此對傳遞非本原群的塊系的研究是很有價值的工作.

設(shè)F是一個域，考慮一般線性群GL3(F)在三維向量空間F3上的右乘作用，此作用是非傳遞的，且有兩個軌道：{0}、F3{0}.群GL3(F)作用在F3{0}上傳遞，但非本原，故存在非平凡塊，本文算出G的非平凡塊，并確定G{Δ}在包含Δ塊系上的軌道.本文主要結(jié)果如定理1.

定理1設(shè)F是一個域，Ω是三維向量空間中全體非零向量構(gòu)成的集合，令G是域F上全體3×3階可逆矩陣構(gòu)成的群，即G=GL3(F).考慮G在Ω上的右乘作用ρ：ux:=ux(u∈Ω,x∈G),其中u是3維行向量.則

(1)此作用是傳遞且忠實的；

(2)集合Δ中包含Ω的所有前兩個分量為0的向量，即Δ是一個塊；

(3)G{Δ}在包含Δ的塊系上恰好有兩個軌道.

2 預(yù)備知識

涉及的一些置換群的基本概念和結(jié)果列舉如下，詳見[10].

定義1設(shè)Ω是一個非空集合，Ω中的元素稱為點，Ω到自身的一個雙射稱為Ω上的一個置換，Ω上的全體置換構(gòu)成的群稱為Ω上的對稱群，記為Sym(Ω).Ω上的對稱群的任意子群稱為Ω上的置換群.

定義2設(shè)G是一個群,Ω是一個非空集合，假設(shè)對?α∈Ω,?x∈G,按某種法則，存在Ω中唯一的點αx與之對應(yīng).定義G在Ω上的作用，如果

(1)α1=α,?α∈Ω,其中1表示G中的單位元；

(2)(αx)y=αxy,?α∈Ω,?x，y∈G.

也稱α被x作用后得到的結(jié)果為αx.

定義3設(shè)G是一個群，Ω是一個集合，G作用在Ω上，點α被G中的元素變動為其他的點αx,這些像構(gòu)成的集合稱為α在G下的軌道，記為αG:={αx|x∈G}.

群G作用在集合Ω上是傳遞的，如果αG=Ω,換句話說，即任意的點對α,β∈G,存在x∈Ω,使得αx=β.反之，則稱G是非傳遞的.

定義4設(shè)G在Ω上的作用是傳遞的，Ω中的非空集合Δ稱為塊，如果對?x∈G,有Δx=Δ或者Δx∩Δ=?.Δ=Ω是塊，對?α∈Ω,單元集{α}也是塊，這兩種塊稱為平凡塊；如果G還存在其他的塊，稱為非平凡塊.記∑={Δx|x∈G},稱∑為包含Δ的一個塊系.∑是Ω的一個分類.

定義5設(shè)群G傳遞作用在集合Ω上，群G是本原群，如果群G作用在集合Ω上沒有非平凡塊.否則稱G是傳遞非本原群.

定義6設(shè)群G傳遞作用在集合Ω上，Δ?Ω,Δ在G中的逐點穩(wěn)定子定義為

G(Δ):={x∈G|δx=δ,?δ∈Δ},

Δ在G中的集合穩(wěn)定子定義為

G{Δ}:={x∈G|Δx=Δ}.

3 定理1的證明

證明(1)令ρ:ux:=ux(u∈Ω,x∈G),先證G在Ω上傳遞.即證對?u=(u1,u2,u3)∈Ω,?v=(v1,v2,v3)∈Ω,存在G中的元x,使得ux=v.

取

w=(1,0,0)∈Ω,

其中xi和yi均為三維行向量，x1=(u1,u2,u3),x2的取法與x1線性無關(guān)，x3的取法與x1和x2均線性無關(guān)；y1=(v1,v2,v3),y2的取法與y1線性無關(guān)，y3的取法與y1和y2均線性無關(guān)，x和y是三階可逆矩陣.則有

因此w=ux-1=vy-1,故得到ux-1y=v,其中xy-1是三階可逆矩陣，即xy-1∈G.即對?u=(u1,u2,u3)∈Ω,?v=(v1,v2,v3)∈Ω,存在G中的元t=xy-1,使得ut=v,故G在Ω上的作用是傳遞的.

接下來考慮作用的核ker(ρ).

取u=(1,0,0)∈Ω,v=(0,1,0)∈Ω,w=(0,0,1)∈Ω,若x=(xij)∈ker(ρ),則有

ux=u,vx=v,wx=w,

那么

因此

故ker(ρ)=1,此作用是忠實的.

(2)設(shè)Δ是Ω中所有前兩個分量為0的向量構(gòu)成的集合.對

其中

C=(c1,c2),D=(d),A和D均為可逆矩陣，B和C任意.

下面將x分為兩種情況討論

綜上所述,對?x∈G,Δx=Δ或者Δx∩Δ=?,故Δ是非平凡塊.

(3)G{Δ}={x∈G|Δx=Δ},?u=(0,0,u3)∈Δ,?v=(0,0,v3)∈Δ,

令d=u3-1v∈F*,則有

ux=(0,0,v3)=v.

即對?u,v∈Δ,?x∈G{Δ},使得ux=v,故G{Δ}在Δ上傳遞.

下證G{Δ}在ΩΔ上傳遞.?u=(u1,u2,u3)∈ΩΔ,?v=(v1,v2,v3)∈ΩΔ,其中(u1,u2)≠(0,0),(v1,v2)≠(0,0).由(1)可知，存在可逆矩陣A,D,使得(u1,u2)A=(v1,v2),u3d=v3.

即對?u,v∈ΩΔ,?x∈G{Δ},使得ux=v,故G{Δ}在ΩΔ上傳遞.

綜上所述，G{Δ}在包含Δ的塊系上有兩個軌道.證畢.