自攻螺釘在膠合木中的拉拔破壞模型

方李靖，屈文俊，張盛東

(同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海 200092)

不同于我國傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)體系中常見的榫卯技術(shù)，采用工業(yè)化、標(biāo)準(zhǔn)化的力學(xué)緊固件對(duì)木構(gòu)件進(jìn)行連接，在現(xiàn)代木結(jié)構(gòu)體系中更為普遍。在各種類型的緊固件中，如果按照荷載作用方向與緊固件軸線方向之間的角度關(guān)系進(jìn)行大致分類，銷栓、螺栓和傳統(tǒng)螺釘?shù)阮愋偷木o固件在使用時(shí)主要考慮橫向受力，而膠植銷(glued-in dowel)、膠植桿(glued-in rod)、螺紋桿(threaded rod)和長自攻螺釘(long self-tapping screw)等類型的緊固件具有沿其軸線方向傳遞荷載的優(yōu)勢。未經(jīng)加強(qiáng)的常規(guī)銷栓連接或螺栓連接因轉(zhuǎn)動(dòng)剛度不足而常被視為鉸接，難以滿足重型木結(jié)構(gòu)體系中的框架結(jié)構(gòu)對(duì)剛性梁柱節(jié)點(diǎn)的要求。近年來，由于工藝水平的提升，具有足夠螺桿長度和螺紋硬度的螺釘?shù)靡悦媸?如圖1 所示)，螺釘連接在國外獲得了顯著的發(fā)展[1]。目前在工程中已經(jīng)出現(xiàn)的長度可達(dá)1000 mm 的自攻螺釘和幾乎可以做到任意長度的螺紋桿，為實(shí)現(xiàn)具有一定轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的梁柱節(jié)點(diǎn)提供了新的技術(shù)方案。文獻(xiàn)[2 - 4]展示出螺紋桿或自攻螺釘應(yīng)用于抗彎連接的研究，其中Ellingsb?等[2]設(shè)計(jì)的懸臂梁作為水輪機(jī)中螺旋槳的模型，需要高強(qiáng)度和高剛度的接頭傳遞葉片和發(fā)電機(jī)軸之間的剪力和彎矩，這是將螺紋桿應(yīng)用于高強(qiáng)抗彎節(jié)點(diǎn)的早期探索。Kasal 等[3]采用自攻螺釘連接的三維剛性節(jié)點(diǎn)制作了單層單跨的空間膠合木框架用于抵抗高地震激勵(lì)，通過試驗(yàn)研究論證了這種抗彎節(jié)點(diǎn)的可行性。Fang 等[4]對(duì)10 個(gè)長自攻螺釘連接的膠合木梁柱節(jié)點(diǎn)開展了足尺試驗(yàn)研究工作，通過一系列單調(diào)和循環(huán)加載試驗(yàn)初步評(píng)估了該類抗彎節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)性能。

圖1 螺釘長度(及其隱含的承載力)從傳統(tǒng)木螺釘?shù)阶怨ヂ葆數(shù)陌l(fā)展[1]Fig. 1 Development of screw length (and implicitly loadcarrying capacity) from traditional wood screws to self-tapping screws [1]

自攻螺釘是一種帶有螺紋的金屬緊固件，通過軋制或鍛造線材圍繞螺桿形成的連續(xù)螺紋在加工過程中經(jīng)歷了硬化處理，使得自攻螺釘在被擰入木構(gòu)件時(shí)能夠在預(yù)鉆孔的內(nèi)壁自行攻鉆出內(nèi)螺紋(如圖2(b)所示)，然后通過螺釘?shù)穆菁y與木材內(nèi)螺紋之間類似于螺紋副的緊密配合，形成一定程度上的機(jī)械咬合作用，從而實(shí)現(xiàn)緊固件對(duì)木構(gòu)件的連接。從連接的力學(xué)機(jī)制來看，本文將自攻螺釘和螺紋桿視為同種類型帶有螺紋的軸向緊固件；相較于膠植入類型的軸向緊固件[5-6]，兩者在施工過程中不再進(jìn)行注膠，連接的力學(xué)性能也不再涉及膠粘劑或膠粘層。

圖2 未發(fā)生拔出破壞的剖切試件Fig. 2 A cut specimen of the self-tapping screw without withdrawal failure

自攻螺釘在木材中的拉拔性能是影響螺釘連接力學(xué)性能的重要因素[7]，為了充分利用自攻螺釘?shù)妮S向受力優(yōu)勢，應(yīng)當(dāng)避免埋置在木材中的自攻螺釘發(fā)生拔出破壞，也就是說，對(duì)于這種緊固件的期望破壞模式是螺釘拉斷而不是螺釘拔出。研究軸向受力緊固件在木材中的拉拔性能有試驗(yàn)回歸[8-9]、數(shù)值仿真[10-11]和力學(xué)分析[12-17]等方法。試驗(yàn)研究通常會(huì)基于大量拉拔試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行回歸分析，提出自攻螺釘?shù)陌纬隽虬纬鰪?qiáng)度計(jì)算公式，以及對(duì)這類公式的進(jìn)一步調(diào)整和優(yōu)化，部分研究成果[8]已經(jīng)寫入相關(guān)規(guī)范(如Eurocode 5[18])或技術(shù)手冊(cè)。但回歸公式對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的依賴性較大，也難以對(duì)自攻螺釘?shù)陌纬銎茐臋C(jī)制進(jìn)行深刻揭示。數(shù)值方法可以在應(yīng)力-應(yīng)變層次上進(jìn)行精細(xì)化研究，但目前數(shù)值方法的準(zhǔn)確性未能獲得廣泛認(rèn)同的原因主要在于以下兩個(gè)方面：1)準(zhǔn)確表現(xiàn)木材本構(gòu)關(guān)系，特別是以表現(xiàn)剪切破壞為主要破壞準(zhǔn)則的損傷模型有待研究；2)在拉拔過程中，自攻螺釘與木材之間的受力與變形屬于典型的接觸問題，但接觸模型及其參數(shù)設(shè)置還缺乏可靠的資料。

需要指出，目前專門針對(duì)自攻螺釘和螺紋桿這種帶螺紋軸向緊固件的理論成果還比較有限，需要擴(kuò)展到包含膠植銷、膠植桿、某些專門設(shè)計(jì)的“Lagscrewbolt”和拉力螺釘?shù)仍趦?nèi)的軸向緊固件，才能對(duì)現(xiàn)有的理論成果進(jìn)行比較全面的評(píng)述和總結(jié)。絕大部分已知的拔出破壞力學(xué)模型[12-17]可以追溯至經(jīng)典的Volkersen 理論[12]，該理論最初用于分析搭接接頭中的鉚釘荷載分布。Jensen 等[13]針對(duì)軸向受力膠植銷提出的線彈性有限膠粘層剪切剛度計(jì)算方法與Volkersen 理論是相似的：假定全部剪切滑移變形發(fā)生在鋼銷和木材之間的膠粘層(bond line)，如圖3 所示，該膠粘層處于純剪狀態(tài)，剪應(yīng)力與剪切滑移為線彈性本構(gòu)關(guān)系；區(qū)分“拉-拉”、“拉-推”兩種加載方式，通過在最大剪應(yīng)力的位置令剪應(yīng)力達(dá)到剪切強(qiáng)度后可以獲得膠植銷的拔出破壞荷載。此后，多位學(xué)者對(duì)這一方法開展了持續(xù)的改進(jìn)，通過引入新的物理變量使其適用于其它類型的軸向受力緊固件。例如，Nakatani 等[14]將該方法應(yīng)用于Lagscrewbolt 緊固件，并采用厚度20 mm 的薄膠合木板進(jìn)行拉拔試驗(yàn)，用以確定計(jì)算公式中所需要的剪切剛度和剪切強(qiáng)度。Jensen 等[15]引入了平均應(yīng)力破壞準(zhǔn)則代替文獻(xiàn)[13]中的最大應(yīng)力破壞準(zhǔn)則。更重要的是，Jensen 等[16]還指出了因螺紋的存在使得剪應(yīng)力不能連續(xù)傳遞的力學(xué)現(xiàn)象，這是帶有螺紋的軸向緊固件與膠植入類型軸向緊固件在連接的力學(xué)機(jī)制方面存在的本質(zhì)區(qū)別。在上述成果的基礎(chǔ)上，Stamatopoulos 等[17]研究了螺紋桿在膠合木中的拉拔力，將Volkersen理論中剪切變形的區(qū)域擴(kuò)大為有限尺寸，并使用假定的木材有效受壓面積參與計(jì)算；剪切變形區(qū)域采用有下降段的雙折線本構(gòu)關(guān)系簡化該區(qū)域在實(shí)際受力情況中的非線性行為，引入無量綱斷裂長度參數(shù)以量化剪切變形區(qū)域中逐步進(jìn)入非彈性受力狀態(tài)的區(qū)域。

圖3 軸向受力膠植銷理論模型中微元體的平衡條件[13]Fig. 3 Equilibrium conditions for a small slice in the theoretical model for axially loaded glued-in hardwood dowels [13]

以上內(nèi)容簡要概述了木材中軸向受力緊固件拔出破壞荷載計(jì)算模型的流變過程?？梢钥闯?，用于研究軸向受力螺紋緊固件拉拔性能的理論模型仍然存在一定的缺陷。根據(jù)前述自攻螺釘在木材中自行攻絲并形成連接作用的原理，被擠壓在螺紋牙側(cè)和牙底的木材處于高度復(fù)雜的局部受力狀態(tài)，由于Volkersen 理論在本質(zhì)上不是針對(duì)這種機(jī)械咬合作用，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的調(diào)整和改進(jìn)并不能很好地體現(xiàn)出螺紋緊固件的特點(diǎn)。本文擬對(duì)經(jīng)典Volkersen 理論進(jìn)行重大改進(jìn)，首次提出一種引入了“裝配單元(assembly unit)”[19]的力學(xué)模型：根據(jù)拉拔試驗(yàn)現(xiàn)象重新定義自攻螺釘拔出時(shí)的木材破壞面，結(jié)合一定簡化條件截取出一種可以進(jìn)行整體總裝和零件拆解的裝配單元，通過對(duì)裝配單元進(jìn)行力學(xué)分析，研究自攻螺釘在膠合木中的拔出破壞機(jī)制。模型考慮到螺紋對(duì)木材破壞區(qū)域產(chǎn)生的影響，反映出木材的局部受力狀態(tài)和拔出破壞面上的剪應(yīng)力/剪力不連續(xù)傳遞現(xiàn)象；模型旨在解決自攻螺釘在膠合木中的錨固長度計(jì)算問題，避免自攻螺釘在應(yīng)用過程中發(fā)生拔出破壞。

1 自攻螺釘拉拔破壞模型

1.1 模型簡化

圖4 展示了自攻螺釘在軸向拉拔力作用下發(fā)生拔出破壞的典型試驗(yàn)現(xiàn)象。通過對(duì)環(huán)繞在螺釘外徑的木材破壞情況和隔斷在螺紋間距內(nèi)的木材破壞情況進(jìn)行觀察，可以認(rèn)為拔出破壞有以下兩個(gè)主要特點(diǎn)：1)拔出破壞主要是一種發(fā)生在木材中的剪切破壞(如圖4(a)所示)，拔出破壞面可以簡化為環(huán)繞螺釘外徑的圓柱面(如圖4(b)所示)；2)從圖4(c)中以螺紋間距為長度隨機(jī)脫落的木屑可以看出，發(fā)生剪切破壞的木材被螺紋切斷，拔出破壞面上沿螺釘桿軸方向的剪應(yīng)力/剪力不再連續(xù)地傳遞。

圖4 自攻螺釘拔出破壞的典型試驗(yàn)現(xiàn)象Fig. 4 Typical withdrawal failure phenomena of a selftapping screw in wood

基于上述特點(diǎn)，本節(jié)將對(duì)自攻螺釘拉拔破壞模型的建構(gòu)思路進(jìn)行可視化描述。力學(xué)模型擬先從螺釘桿軸與木材順紋之間為0°夾角，即自攻螺釘發(fā)生順紋拔出破壞這一簡單情況入手開展理論研究，再結(jié)合一定的經(jīng)驗(yàn)公式，將力學(xué)模型推廣到螺釘桿軸與木材順紋之間為多種夾角的情況。

自攻螺釘發(fā)生順紋拔出破壞的力學(xué)模型基于以下簡化條件：1)包裹螺桿的木材被視為橫觀各向同性材料，即忽略了木材在徑向和弦向的材性差異；2)螺釘?shù)膸缀翁卣餍枰M(jìn)行取舍，忽略螺紋的升角、牙型角α 和牙側(cè)角α1[20]，保留螺紋間距s和螺紋深度t(螺釘內(nèi)外半徑之差)；由于螺紋的存在，螺釘可視為一段變截面桿，如圖5 所示。符合上述條件后，自攻螺釘?shù)捻樇y拔出破壞可視為一個(gè)軸對(duì)稱問題，實(shí)際情況中復(fù)雜的三維問題可以簡化為一維問題，后文的力學(xué)分析將重點(diǎn)關(guān)注螺釘和木材沿桿軸方向的受力和變形。

圖5 螺釘幾何特征的簡化Fig. 5 Simplification of screw geometric characteristics

整全螺釘連同隔斷在螺紋間距內(nèi)的破壞木材如圖6(a)所示。以螺紋間距為單位長度，一個(gè)握裹破壞木材的整全螺釘經(jīng)過逐段“離散”處理后，從中截取的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)裝配單元如圖6(b)所示，該裝配單元將作為力學(xué)模型中的主要研究對(duì)象。進(jìn)一步對(duì)裝配單元進(jìn)行“拆解”，圖6(c)中從上到下的四個(gè)“零件”分別是金屬“頂蓋”(螺釘中螺桿連同螺紋的部分)、金屬螺桿(螺釘中不含螺紋的部分)、薄壁木圓管和金屬“底蓋”(螺釘中螺桿連同螺紋的部分)；后文在分析裝配單元內(nèi)部木材與螺釘?shù)奈灰萍s束和力學(xué)行為時(shí)，木圓管的外壁面(也即拔出破壞面)、木圓管其余三個(gè)面(與金屬零件緊密接觸)上的應(yīng)力/內(nèi)力將進(jìn)行必要的簡化，忽略次要因素，突出裝配單元中涉及到幾何特征(螺紋間距和螺紋深度)、材料信息(強(qiáng)度、彈性模量、剪切模量)等主要因素的影響。圖6(d)是沿徑向切開后的半個(gè)裝配單元，圖6(e)～圖6(f)是想象木圓管在變形前后的幾何形狀，認(rèn)為木材發(fā)生的剪切破壞與木圓管內(nèi)外壁的豎向錯(cuò)動(dòng)有關(guān)，開展具體分析時(shí)用木圓管徑切面的形狀改變來表現(xiàn)木材的剪切變形，如圖6(e)中紅線標(biāo)記的矩形徑切面(變形前)和圖6(f)中紅線標(biāo)記的非矩形徑切面(變形后)所示。

以上內(nèi)容是對(duì)圖6 中各個(gè)主要步驟的說明，力學(xué)模型的思路是分析一個(gè)握裹破壞木材的整全螺釘逐段離散，離散后的裝配單元再逐步拆解成多個(gè)零件的過程。與“離散”、“拆解”過程相對(duì)應(yīng)，多個(gè)零件可以逐步“部裝(component assembly)”成裝配單元，再由裝配單元逐段“總裝(final assembly)”，重新成為一個(gè)可以傳遞豎向拉力的整全模型。在機(jī)械裝配工藝中，這一過程就是裝配過程，即通過合理的工藝流程，將一組零件按照規(guī)定的技術(shù)要求組合起來，形成具有特定功能的產(chǎn)品。但需要指出，在實(shí)際的裝配過程中，像螺釘這樣的緊固件通常被視為零件，作為裝配件或最終產(chǎn)品中最基本的元件；而在本文中，由于研究對(duì)象的原因，自攻螺釘及其握裹的破壞木材成為了最后的裝配件。為了簡潔和方便起見，下文在對(duì)力學(xué)模型進(jìn)行具體討論時(shí)，其推演的過程模仿了一個(gè)裝配過程，遵循零件(part)→裝配單元(assembly unit)→裝配件(assembly)的基本流程。

圖6 整全模型的離散與拆解過程Fig. 6 Discreteness and disassembly process of a whole model

1.2 理論推導(dǎo)

根據(jù)1.1 節(jié)的建模思路，鋼/木零件的變形、裝配單元的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、部裝與總裝過程，分別如圖7、圖8、圖9 所示；圖中各種符號(hào)和后續(xù)演算過程涉及的符號(hào)，及其所表示的物理意義匯總?cè)绫? 所示。

表1 力學(xué)模型的符號(hào)及其物理意義Table 1 Symbols and their physical meanings in the model

圖7 裝配單元中木圓管和螺桿的變形Fig. 7 Deformations of the wood tube and the screw rod in an assembly unit

圖8 裝配單元的內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig. 8 Internal structure of an assembly unit

圖9 部裝和總裝過程Fig. 9 Component assembly and final assembly process

圖7 是一個(gè)裝配單元中鋼/木零件變形前后的示意圖。圖7(a)、圖7(b)中分別用紅線標(biāo)記了木圓管在變形前的矩形徑切面和變形后的非矩形徑切面，圖7(c)、圖7(d)分別是裝配單元在變形前后的徑切面，表明了真實(shí)情況下的鋼/木零件之間，即頂蓋、螺桿和底蓋三個(gè)金屬零件分別對(duì)木圓管的上端橫截面、內(nèi)壁面和下端橫截面形成了剛性位移約束。為了具體地研究木圓管徑切面的形狀改變和螺桿的拉伸變形，在裝配單元中沿著螺桿軸線方向y(0≤y≤s)對(duì)木圓管的內(nèi)外壁面和螺桿劃分節(jié)點(diǎn)，如圖7(c)～圖7(f)中的紅色圓點(diǎn)所示。研究鋼/木零件沿著螺桿軸線方向上的受力和變形時(shí)，假定螺桿拉伸位移us(y)和木圓管外壁面縱向纖維的壓縮位移uwσ(y)是且僅是y的函數(shù)。由于木圓管的壁厚t遠(yuǎn)小于螺釘?shù)膬?nèi)徑d1，可以假定在t范圍內(nèi)木材縱向纖維的壓縮位移沿徑向呈線性變化，變形前，相同高度處的節(jié)點(diǎn)之間用假想的水平直線進(jìn)行連接，如圖7(c)、圖7(e)中的黑色水平直線所示；變形后，這些水平直線因發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)γ(y)變成了一組傾斜直線，如圖7(d)、圖7(f)中的黑色傾斜直線所示。螺桿發(fā)生拉伸變形，因此直線在變形前后均保持水平，只是直線之間的間距發(fā)生了改變。

在螺紋間距s的長度范圍內(nèi)，一個(gè)裝配單元的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖8 所示。為了方便起見，頂蓋的上端面和底蓋的下端面分別考慮拉力F1、F2。螺桿傳遞豎向拉力并產(chǎn)生拉伸位移，螺桿橫截面上均勻分布受拉應(yīng)力σs(y)。包裹螺桿的木材是一段內(nèi)徑、外徑、長度和壁厚分別是d1、d、s、t的木圓管，有四個(gè)接觸/邊界條件：由于鋼木彈性模量差異較大，頂、底蓋的螺紋部分對(duì)木圓管的上(y=s)、下(y=0)端橫截面形成了剛性位移約束；螺桿圓柱面對(duì)木圓管的內(nèi)壁面也形成了剛性位移約束，木圓管內(nèi)壁面與螺桿圓柱面之間主要考慮豎向摩擦力q(y)；木圓管外壁面縱向纖維的受壓應(yīng)力是σw(y)，木圓管的外壁面同時(shí)也是木材拔出破壞面，取自拉拔試件中的木塊整體，該拔出破壞面上主要考慮豎向剪應(yīng)力τ(y)。圖8 中，y=0 處有木圓管外壁面縱向纖維受壓應(yīng)力σw2(即σw在y=0 處的值)，由于木圓管的壁厚t遠(yuǎn)小于螺釘?shù)膬?nèi)徑d1，用σw2×Aw表示木材在y=0 處的壓應(yīng)力合力(即木圓管下端橫截面的壓應(yīng)力合力)，σs2×As表示螺桿部分在y=0 處的拉應(yīng)力合力；類似地，σw1×Aw表示木材在y=s處的壓應(yīng)力合力(即木圓管上端橫截面的壓應(yīng)力合力)，σs1×As表示螺桿部分在y=s處的拉應(yīng)力合力。在y=s處，可以通過頂蓋的豎向平衡方程求解豎向力F1。在木圓管外壁面上，通過剪應(yīng)力τ(y)的積分運(yùn)算可以合成該破壞面上的剪應(yīng)力合力Q。在一個(gè)裝配單元中，F(xiàn)1、Q、F2三個(gè)力同樣需要滿足豎向平衡條件。

當(dāng)四個(gè)零件部裝好一個(gè)裝配單元，也即構(gòu)成了一個(gè)豎向傳力單元后(如圖9 左所示)，F(xiàn)1表示由上一個(gè)裝配單元i-1 傳遞而來的拉力，F(xiàn)2則表示經(jīng)過當(dāng)前裝配單元i的剪力Q作用后將要向下一個(gè)裝配單元i+1 傳遞的拉力。由此可見，通過N-1 個(gè)裝配單元之間F1、Q、F2的豎向傳力行為，就能實(shí)現(xiàn)從裝配單元到整全模型的總裝過程(如圖9 右所示)。

由于鋼材相對(duì)于木材構(gòu)成了剛性位移約束，假定木圓管內(nèi)壁面的縱向纖維與螺桿圓柱面之間無相對(duì)滑移，其位移值等于螺桿的拉伸位移us(y)，木圓管外壁面的縱向纖維受壓產(chǎn)生壓縮位移uwσ(y)，如圖7(f)所示，則木圓管內(nèi)外壁因縱向纖維的拉伸和壓縮產(chǎn)生了豎向位移差值 (us-uwσ)，在小角度的情況下，該差值 (us-uwσ)與壁厚t的比值就是在定義木圓管外壁面上某一點(diǎn)的“直角改變量”，可視為該點(diǎn)的剪切變形；與此同時(shí)，木圓管的外壁面就是木材拔出破壞面，其剪應(yīng)變可以通過彈性力學(xué)中剪應(yīng)力與剪切模量之間的虎克定律加以確定。因此，根據(jù)“木圓管的內(nèi)壁面與螺桿之間無相對(duì)滑移”這一位移約束假定，和采用“變形前的水平直線在變形后因發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)γ(y)成為傾斜直線”來表現(xiàn)木材的剪切變形，式(1)給出了裝配單元的控制微分方程，對(duì)式(1)中的變量y進(jìn)行兩次微分運(yùn)算：

圖10 微元體豎向平衡圖Fig. 10 Vertical static equilibrium of an infinitesimal small slice

下文按照式(11)的情況對(duì)力學(xué)模型進(jìn)行具體討論，式(12)的情況與此類似，不再贅述。式(11)是基于上述一系列假定和簡化后得出的裝配單元拔出破壞面上剪應(yīng)力沿高度y的分布函數(shù)，如果要完全確定該剪應(yīng)力的分布情況，還需結(jié)合相應(yīng)的條件確定a、b、λ 三個(gè)待定系數(shù)，也就是求解出微分方程式(9)的特解。

考慮到式(11)中τ(y)的指數(shù)函數(shù)形式，微分方程式(1)的等號(hào)左邊也只存在簡單的加減法運(yùn)算，將螺桿拉伸位移的方程形式也假定為含待定系數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式，如式(13)所示，其中l(wèi)a是螺桿拉伸位移函數(shù)中用來調(diào)節(jié)裝配單元中螺桿的受拉位移且與螺桿高度y無關(guān)的常數(shù)，為了使相鄰的兩個(gè)單元在總裝過程中保持螺釘位移的連貫和協(xié)調(diào)，且不會(huì)對(duì)后續(xù)關(guān)于應(yīng)力的微分運(yùn)算造成不便。與此對(duì)應(yīng)的是木材壓縮位移中也多了此項(xiàng)內(nèi)容，因?yàn)楹罄m(xù)與這兩個(gè)位移函數(shù)相關(guān)的運(yùn)算主要是微分運(yùn)算，這樣的處理方法不會(huì)在微分方程的求解中制造過多的待定系數(shù)?，F(xiàn)將與τ(y)、us(y)、uwσ(y)有關(guān)的微分和積分運(yùn)算整理如式(14)～式(16)所示，求解需要進(jìn)入下一步計(jì)算流程的重要物理量：裝配單元拔出破壞面上的剪力Q、螺桿受拉應(yīng)力σs、木圓管外壁面縱向纖維的受壓應(yīng)力σw、木圓管內(nèi)壁面與螺桿圓柱面之間的摩擦力q。

引入新的比例系數(shù)k，使得a、b、m、n這4 個(gè)待定系數(shù)可簡化為僅含2 個(gè)獨(dú)立系數(shù)a、k的表達(dá)式：

可以認(rèn)為，裝配單元的受力和變形都可以用微分方程式(7)加以描述，各裝配單元之間的區(qū)別在于，因傳遞的拉力F1i值各不相同，單元中各個(gè)零件的應(yīng)力狀態(tài)也不相同。對(duì)于第i個(gè)裝配單元來說，微分方程的特解現(xiàn)在只需要兩個(gè)獨(dú)立條件確定全部待定系數(shù)，故采用裝配單元的當(dāng)前受力狀態(tài)來確定微分方程的特解。

由于拉力在螺釘中可以連續(xù)傳遞，在裝配單元的總裝過程中，當(dāng)前裝配單元i將要傳遞的拉力F1i等于上一個(gè)裝配單元i-1 經(jīng)過木圓管外壁面上剪應(yīng)力合力Qi-1的作用后剩余的拉力F2i-1，這將作為確定方程待定系數(shù)的第一個(gè)條件；另一方面，必須假定木材在拔出破壞時(shí)刻的應(yīng)力狀態(tài)，因?yàn)椴捎眠@一條件可以區(qū)分結(jié)構(gòu)正常工作狀態(tài)和發(fā)生拔出破壞的臨界狀態(tài)。從圖11 可以看出，在木圓管的外壁面上，y=0 的位置是螺紋邊緣與木材的接觸區(qū)域，處于應(yīng)力非常復(fù)雜和高度集中的狀態(tài)，是木圓管外壁面上受力極其不利的位置。在每個(gè)裝配單元中，木圓管從這個(gè)位置開始被切壞，剪切裂縫沿著管壁高度逐漸擴(kuò)展，并在多個(gè)裝配單元中逐漸貫通，直至某一時(shí)刻發(fā)生螺釘?shù)陌纬銎茐?。因此，假定螺釘在發(fā)生拔出破壞時(shí)，每個(gè)裝配單元中至少有y=0 處的木材剪應(yīng)力達(dá)到了木材的順紋剪切強(qiáng)度fv,0。這兩個(gè)條件的物理意義在于，拉力在自攻螺釘中可以連續(xù)傳遞，而剪應(yīng)力/剪力在木材破壞面上的傳遞被螺紋隔斷在每段螺距中，剪切破壞發(fā)生時(shí)，至少有y=0 處的木材剪應(yīng)力達(dá)到了剪切強(qiáng)度。

圖11 木圓管外壁面上最不利位置處的剪應(yīng)力狀態(tài)和裂縫擴(kuò)展情況Fig. 11 Shear stress of the most unfavorable position and crack propagation on the outer wall of wood tube

在某種程度上，可以認(rèn)為經(jīng)典Volkersen 方法是在螺釘?shù)穆裰瞄L度范圍內(nèi)假定剪應(yīng)力的分布情況，在描述拔出破壞狀態(tài)時(shí)，采用最大剪應(yīng)力破壞準(zhǔn)則的模型如Jensen 等[13]實(shí)際上是假定在剪應(yīng)力的最大位置處，剪應(yīng)力達(dá)到了木材的剪切強(qiáng)度。但從拉拔試驗(yàn)現(xiàn)象來看，由于木屑的脫落位置是一種隨機(jī)現(xiàn)象，參見圖4(c)，如果說它們代表了拔出破壞面上最為薄弱的位置，螺釘發(fā)生拔出破壞時(shí)最不利位置的判斷其實(shí)有待商榷。本文所建立的力學(xué)模型，一方面是為了體現(xiàn)木材的局部受力狀態(tài)和拔出破壞面上的剪應(yīng)力/剪力不連續(xù)傳遞現(xiàn)象，另一方面也是一種按照螺紋間距進(jìn)行分段處理后，在較短的長度范圍內(nèi)考慮剪應(yīng)力分布情況的分析方案，通過選定出螺釘?shù)囊恍┨厥馕恢?，即每個(gè)裝配單元中的最不利位置，采用最大剪應(yīng)力破壞準(zhǔn)則。

以上的推演過程基于螺釘桿軸與木材順紋之間為0°夾角的情況，這是為了嚴(yán)格滿足軸對(duì)稱問題的條件，并突顯出拔出破壞時(shí)的剪切破壞特征。為了將力學(xué)模型從0°夾角向更一般的θ°夾角進(jìn)行簡單地?cái)U(kuò)展，這里將夾角問題視為木材的斜紋受力問題(如圖11(c)所示)，將0°夾角力學(xué)模型中木材的材料性能參數(shù)用斜紋公式進(jìn)行計(jì)算，以木材的彈性模量為例：

式(24)參見文獻(xiàn)[17]，也就是說，木材的斜紋材料性能可以表示為木材順紋和橫紋兩個(gè)方向上材料性能的函數(shù)關(guān)系。顯然，式(24)的形式來源于經(jīng)典的Hankinson 公式[21]。

就木材的剪切強(qiáng)度而言，現(xiàn)階段關(guān)于斜紋受力和變形的資料還不多見。圖11(a)表現(xiàn)了木材發(fā)生順紋剪切后裂縫平行于順紋的擴(kuò)展，以及圖11(e)、圖11(f)表現(xiàn)了木材發(fā)生橫紋剪切后裂縫先是垂直于木紋擴(kuò)展然后在平行于順紋的裂縫面上釋放能量的情況。由于這部分內(nèi)容暫時(shí)超出了本文的研究范圍，現(xiàn)階段的力學(xué)模型嘗試了一種基于調(diào)試系數(shù)ktrial的經(jīng)驗(yàn)法進(jìn)行試算和反演。

參考Hankinson 公式[21]和式(24)[17]的形式，采用式(25)計(jì)算木材的斜紋剪切強(qiáng)度，其中調(diào)試系數(shù)ktrial是木材在順紋和橫紋兩個(gè)方向上剪切強(qiáng)度的比值。選擇拉拔試驗(yàn)中90°夾角的測試組進(jìn)行標(biāo)定，將ktrial的值取為0.3～0.9 范圍內(nèi)且增量為0.1 的試算值，代入式(25)后，由力學(xué)模型的程序自動(dòng)計(jì)算出每個(gè)試算值下破壞荷載與埋置長度的關(guān)系曲線，然后從各條曲線中選出與90°夾角測試組的試驗(yàn)數(shù)據(jù)最為接近的那一條，其對(duì)應(yīng)的試算值就是ktrial的值。換言之，如果能通過材料試驗(yàn)或其它方法獲得木材的橫紋剪切強(qiáng)度代入式(25)的右邊，力學(xué)模型就不必引入調(diào)試系數(shù)ktrial。但目前的困難在于，木材剪切強(qiáng)度在橫紋方向上的物理意義及其測試方法還有待研究。

至此，描述自攻螺釘在膠合木中發(fā)生拔出破壞的力學(xué)模型已詳細(xì)介紹完畢。

1.3 算法設(shè)計(jì)

基于1.2 節(jié)的公式推導(dǎo)，可以借助相應(yīng)的計(jì)算程序來實(shí)現(xiàn)裝配過程。力學(xué)模型的算法流程圖如圖12 所示，式(27)、式(28)給出了相鄰兩個(gè)裝配單元的算法核心。

圖12 算法流程圖Fig. 12 Flow chart of algorithm

當(dāng)i=1 時(shí)，第1 個(gè)裝配單元的F1就是拉拔試驗(yàn)中施加在螺釘上的拉拔力P，輸入已知的拉拔力P和y=0 處的剪應(yīng)力fv,θ，第1 個(gè)裝配單元的待定系數(shù)a、k、λ 就可以完全確定，并可以求解出第1 個(gè)裝配單元的Q和F2。當(dāng)i=2 時(shí)，從第1 個(gè)裝配單元中求解的F2傳遞至第2 個(gè)裝配單元的F1，就可以同樣的方法建立起第2 個(gè)裝配單元的計(jì)算格式。以此類推到第i個(gè)裝配單元，拉拔力P就可以不斷地進(jìn)行豎向傳遞，當(dāng)?shù)贜個(gè)裝配單元的F2≤0 時(shí)計(jì)算終止，也即意味著總裝過程的結(jié)束，其物理意義是指拉拔力P和N個(gè)裝配單元的傳力行為共同完成了一個(gè)豎向拉力的平衡過程，在這個(gè)過程中，裝配單元不可能傳遞豎向壓力。

采用C 語言編寫計(jì)算程序時(shí)，上述過程可寫入一個(gè)循環(huán)體，N既是程序中的循環(huán)控制變量，其物理意義也是指在拉拔力P的作用下一個(gè)整全自攻螺釘發(fā)生拔出破壞時(shí)所需裝配單元的有效數(shù)量，令：

力學(xué)模型的算法在本質(zhì)上是一個(gè)裝配單元不斷地進(jìn)行自我更新和迭代，最后通過輸出循環(huán)變量，也就是迭代次數(shù)，由式(26)換算成全部長度總裝完畢的整體模型。因此，裝配單元雖然是力學(xué)分析中的隔離體，但在對(duì)整全模型進(jìn)行離散處理時(shí)，從中選取的單元除了符合力學(xué)分析的要求，還需要適應(yīng)自動(dòng)計(jì)算的特點(diǎn)，如標(biāo)準(zhǔn)化、可重復(fù)性、可替換性等，以便于編制迭代格式。從某種程度上看，這些特點(diǎn)也是工業(yè)化和標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)的特征。最后還需要說明的是，由于算法在設(shè)計(jì)上的原因，使用該模型計(jì)算自攻螺釘在某一拉拔力P下的埋置長度時(shí)，螺釘?shù)纳舷聝蓚€(gè)端頭均可能存在小于一個(gè)螺距的長度未能計(jì)入總長度，而且模型輸出的必然是螺距倍數(shù)的埋置長度。

2 驗(yàn)證與討論

2.1 模型結(jié)果驗(yàn)證

在課題組的前期研究[22]中，采用花旗松膠合木和WR-T-13.0×400 型自攻螺釘制作了共計(jì)120個(gè)試件：以埋置長度(螺釘外徑的5 倍、10 倍、15 倍和20 倍)，螺釘桿軸與木材順紋之間的夾角(0°、15°、30°、45°、60°和90°)為 參 數(shù) 設(shè) 計(jì) 了24 個(gè)試驗(yàn)組，每組5 個(gè)試件；并以“拉-推”(pullpush)型加載方式進(jìn)行了拉拔試驗(yàn)。圖13 展示了拉拔試驗(yàn)的加載裝置，螺釘?shù)陌纬龊屠瓟嗥茐模约? 種夾角情況下木材的內(nèi)部破壞情況。對(duì)力學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，需要輸入的主要幾何與材料信息見表2 中注的內(nèi)容。此外，力學(xué)模型還借助了螺紋桿拉拔試驗(yàn)[23]的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，需要輸入的主要幾何與材料信息見表3 中注的內(nèi)容。這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)分別研究了自攻螺釘和螺紋桿在膠合木中的拉拔性能，試驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型結(jié)果的對(duì)照情況如表2 和表3 中的“計(jì)算誤差”列所示。

圖13 拉拔試驗(yàn)Fig. 13 Withdrawal test

如果拉拔力P從0 逐漸增大到自攻螺釘?shù)臉O限抗拉能力，模型可以輸出一條破壞荷載與埋置長度的關(guān)系曲線。埋置長度小于錨固長度時(shí)，破壞荷載為拔出破壞荷載。圖14 和圖15 分別展示了理論關(guān)系曲線和上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的測試數(shù)據(jù)對(duì)照情況。從圖中可以看出，拔出破壞荷載與埋置長度之間大致呈現(xiàn)出線性變化關(guān)系。

圖14 破壞荷載與埋置長度的理論關(guān)系曲線，與自攻螺釘拉拔試驗(yàn)數(shù)據(jù)[22]對(duì)照Fig. 14 Theoretical relationship curve between failure load and embedment length, compared with experimental results of self-tapping screws [22]

圖15 破壞荷載與埋置長度的理論關(guān)系曲線，與螺紋桿拉拔試驗(yàn)數(shù)據(jù)[23]對(duì)照Fig. 15 Theoretical relationship curve between failure load and embedment length, compared with experimental results of threaded rods [23]

結(jié)合理論計(jì)算與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)照情況來看，模型現(xiàn)階段的計(jì)算結(jié)果能與兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的測試數(shù)據(jù)基本符合。從表2、表3 中計(jì)算誤差這一列來看，這兩種軸向受力螺紋緊固件的順紋拔出破壞情況能夠獲得較好的預(yù)測。力學(xué)模型從0°夾角向更一般的θ °夾角進(jìn)行擴(kuò)展時(shí)，在夾角較大的情況下，自攻螺釘?shù)挠?jì)算結(jié)果偏于保守，如圖14 中θ =30°和 θ =45°的曲線所示。導(dǎo)致這種情況除了木材本身的變異性和力學(xué)模型中木材斜紋公式的精度問題外，還需要指出，在工程實(shí)踐中使用自攻螺釘進(jìn)行加固時(shí)，正是利用了它在垂直或傾斜于木材的順紋方向嵌入時(shí)能夠有效地抑制木構(gòu)件發(fā)生劈裂破壞。本文在現(xiàn)階段提出的力學(xué)模型還不能很好地體現(xiàn)出斜向嵌入的緊固件有利于木材受力這一特點(diǎn)。也就是說，從安全性和實(shí)用性的角度出發(fā)，鑒于緊固件平行于木材順紋方向嵌入是最不利于木材受力的情況(現(xiàn)行Eurocode 5[18]中規(guī)定螺釘桿軸與木材順紋之間的夾角不宜小于30°)，如果力學(xué)模型能夠較為精確地計(jì)算出緊固件在順紋埋置時(shí)的錨固長度，那么緊固件在同樣的埋置長度下以較大的夾角埋置時(shí)一般不會(huì)發(fā)生拔出破壞。

表2 自攻螺釘拉拔試驗(yàn)[22]與力學(xué)模型的對(duì)照情況Table 2 Comparison between the withdrawal test of selftapping screws [22] and the mechanical model

表3 螺紋桿拉拔試驗(yàn)[23]與力學(xué)模型的對(duì)照情況Table 3 Comparison between the withdrawal test of threaded rods [23] and the mechanical model

2.2 模型缺陷討論

回顧力學(xué)模型建立的全過程，當(dāng)前模型的缺陷主要存在于以下幾個(gè)方面：

1)裝配單元控制微分方程的求解過程基于大量的假定和簡化，例如薄壁木圓管內(nèi)壁面與螺桿圓柱面之間摩擦力的簡化，但由于這一情況缺乏可靠的試驗(yàn)數(shù)據(jù)及研究成果，本文所采取的假定方法其準(zhǔn)確性暫時(shí)無法評(píng)估；

2)求解得到的應(yīng)力函數(shù)或者位移函數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，類似于有限單元法中形函數(shù)對(duì)單元精度的影響，進(jìn)而影響了整全模型的計(jì)算精度。也就是說，還可能有更符合實(shí)際情況的單元及其微分方程的通解；

3)被螺紋切斷的木材被簡化成各自獨(dú)立的薄壁木圓管后，拔出破壞時(shí)刻的應(yīng)力狀態(tài)，也即拔出破壞準(zhǔn)則需要進(jìn)行深入研究。換句話說，還需要尋找更能合理反映拔出破壞極限狀態(tài)的條件，用來獲得微分方程的特解?，F(xiàn)階段的模型針對(duì)每個(gè)裝配單元采取了最簡單的最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，當(dāng)單元數(shù)量較多，也就是埋置長度較長時(shí)，對(duì)破壞狀態(tài)的粗略假定會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確；

4)位于每個(gè)螺紋間距內(nèi)的木材在拉拔過程中處于剪-壓受力狀態(tài)，木材在取用剪切強(qiáng)度時(shí)如果沒有考慮剪-壓復(fù)合狀態(tài)也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確。這可能需要借助涉及其它力學(xué)理論的研究成果考慮材料層面的破壞準(zhǔn)則。

3 結(jié)論

通過引入一種既可以總裝成整全模型又可以拆解為多個(gè)零件的“裝配單元”，本文提出了一種適用于軸向受力螺紋緊固件的力學(xué)模型，用于研究自攻螺釘在膠合木中的拔出破壞機(jī)制，可以計(jì)算膠合木中軸向受力螺紋緊固件的錨固長度。與已有基于Volkersen 理論的計(jì)算方法相比，該模型直接從自攻螺釘發(fā)生拔出破壞的典型現(xiàn)象入手，考慮了螺紋對(duì)木材破壞區(qū)域產(chǎn)生的影響，致力于在模型簡化、公式推導(dǎo)和算法設(shè)計(jì)過程中體現(xiàn)出木材的局部受力狀態(tài)和拔出破壞面上的剪應(yīng)力/剪力不連續(xù)傳遞現(xiàn)象。采用兩組分別針對(duì)自攻螺釘和螺紋桿的試驗(yàn)研究成果對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段力學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果能與兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)有較好的一致性。模型的計(jì)算結(jié)果還表明，在發(fā)生拉斷破壞以前，自攻螺釘和螺紋桿的拔出破壞荷載與埋置長度基本呈線性關(guān)系。