弱對角子群與有限群結(jié)構(gòu)

王雪影，申佳昕

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520；2.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

本文所討論的群均為有限群。如果群G 的兩個子群H 和K 滿足HK=KH，則稱子群H 和K 是可換的。1939 年，Ore［1］提出了置換子群的概念：設(shè)H 是G 的子群，如果對G 的任意子群K 都有HK=KH，則稱子群H 為G 的置換子群。隨后，在1962 年，Kegel［2］將置換子群的概念進(jìn)行推廣，提出s-置換子群的概念：如果對群G 的任意Sylow 子群P 都有HP=PH，則稱H 為G 的s-置換子群。顯然，置換子群一定是s-置換子群，反之不一定成立。

令D（G）=｛（g，g）│g∈G｝，W（G）=｛（g，g-1）│g∈G｝，顯然D（G）是G×G 的子群，我們稱D（G）為G×G 的對角子群，但是W（G）不一定構(gòu)成群。例如，令G=Q8=〈a，b│a4=1，a2=b2，ab=a-1〉，則

W（G）=｛（1，1），（a，a-1），（a2，a-2），（a3，a-3），（b，b-1），（ab，（ab）-1），（a2b，（a2b）-1），（a3b，（a3b）-1）｝。取子集W（G）中的元素（a，a-1）和（b，b-1），則會有（a，a-1）（b，b-1）=（ab，a-1b-1），顯然（ab，a-1b-1）?W（G），故此時W（G）不能構(gòu)成群。對于有限群G，易得到子集W（G）構(gòu)成群當(dāng)且僅當(dāng)G 為交換群。事實(shí)上，取G中的任意元素g1，g2，則有（g1，g1-1）（g2，g2-1）=（g1g2，g1-1g2-1）。要使（g1g2，g1-1g2-1）∈W（G）當(dāng)且僅當(dāng)g1-1g2-1=g2-1g1-1，即G 為交換群。取G 的任意交換子群M，則W（M）構(gòu)成群，此時稱W（M）為G×G 的一個弱對角子群。

喬守紅等［3］研究了對角子群對有限群結(jié)構(gòu)的影響，在此基礎(chǔ)上，本文主要研究弱對角子群的一些性質(zhì)和它的s-置換性，得到了一些有意思的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

引理1［4］設(shè)H 是G 的冪零子群，則下列事項(xiàng)等價：

（1）H 在G 中s-置換；

（2）H 的每個Sylow 子群在G 中s-置換；

（3）H 的每個特征子群在G 中s-置換。

引理2［5］設(shè)G 為有限群，H 是G 的子群，則H≤F（G）當(dāng)且僅當(dāng)H 是冪零群且H 在G 中次正規(guī)。

引理3［6］設(shè)G 為有限群，H 是G 的Hall 子群，且H??G，則H?G。

2 弱對角子群的性質(zhì)

定理1 設(shè)G 為有限群，M 為G 的交換子群，對任意的m∈M，則有：

（1）CG（m）×CG（m）=CG×G（〈（m，m-1）〉），特別地，CG×G（W（M））=（CG（M），CG（M））；

（2）NG×G（W（M））=CG（（M），1）·D（NG（M））=（1，CG（M））·D（NG（M））=（CG（M），CG（M））·D（NG（M））。

證明（1）因?yàn)镃G（m）=CG（m-1），所以有

任取（g1，g2）∈CG×G（〈（m，m-1）〉），則有

即

于是可以得到g1，g2∈CG（m）。因此

綜上可得

（2）任取（g1，g2）∈NG×G（W（M）），則可得到g1，g2∈NG（M）。對任意的m∈M，存在m1∈M，使得

也就是

因此可得到

顯然

綜上可得

對任意的（g3，g4）∈CG（M），g∈NG（M），則有

因此

定理2 設(shè)G 為有限群，則：

（1）若H 是C 的子集，W（G）·（1，H）是G×G 的一個子群，則H≤G。特別地，如果H?M，則H?M；

（2）若H1，H2是G 的兩個子集，W（G）·（H1，H2）和W（G）·（1，H1H2）是G×G 的兩個子群，則

證明（1）任取子集H 中的兩個元素h1和h2，則（1，h1），（1，h2）∈（1，H）。由W（G）·（1，H）是G×G 的子群，可知存在g∈G，h∈H，使得

從而有g(shù)=1，h1h2=g-1h=h，故h1h2∈H。因此H≤G。

（2）取（1，h1h2）為（1，H1H2）中的任意元素，其中h1∈H1，h2∈H2。則由

可知W（G）·（1，H1H2）≤W（G）·（H1H2）。同理可得W（G）·（H1，H2）≤W（G）·（1，H1H2）。證畢。

定理3 設(shè)G 為有限群，H 為G×G 的子群，且W（G）?H≤G×G，則存在G 的正規(guī)子群K 使得H=W（G）·（K，1）。

證明 首先證明

顯然W（G）·（G，1）?G×G。因?yàn)樽蛹疻（G）和子群（G，1）中都有│G│個元素，故只需證明W（G）·（G，1）中的元素表示唯一即可。假設(shè)存在G 中的元素w1，w2，g1，g2，使得

即（w2-1w1，w2w1-1）=（g2g1-1，1），故w2w1-1=1，所以有w1=w2且g1=g2。因此G×G=W（G）·（G，1）。同理可得G×G=W（G）·（1，G）。

因?yàn)镠 是G×G 的子群，故

取H 中的任意元素h，則存在元素g，w∈G 使得h=（w，w-1）（g，1）∈H。又因?yàn)椋╳，w-1）∈H，所以（g，1）∈H∩（G，1），因此

這可推出

顯然，W（G）·（H∩（G，1））?H。因此H=W（G）（H∩（G，1））。令H∩（G，1）=（K，1），其中K≤G，則H=W（G）·（K，1）。

已知W（G）?NG×G（（G，1））且W（G）?NG×G（H），所以有

又因?yàn)椋?，G）中心化（K，1），故

即

從而有（K，1）?G×G，因此K 是G 的正規(guī)子群。證畢。

定理4 設(shè)G 為有限群，M 為G 的交換子群，則下列事項(xiàng)等價：

（1）W（M）?G×G；

（2）M≤Z（G）；

（3）W（M）≤Z（G×G）。

證明 顯然，如果M≤Z（G）當(dāng)且僅當(dāng)W（M）≤Z（G×G），進(jìn)一步有W（M）?G×G。因此，我們只需證：若W（M）?G×G，則M≤Z（G）即可。

如果W（M）?G×G，則對任意的g∈G，m∈M，可得到（m，m-1）(1，g)屬于子群W（M），所以有m=（（m-1）g）-1，即mg=m。故M≤Z（G）。證畢。

定理5 設(shè)G 為有限群，若M 是G 的極大子群且是交換的，則W（M）?G×G 當(dāng)且僅當(dāng)G 為交換群。

證明 若W（M）?G×G，由定理4 可知M≤Z（G）。因?yàn)镸 是G 的極大子群，則Z（G）=M 或Z（G）=G。若Z（G）=M，則G/Z（G）=G/M≌Zp。因此G 為交換群，則推出Z（G）=G，矛盾。所以Z（G）=G，此時G 為交換群。證畢。

定理6 設(shè)G 為有限群，M 為G 的交換子群，則W（M）??G×G 當(dāng)且僅當(dāng)M≤F（G）。

證明 因?yàn)镸 為交換群，則M×M 為交換群，從而W（M）為冪零群。若W（M）??G×G，則由引理2可知W（M）≤F（G×G）＝F（G）×F（G）。故M≤F（G）。

假設(shè)M≤F（G），則M×M≤F（G）×F（G）＝F（G×G）。再一次用引理2 得M×M??G×G，又因?yàn)閃（M）?M×M，即W（M）??G×G。

3 弱對角子群的s-置換性

定理7 設(shè)G 為有限群，M 為G 的交換子群，且Mp∈Sylp（M）。若W（M）在G×G 中可置換，則：

（1）Op（G）≤CG（Mp）；

（2）M 正規(guī)化G 的每個子群。

證明（1）因?yàn)閃（M）在G×G 中可置換，所以W（M）在G×G 中s-置換。由M 是交換群可得W（M）是冪零群。任取Mp∈Sylp（M），由引理1 可知W（Mp）在G×G 中s-置換。因此，對任意的Q∈Sylq（G）（q≠p），并且我們知道W（Mp）·（Q，Q）是G×G 的一個子群。因?yàn)閃（Mp）是W（Mp）·（Q，Q）的Hall 子群，且W（Mp）??W（Mp）·（Q，Q），所以由引理3 得W（Mp）?W（Mp）·（Q，Q）。對任意的m∈Mp，n∈Q，存在m＇∈Mp，使得

即mn=m＇=m，從而有Q 中心化Mp，故可得

（2）設(shè)Gp∈Sylp（G），任取x∈Gp，由W（M）在G×G 中置換可知

任取xi∈＜x＞，m∈M，則存在xj∈＜x＞，m1∈M，使得（m，m-1）（1，xi）=（1，xj）（m1，（m1）-1），從而

即有xim=xj，因此M 正規(guī)化＜x＞。對任意的g∈G，有因?yàn)镸p中心化且Mp正規(guī)化＜g＞p，所以Mp正規(guī)化＜g＞。由g 的任意性可知，Mp正規(guī)化G 的每一個子群。由Mp的任意性且M 可由它的所有Sylow 子群生成知M 正規(guī)化G 的每個子群。證畢。

反之，若M 正規(guī)化G 的每個子群，我們不能推出W（M）的置換性，但對任意的H1，H2≤G，可得D（M）和W（M）置換H1×H2。并且由上述定理的證明過程可知，若條件減弱為W（Mp）在G×G 中s-置換，此時依然能夠得到Op（G）≤CG（Mp），并且這還是一個充要條件，于是有了下述定理。

定理8 設(shè)G 為有限群，M 是G 的交換子群，且Mp∈Sylp（M），則下列事項(xiàng)等價：

（1）W（M）在G×G 中s-置換；

（2）W（Mp）在G×G 中s-置換；

（3）Op（G）≤CG（Mp）。

證明 由M 是交換群可知W（M）是冪零群。通過引理1 可知W（M）在G×G 中s-置換當(dāng)且僅當(dāng)W（Mp）在G×G 中s-置換。根據(jù)定理7 的證明過程可知Op（G）≤CG（Mp）。因此我們只需證明：若Op（G）≤CG（Mp），則W（Mp）在G×G 中s-置換。

因?yàn)镸p?Op（G）Mp??G，故Mp??G。又因?yàn)镸p是冪零群，所以Mp≤F（G），進(jìn)而有Mp≤Op（G）。因此，Mp包含在G 的每個Sylow p-子群中。故對任意的P∈Sylp（G×G），有

又因?yàn)镺p（G）≤CG（Mp），因此W（Mp）在G×G 中s-置換。