基于基線長(zhǎng)度加權(quán)的GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法*

韋永僧，賀凱飛，劉篤學(xué)，楊金權(quán)

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）海洋與空間信息學(xué)院 青島 266580）

引 言

采用全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)GNSS（Global Navigation Satellite System）獲取載體姿態(tài)信息的方法具有易于安裝、操作簡(jiǎn)便、成本低廉、精度恒定等一系列優(yōu)點(diǎn)，已在遠(yuǎn)海科學(xué)研究、空中攝影測(cè)量、陸地導(dǎo)航定位及地震學(xué)研究等眾多領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用[1-4]。根據(jù)姿態(tài)測(cè)量原理的不同，GNSS 姿態(tài)測(cè)量方法可以分為單天線姿態(tài)測(cè)量和多天線姿態(tài)測(cè)量，前者主要通過(guò)載體的速度及其加速度來(lái)獲得載體姿態(tài)信息[5-9]，后者主要通過(guò)解算基線矢量來(lái)獲取載體姿態(tài)信息[10]。與GNSS 單天線姿態(tài)測(cè)量方法相比，GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法可以提供穩(wěn)定的輸出結(jié)果，不受測(cè)量載體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的制約，并且可以靈活地應(yīng)用于各種各樣的測(cè)量載體上，具有廣泛的應(yīng)用前景。GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量可以概括為：求解同一基線在載體坐標(biāo)系和當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系。要獲得載體平臺(tái)的三維姿態(tài)信息，需要在載體上安置三根以上的GNSS 天線，并構(gòu)成兩條以上的非共線基線。

本文主要介紹了最小二乘姿態(tài)估計(jì)法的基本原理。由最小二乘法的原理可知，由于最小二乘姿態(tài)估計(jì)法未考慮基線間相對(duì)關(guān)系的問(wèn)題，若基線長(zhǎng)度差異顯著而賦予相同的權(quán)值將會(huì)導(dǎo)致載體的姿態(tài)測(cè)量精度受到一定的影響[11]，因此提出了一種基于基線加權(quán)的GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法。該方法考慮到基線長(zhǎng)度及其權(quán)值與基線解算精度的關(guān)系，對(duì)長(zhǎng)度不同的基線賦予不同的權(quán)值，再使用最小二乘迭代法進(jìn)行姿態(tài)測(cè)量。同時(shí)，為驗(yàn)證該加權(quán)最小二乘法用于姿態(tài)測(cè)量在精度提高方面的可行性，通過(guò)船載實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了等權(quán)最小二乘法與加權(quán)最小二乘法的解算結(jié)果的對(duì)比。

1 最小二乘姿態(tài)估計(jì)法基本原理

與GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法相比，GNSS 單天線姿態(tài)測(cè)量方法的基本原理簡(jiǎn)單，不需要對(duì)載波相位的整周模糊度進(jìn)行解算[12-14]，同時(shí)對(duì)于載體平臺(tái)的形狀、大小的要求相對(duì)不高，不需要增加額外的天線即可完成載體的姿態(tài)測(cè)量，可進(jìn)一步控制測(cè)量?jī)x器成本。但該方法也存在一定的缺陷，由于只能用到兩條基線信息，因此當(dāng)基線數(shù)大于兩條時(shí)，就無(wú)法利用冗余基線獲得最優(yōu)結(jié)果，從而影響姿態(tài)角的測(cè)量精度。因此針對(duì)此情況，通常采用GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法進(jìn)行載體姿態(tài)角信息的測(cè)量。

在GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量中，最為常用的方法包括直接解算法與最小二乘法。其中，直接解算法可以在只知道兩條基線在當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系中向量信息的有限條件下，求解出測(cè)量載體的三維姿態(tài)信息。基線矢量在不同坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

由上可知，在直接解算法中，沒(méi)有考慮基線在載體坐標(biāo)系和當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系中所包含的各類誤差。但在實(shí)際應(yīng)用中，由于人為原因和儀器原因等一系列因素的影響，基線在載體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量不能精確測(cè)出，因此認(rèn)為事先測(cè)定的基線在載體坐標(biāo)系中存在誤差。同時(shí)，由GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法所解算出的基線在當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系中也存在誤差，將兩個(gè)誤差帶入式（1）中可以得到：

對(duì)于式（2），目前通常采用最小二乘估計(jì)算法來(lái)對(duì)其進(jìn)行求解[3]。利用歐拉角來(lái)表示旋轉(zhuǎn)矩陣，可以得到式（2）關(guān)于歐拉角的觀測(cè)方程為：

可以看出，式（3）中的觀測(cè)方程為非線性方程，因此，首先需要對(duì)該觀測(cè)方程進(jìn)行線性化處理。

式（4）給出了每條基線的非線性方程：

該模型為標(biāo)準(zhǔn)的隱式最小二乘校正模型，假設(shè)姿態(tài)角初值為e0=［y0p0r0］，將式（5）中的方程在初始值位置展開(kāi)，進(jìn)行線性化可得：

式中，Mi表示設(shè)計(jì)矩陣，［ΔyΔpΔr］T表示姿態(tài)角改正數(shù)。

假設(shè)各基線間沒(méi)有相關(guān)性，由式（4）可以得到誤差歐拉角的最小二乘解為：

采用最小二乘法進(jìn)行姿態(tài)參數(shù)的解算，其步驟簡(jiǎn)要概括如下：

①設(shè)置三個(gè)歐拉姿態(tài)角的初值e0（可以通過(guò)直接解算法獲得），通過(guò)初值計(jì)算出初始旋轉(zhuǎn)矩陣0R、設(shè)計(jì)矩陣Mi以及觀測(cè)向量Wi（其中i=1,2,…,m表示基線數(shù)量）；

② 根據(jù)式（7）計(jì)算出三個(gè)歐拉姿態(tài)角的改正數(shù)Δe=［ΔyΔpΔr］；

③將步驟②計(jì)算得到的改正數(shù)與步驟①中的初始值相加對(duì)初值進(jìn)行更新，并重復(fù)步驟①、步驟②，直至e0收斂。

2 基線長(zhǎng)度加權(quán)的最小二乘估計(jì)原理

最小二乘法雖然考慮了基線在載體坐標(biāo)系和天線坐標(biāo)系中的誤差，但是忽略了每條基線之間的相對(duì)關(guān)系，即認(rèn)為每條基線是相互獨(dú)立的。此外，由于在測(cè)量過(guò)程中采用的觀測(cè)手段一致，通常從計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化的角度出發(fā)，將各基線的權(quán)值視為相等的，即賦予各條基線相同的權(quán)值后進(jìn)行解算。在基線長(zhǎng)度差距不明顯的條件下，由等權(quán)最小二乘法所解算的姿態(tài)角精度不會(huì)受到較大影響。然而在實(shí)際應(yīng)用中，利用GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法進(jìn)行姿態(tài)角的測(cè)量時(shí)，基線的長(zhǎng)度、載體平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、各條基線之間構(gòu)成的角度以及基線與載體坐標(biāo)系各個(gè)軸向之間的夾角等一系列因素都會(huì)對(duì)姿態(tài)測(cè)量的精度產(chǎn)生影響[15-17]。目前的研究結(jié)果表明，隨著基線長(zhǎng)度的增加，基線的解算精度隨之提高，進(jìn)而有利于提高姿態(tài)角的解算精度。

本文采用基線長(zhǎng)度作為權(quán)值，則式（7）可以表示為：

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證基線加權(quán)的GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量性能，設(shè)計(jì)了船載動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用實(shí)驗(yàn)船停靠在碼頭時(shí)（5 min）的數(shù)據(jù)，總計(jì)300 個(gè)歷元。首先采用載波相位觀測(cè)值獲取載體平臺(tái)上的天線相對(duì)位置矢量信息[18-20]，再通過(guò)最小二乘姿態(tài)估計(jì)方法以及基于基線加權(quán)的最小二乘姿態(tài)估計(jì)方法，分別解算載體平臺(tái)的姿態(tài)信息。

船載姿態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)于2020 年9 月26 日在威海市葡萄灘附近的海域展開(kāi)，本次實(shí)驗(yàn)采用了4 臺(tái)GNSS接收機(jī)，接收機(jī)的采樣率設(shè)置為1 Hz。其中兩臺(tái)接收機(jī)的型號(hào)為中海達(dá)iRTK2（分別設(shè)置為從天線2 與從天線3），另外兩臺(tái)接收機(jī)型號(hào)分別為Septentrio PolaRx5（設(shè)置為主天線）和Trimble NetR9（設(shè)置為從天線1），天線的布設(shè)如圖1 所示。其中，主天線到從天線1 的距離為2.46 m，主天線到從天線2 的距離為0.89 m，主天線到從天線3 的距離為2.59 m，使得各條基線的長(zhǎng)度存在較大差異。此外，實(shí)驗(yàn)船只上配備了高精度慣性導(dǎo)航設(shè)備，安置在船頭的位置，將其輸出的姿態(tài)角結(jié)果作為參考真值，將等權(quán)最小二乘法與加權(quán)最小二乘法所解算出的姿態(tài)角信息與其進(jìn)行對(duì)比分析，從而驗(yàn)證加權(quán)最小二乘法的姿態(tài)測(cè)量性能。

圖1 船載GNSS 天線及INS 布設(shè)圖Fig.1 Layout diagram of shipboard GNSS antenna and INS

當(dāng)實(shí)驗(yàn)船?？吭诖a頭時(shí)，實(shí)驗(yàn)船的姿態(tài)角變化平緩，且不存在較大的波動(dòng)，有利于后期的解算。將所獲取的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別采用等權(quán)最小二乘法和加權(quán)最小二乘法進(jìn)行姿態(tài)角解算，解算出的航向角、俯仰角、橫滾角信息分別如圖2、圖3 和圖4 所示。

圖2 航向角變化Fig.2 The estimate of yaw angle

圖3 俯仰角變化Fig.3 The estimate of pitch angle

圖4 橫滾角變化Fig.4 The estimate of roll angle

圖2～圖4 分別給出了采用等權(quán)最小二乘法與加權(quán)最小二乘法所解算的姿態(tài)角信息隨時(shí)間的變化關(guān)系。將其與高精度慣導(dǎo)設(shè)備所輸出的姿態(tài)角信息作為真值進(jìn)行比較。實(shí)際上，由于實(shí)驗(yàn)船只的排水量較小，即使停靠在港口時(shí)也會(huì)受到海面起伏的影響，而且由于實(shí)驗(yàn)船只的后半部分較重，使得實(shí)驗(yàn)船只的俯仰角不為零。由圖2 可知，由高精度慣導(dǎo)設(shè)備所測(cè)得的航向角的變化范圍為[140°,142.5°]，俯仰角的變化范圍為[-3.2°,0.2°]，橫滾角的變化范圍為[-0.2°,1.5°]。由圖2 至圖4 可知，測(cè)量誤差隨著姿態(tài)角變化的增大而增大。將解算出的航向角、俯仰角以及橫滾角信息與參考值相比較得到的殘差分別如圖5 和圖6 所示。

圖5 等權(quán)最小二乘法計(jì)算的航向角、俯仰角、橫滾角誤差Fig.5 Error of yaw,pitch and roll calculated by least squares estimation method

圖6 加權(quán)最小二乘估計(jì)法計(jì)算的航向角、俯仰角、橫滾角誤差Fig.6 Error of yaw,pitch and roll calculated by weighted least squares estimation method

由圖5 與圖6 可以看出，與等權(quán)最小二乘法相比，加權(quán)最小二乘法可以有效抑制俯仰角和橫滾角中的部分誤差（圖5 中紅色圓圈部分）。

為進(jìn)一步驗(yàn)證新方法在姿態(tài)角測(cè)量方面的誤差抑制作用，對(duì)兩種方法的解算姿態(tài)的精度進(jìn)行分析對(duì)比，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 不同解算方法計(jì)算姿態(tài)角的殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 1 Statistic results of attitude angles calculated by different solutions

由表1 可知，與高精度慣導(dǎo)設(shè)備所輸出的航向角、俯仰角、橫滾角信息相比，采用等權(quán)最小二乘法的誤差值標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.087 5°、0.239 3°和0.138 7°；而采用加權(quán)最小二乘法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.087 1°、0.236 4°和0.120 6°。

以姿態(tài)角的誤差標(biāo)準(zhǔn)差作為精度參考，加權(quán)最小二乘法解算出的航向角和俯仰角精度與等權(quán)最小二乘法基本一致，而橫滾角的精度提高了13 %。由于實(shí)驗(yàn)中采用了三條不同長(zhǎng)度的基線，基于基線長(zhǎng)度加權(quán)削弱了短基線高權(quán)值現(xiàn)象對(duì)解算結(jié)果的影響，從而使得載體姿態(tài)角的解算精度有所提高。

4 結(jié)束語(yǔ)

與常規(guī)的GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量方法相比，基于基線長(zhǎng)度加權(quán)的GNSS 多天線姿態(tài)測(cè)量由于考慮到了基線權(quán)值的影響，改善了因基線長(zhǎng)度差異顯著影響的基線解算精度的現(xiàn)象，提升了載體姿態(tài)的測(cè)量精度。在船載動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)基線長(zhǎng)度的差異顯著時(shí)，采用加權(quán)最小二乘法所解算的載體航向角、俯仰角以及橫滾角的精度有了一定的提高，尤其以橫滾角的精度提升最為明顯。