基于復(fù)變函數(shù)理論的巷道圍巖穩(wěn)定性分析

王志強(qiáng)，黃 鑫，武 超，石 磊，蘇澤華

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 能源與礦業(yè)學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 共伴生能源精準(zhǔn)開(kāi)采北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；3.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 煤炭安全開(kāi)采與地質(zhì)保障國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，北京 100083)

0 引 言

我國(guó)煤礦已進(jìn)入深部開(kāi)采階段，部分礦井開(kāi)采深度已超千米，深礦井開(kāi)采，因其地壓大，巷道經(jīng)受較大的變形和破壞，造成的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失也隨之增加[1-2]，圍巖塑性區(qū)的確定是巷道支護(hù)參數(shù)選取以及巷道穩(wěn)定性評(píng)估的重要依據(jù)。孫廣忠[3]結(jié)合彈性解構(gòu)造應(yīng)力分量表達(dá)式，在軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力場(chǎng)塑性區(qū)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，得到圍巖塑性區(qū)的范圍；趙志強(qiáng)等[4-7]提出巷道“蝶形”破壞理論,為巷道圍巖塑性區(qū)的分布規(guī)律以及巷道支護(hù)提供了有力的依據(jù)；文獻(xiàn)[8-11]研究了兩向不等壓作用下圓形巷道圍巖的彈塑性問(wèn)題，在庫(kù)侖屈服條件下,用攝動(dòng)法給出彈塑性交界線(xiàn)的解析表達(dá)式；呂愛(ài)鐘等[12]基于Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則,解決了圓形隧洞在兩向不等壓地應(yīng)力作用下的塑性區(qū)確定問(wèn)題；張承客等[13]對(duì)硐室圍巖彈塑性邊界兩側(cè)分別采用復(fù)變函數(shù)理論和滑移線(xiàn)場(chǎng)理論得出彈性區(qū)和塑性區(qū)應(yīng)力組合表達(dá)式,根據(jù)彈塑性邊界上應(yīng)力相等得到邊界方程；袁文伯等[14]根據(jù)巖體應(yīng)變軟化的變形特性,建立了彈塑性軟化模型，分析了軟巖巷道圍巖塑性區(qū)和破碎區(qū)的力學(xué)性態(tài)，推導(dǎo)出比卡斯特納(Kastner)公式更符合實(shí)際、適用性更廣泛的塑性區(qū)半徑計(jì)算公式。文獻(xiàn)[15-21]利用復(fù)變函數(shù)方法獲得了Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則下非軸對(duì)稱(chēng)彈塑性問(wèn)題的近似解；董海龍等[22]以側(cè)壓系數(shù)為1的特例為基準(zhǔn),將依據(jù)近似隱式法得到的圍巖塑性區(qū)半徑與基于成熟軸對(duì)稱(chēng)平面應(yīng)變理論的相應(yīng)解析解進(jìn)行對(duì)比；巷道圍巖控制是礦井發(fā)展的基礎(chǔ)，大部分學(xué)者對(duì)雙向不等壓圓形巷道圍巖塑性區(qū)進(jìn)行研究，但出于成巷難易程度考慮，很多礦井采用直墻半圓拱形巷道，鮮有學(xué)者對(duì)其塑性邊界解問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的研究與探討。

基于此，筆者以數(shù)值模擬結(jié)果為參考，采用復(fù)變函數(shù)理論，對(duì)直墻半圓拱形巷道圍巖塑性區(qū)范圍展開(kāi)研究，以期為類(lèi)似礦井巷道的理論研究和實(shí)踐提供幫助。

1 巷道圍巖應(yīng)力復(fù)變函數(shù)解

復(fù)變函數(shù)解法在平面問(wèn)題中的孔口問(wèn)題中最有優(yōu)越性，其特點(diǎn)在于通過(guò)保角變換，根據(jù)映射函數(shù)將復(fù)雜孔口(例如巷道斷面常采用的拱形等非圓曲線(xiàn))在z平面上所占區(qū)域，變換成ζ平面上所謂“單位圓”，即孔口邊界變換為單位圓周界，有利于簡(jiǎn)化邊界條件，從而推導(dǎo)出孔口圍巖應(yīng)力的彈性解析式。由于ζ平面為極坐標(biāo)系，因此需將應(yīng)力的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為ζ的極坐標(biāo)函數(shù)。

根據(jù)彈性力學(xué)的極坐標(biāo)應(yīng)力變換公式得：

(1)

其中，η為z平面ρ軸與x軸的夾角，由式(1)得出：

(2)

令z=ω(ζ)，ζ為ζ平面內(nèi)單位圓邊界上任意一點(diǎn)，即ρ=1，ζ=ρ(cosθ+isinθ)=ρeiθ=eiθ，其中ρ、θ為點(diǎn)ζ關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)ζ=0的極坐標(biāo)，則：

cos 2η+isin 2η=e2iη=

(3)

即得到ζ平面極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式：

(4)

(5)

由彈性理論及復(fù)變函數(shù)理論可得：

(6)

(7)

令σ=ω(ζ)=eiθ，即σ為復(fù)變量ζ在巷道邊界的值，則得到φ0(ζ)、ψ0(ζ)表達(dá)的邊界條件，經(jīng)柯西積分公式計(jì)算后得到：

(8)

(9)

f0為σ的已知函數(shù)，其表達(dá)式為：

(10)

建立雙向不等壓直墻半圓拱形巷道受力模型如圖1所示。假設(shè)水平與豎直原巖應(yīng)力均勻分布，巷道z軸方向長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其他兩方向長(zhǎng)度，受力狀態(tài)不予考慮，且巷道的埋深足夠深，將此問(wèn)題簡(jiǎn)化為無(wú)限區(qū)域內(nèi)的平面應(yīng)變問(wèn)題。

圖1 直墻半圓拱形巷道力學(xué)模型

其保角映射函數(shù)為

(11)

其中對(duì)于本文問(wèn)題，R，ci都為實(shí)常數(shù)，正是要確定的量，在求解具體問(wèn)題時(shí)，ci只能為有限值，在本文研究中i的最大值取4。

結(jié)合本文研究具體問(wèn)題，聯(lián)立式(6)、式(7)、式(8)，應(yīng)用Harnack定理得：

(12)

將式(12)代入式(5)，可得：

(13)

cj1=-2δjcoskπ，

c1=c12+c22+c32-c11c21-(c11+c21)c31，

c2=c13+c23+c33+c11c22+

(c12-c11c21+c22)c31+c12c21+(c11+c21)c32，

c3=c14+c24+c34-c11c23-(c13+c23-c11c22+c12c21)c31+c12c22-c13c21+

(c21-c11c21+c22)c32-(c11+c21)c33

c4=c15+c25+c35+(c14+c24-c11c23+

c12c21-c13c21)c31+c12c22+c13c22+c14c21+

(c13+c23+c11c22+c12c21)c32+c11c24+

(c21-c11c21+c22)c33+(c11+c21)c34

令映射后的單位圓ρ=1，則ζ=eiθ=cosθ+isinθ，對(duì)于式(2)而言，由于巷道壁上σρ=0，則得σθ=4Re[Φ(ζ)]，代入式(13)，可以得出：

(14)

令

則得：

(15)

其中，

(16)

綜合式(11)、式(15)、式(16)，最終得到直墻半圓拱巷道周邊的切向應(yīng)力計(jì)算公式為

σθ=4ReΦ(ζ)=

(17)

2 巷道圍巖穩(wěn)定性力學(xué)分析

2.1 巷道圍巖極限平衡區(qū)計(jì)算

巷道開(kāi)挖之后，圍巖應(yīng)力重新分布，巷道內(nèi)部出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。其中當(dāng)應(yīng)力集中小于圍巖極限強(qiáng)度時(shí)，巷道圍巖處于彈性狀態(tài)；而當(dāng)應(yīng)力集中大于極限強(qiáng)度時(shí)，圍巖處于塑形狀態(tài)，甚至處于破裂松動(dòng)狀態(tài)。巷道處于雙向不等壓前提下，鉛垂方向巷道承載為σy，水平方向巷道承載為λσy，巷道承載如圖2所示。

圖2 巷道應(yīng)力狀態(tài)

根據(jù)極限平衡區(qū)內(nèi)的應(yīng)力平衡方程，可得：

(18)

其中，

(19)

式中，C為圍巖黏聚力；φ為圍巖內(nèi)摩擦角。

將式(19)代入(18)得到：

(20)

對(duì)上式進(jìn)行積分，得到：

(21)

(22)

當(dāng)r=R時(shí)，σr=0。代入上式，得：

(23)

將式(23)代回式(22)，得到：

(24)

(25)

結(jié)合式(17)和(25)可得：

(26)

通過(guò)上述分析可知，直墻拱形巷道圍巖的極限平衡區(qū)受到巷道寬度(2b)、直墻高度(H)、拱高(2h-H)、垂直應(yīng)力(σy)、側(cè)壓系數(shù)(λ)、黏聚力(C)以及內(nèi)摩擦角(φ)的影響。其中巷道圍巖的黏聚力和內(nèi)摩擦角可以通過(guò)巷道支護(hù)的方式來(lái)改變，也鑒于篇幅有限，此文僅對(duì)黏聚力和內(nèi)摩擦角的大小對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)范圍的影響進(jìn)行計(jì)算研究，為類(lèi)似工程提供理論支持。

2.2 巷道圍巖塑性區(qū)計(jì)算

2.2.1 黏聚力對(duì)塑性區(qū)的影響

計(jì)算參數(shù)取為：σy=10 MPa，a=1.5 m，λ=1.8，k=0.3，h=2 m，H=3.2 m。內(nèi)摩擦角取為30°，黏聚力分別取為1，3，5，7 MPa。運(yùn)用Mathcad對(duì)式(26)代入上述參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，采用單因素分析法改變黏聚力的大小所獲得的塑性區(qū)大小和形狀如圖3所示。

圖3 不同黏聚力塑性區(qū)大小和形狀

由圖3可以看出，黏聚力越小，塑性區(qū)范圍越大，并且在不同地應(yīng)力方向，巷道圍巖塑性破壞范圍的增幅有明顯的不同，在σy方向上的增大幅度較大，通過(guò)計(jì)算還可以發(fā)現(xiàn)，巷道頂板的塑性區(qū)范圍略小于巷道底板，而巷道兩幫的塑性區(qū)范圍呈對(duì)稱(chēng)分布的趨勢(shì)。

2.2.2 內(nèi)摩擦角對(duì)塑性區(qū)的影響

黏聚力取為1.5 MPa，內(nèi)摩擦角分別取為20°，30°，40°，50°，其他參數(shù)同2.2.1節(jié))。運(yùn)用Mathcad對(duì)式(26)代入?yún)?shù)進(jìn)行計(jì)算，所獲得的塑性區(qū)大小和形狀如圖4所示。

圖4 不同內(nèi)摩擦角塑性區(qū)大小和形狀

由圖4可以看出，內(nèi)摩擦角越大，塑性區(qū)的范圍越小，當(dāng)內(nèi)摩擦角比較小時(shí)，塑性區(qū)呈“X”形破壞，內(nèi)摩擦角比較大時(shí)，塑性區(qū)呈類(lèi)似于橢圓形破壞，隨著內(nèi)摩擦角的增大，巷道圍巖塑性破壞范圍的減幅有所減小，與黏聚力類(lèi)似的是，塑性區(qū)范圍在σy方向上的增大幅度較大。

3 算法的準(zhǔn)確性分析

3.1 數(shù)值模擬分析

為驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性，首先采用有限元軟件ANSYS建立三維模型，使用FLAC3D數(shù)值模擬軟件對(duì)直墻半圓拱形巷道周?chē)苄詤^(qū)分布進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，整個(gè)模型的長(zhǎng)×寬×高(X，Y，Z)為100 m×10 m×68.4 m，如圖5所示。

圖5 數(shù)值模擬模型

整體模型由223 440個(gè)單元和248 039個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，網(wǎng)格大小從巷道向外逐步增加，模擬采用摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)表1所示的力學(xué)參數(shù)對(duì)各分組進(jìn)行賦參。施加相應(yīng)豎直向下的壓力σy加載于模型頂部模擬未建覆巖重量，模型底部約束橫向和縱向位移，前后左右約束橫向位移。黏聚力和內(nèi)摩擦角按照2.2節(jié)進(jìn)行賦參，采用單因素分析法對(duì)模型分別賦以不同的黏聚力和內(nèi)摩擦角的大小，研究其對(duì)巷道塑性破壞范圍的影響。

表1 巖體力學(xué)強(qiáng)度參數(shù)

計(jì)算機(jī)一般將10-5視為0，因此，以塑性應(yīng)變等于10-5為基準(zhǔn)確定巷道圍巖塑性區(qū)邊界，得到數(shù)值模擬的不同黏聚力和不同內(nèi)摩擦角下圍巖塑性區(qū)的分布情況，如圖6所示和圖7所示。

圖6 黏聚力對(duì)塑性區(qū)的影響

圖7 內(nèi)摩擦角對(duì)塑性區(qū)的影響

由圖6和圖7可以看出，數(shù)值模擬的巷道塑性區(qū)形狀與理論計(jì)算基本一致，黏聚力和內(nèi)摩擦角比較小時(shí)，巷道四角塑性區(qū)快速發(fā)育，形成“X”形破壞，隨著黏聚力和內(nèi)摩擦角的增大，巷道呈現(xiàn)類(lèi)似于橢圓形破壞。

3.2 誤差分析

為了進(jìn)一步證明計(jì)算分析的準(zhǔn)確性，避免誤差分析的偶然性，采用單因素分析法，對(duì)理論計(jì)算和數(shù)值模擬與水平方向呈0°、30°、45°、60°以及90°時(shí)塑性區(qū)受黏聚力和內(nèi)摩擦角影響的范圍進(jìn)行對(duì)比和分析。

表2和表3中R1，R2分別表示理論計(jì)算法和數(shù)值模擬得到的塑性區(qū)范圍。

表2 不同黏聚力不同角度塑性區(qū)范圍

表3 不同內(nèi)摩擦角不同角度塑性區(qū)范圍

為了更直觀地分析不同黏聚力和內(nèi)摩擦角條件下理論計(jì)算和數(shù)值模擬的誤差，將其結(jié)果繪制于圖中，如圖8和圖9所示。

圖8 不同黏聚力塑性區(qū)

圖9 不同內(nèi)摩擦角塑性區(qū)

通過(guò)分析不同黏聚力和內(nèi)摩擦角對(duì)塑性區(qū)范圍的影響可以發(fā)現(xiàn)，本文算法與數(shù)值模擬的結(jié)果有一定的誤差，但已基本能反映直墻半圓拱形巷道圍巖塑性區(qū)分布情況。

4 結(jié) 論

1)以復(fù)變函數(shù)理論為基礎(chǔ)，建立雙向不等壓直墻半圓拱形巷道受力模型，對(duì)直墻半圓拱形巷道圍巖應(yīng)力復(fù)變函數(shù)解進(jìn)行解析。

2)對(duì)直墻半圓拱形巷道圍巖極限平衡區(qū)計(jì)算研究，相對(duì)準(zhǔn)確地給出了不同黏聚力和內(nèi)摩擦角條件下的塑性區(qū)范圍，可為相似條件下的巷道支護(hù)設(shè)計(jì)提供參考。

3)采用數(shù)值模擬的方法對(duì)不同黏聚力和內(nèi)摩擦角條件下的直墻半圓拱形巷道圍巖塑性區(qū)展開(kāi)研究，在黏聚力和內(nèi)摩擦角比較小時(shí)，巷道呈現(xiàn)“X”形破壞，黏聚力和內(nèi)摩擦角比較大時(shí)，巷道呈現(xiàn)類(lèi)似橢圓形破壞，并且當(dāng)水平應(yīng)力大于垂直應(yīng)力時(shí)，在垂直方向塑性區(qū)范圍變化幅度較大。

4)比較理論計(jì)算和數(shù)值模擬塑性區(qū)的大小和形狀，對(duì)此理論計(jì)算的方法進(jìn)行誤差分析，以此來(lái)驗(yàn)證理論計(jì)算的準(zhǔn)確性。