復習課的應然選擇：從融通到至簡

摘? ? 要：復習課既需要把書讀薄，融通理解已學知識，又需要在原有基礎上，讓經(jīng)驗積累更豐厚，讓數(shù)學思想領悟更深刻，即需要把書重新讀厚.這就要求教師必須：立足于查漏補缺，幫助學生串點成線，復習題組要少而精;設置統(tǒng)一的問題情境，搭建合適的腳手架，讓學生逐步解決問題;基于學生的個體差異，確定共性學習內容，營造個性化學習的環(huán)境.教師要利用好課堂生成性資源，以營造“知識融合、過程圓融、課堂交融”的學習氛圍，使學習達到至簡境界.

關鍵詞：初中數(shù)學;至簡數(shù)學;數(shù)學復習

融通，即融會貫通，“融”是過程，“通”是效果.從“教”的角度而言，教師需要圓融理解知識，并精心預設學習內容，從而讓復雜的問題變簡單、讓零亂的思維成系統(tǒng)，達到把厚書讀薄的目的.從“學”的角度而言，學生需要深度參與、積極思考、多方聯(lián)系，將簡單問題拓展開來，創(chuàng)新研究，用系統(tǒng)的思維解決千變萬化的問題，達到把書重新讀厚的目的.這種“教師的厚→學生的薄→學生的厚”，就是以融通的方法達到至簡效果的過程.

至簡數(shù)學主張“讓學生學簡單的數(shù)學，讓學生簡單地學數(shù)學，讓學生學得不簡單”[1].復習課既需要把書讀薄，讓學生完成對基礎知識的消化吸收，又需要把書讀厚，從數(shù)學思想方法的歸納、解決問題的經(jīng)驗等方面讓學生的積累變得更豐厚.它是知識融合的主陣地.以下，筆者以人教版義務教育教科書《數(shù)學》七年級下冊（以下簡稱“教材”）幾個不同章節(jié)的復習課為例，談談如何為學生創(chuàng)設融通學習環(huán)境，以達到至簡效果的實施路徑.

一、融通學習內容，讓學生學簡單的數(shù)學

知識融通理解的程度取決于能把新知識與多少舊知識關聯(lián)起來.對同一知識背景，一個人在頭腦中建立的連接越多，他對這一知識的掌握就會越扎實，運用也會越熟練，并且在建立知識連接的過程中，對相關聯(lián)知識的理解也會越深刻.復習課中，學生已經(jīng)學習過要復習的知識與技能，也積累了許多經(jīng)驗，只是比較散亂，部分細節(jié)有所遺忘.因此，教師應立足于查漏補缺，幫助學生串點成線.這就要求承載復習基礎知識和技能的題組要少而精.

以教材第十章“統(tǒng)計調查”的復習為例，教師可設計如下選擇題.

小明想調查七年級學生的身高情況，他選取了七年級1班作為樣本.以下認識正確的是（? ? ）

A.調查表中需要設計班級、學號、姓名、性別、家庭住址、身高、電話號碼等項目

B.被調查的七年級1班學生是樣本

C.七年級1班共60人，身高在160～165cm的學生共13人，占樣本的比例約為21.7%，由此可得出其對應的扇形統(tǒng)計圖中的圓心角度數(shù)約為78.12°

D.七年級1班身高的最大值為175cm，最小值為150cm，畫頻數(shù)分布直方圖時，確定組距為5cm，則正好可分為5組

E.畫頻數(shù)分布直方圖時，身高在160～165cm的學生共13人，則畫出來的小長方形面積代表頻數(shù)13

上述問題分別對應學生的以下認識疑點：1.如何針對需要統(tǒng)計的內容設計一份問卷表？2.在抽樣調查的過程中，什么是總體、樣本、個體（即到底是應該回答對象還是對象的屬性）？3.畫扇形圖時如何計算圓心角的度數(shù)（樣本容量設計為50、100這類數(shù)據(jù)時，計算出來的頻率為有限小數(shù)，圓心角度數(shù)為有理數(shù);但若將樣本容量設計為60，仍如此計算，就會因計算出來的頻率為無限小數(shù)，從而出現(xiàn)偏差）？4.畫頻數(shù)分布直方圖時，如何合理設置組距與組數(shù)？5.畫頻數(shù)分布直方圖時，對縱軸所表示含義的理解（縱軸表示的應是[頻數(shù)組距]，即小矩形面積對應的才是頻數(shù)，只是因為所畫出的小矩形是等距的，故小矩形面積之比與高之比相同，因此往往將縱軸直接用頻數(shù)表示）.

上述設計按照章節(jié)順序復習了學生的易錯點，教師在講解點評時，可順勢串聯(lián)起該章節(jié)的知識結構：統(tǒng)計調查的主要過程，如何收集數(shù)據(jù)，用劃記法整理數(shù)據(jù)，全面調查與抽樣調查的基礎知識，描述數(shù)據(jù)時四種統(tǒng)計圖各自的適用范圍，扇形圖、頻數(shù)分布直方圖的畫法等.

基礎知識與基本技能是淺層次的復習內容，主要是梳理結構和回顧知識要點.因此對應的例題應該既精簡又全面，即通過改善教師的教，把復雜的東西講簡單，把雜亂的東西理清楚，以達到“讓學生學簡單的數(shù)學”的目的.

二、融通教學流程，讓學生簡單地學數(shù)學

至簡數(shù)學主張在數(shù)學課堂教學中，聚焦一個對象、遵循一個原則、解決一個問題.學生缺乏數(shù)學學習興趣，往往是因為教師在課堂中設置了大量毫無關聯(lián)的練習，沒有對學習內容形成聚焦.而學生對數(shù)學學習產生畏難情緒，則往往源自于問題的梯度設置過大，學生跳一跳仍無法達到其認知的最近發(fā)展區(qū).教師如果能設置統(tǒng)一的問題情境，從一個問題出發(fā)，在已知與未知之間搭建適當?shù)哪_手架，作好鋪墊，讓學生逐步解決問題，就可以融通教學流程，讓學生簡單地學數(shù)學.

在教材的學習內容中，適合學生解決的實際問題中蘊含的數(shù)量關系，可以通過二元一次方程的整數(shù)解、二元一次方程組、一元一次方程、不等式（組）等多種途徑解決.這種將實際問題數(shù)學化的過程就是數(shù)學抽象，而合理分析抽象后的數(shù)學問題、選擇合適模型去解決問題的過程，就是數(shù)學建模.解法屬于基本技能，既可借助數(shù)學運算素養(yǎng)解決，又可借助工具解決，不應該是章節(jié)復習課的重點.

基于這一認識，筆者在“二元一次方程組”的章節(jié)復習中，以某一方程組為核心，添加實際情境或數(shù)學情境，設置“一意性”的問題串，整合整章節(jié)內容.

（1）已知落地風扇200元/臺，水冷風扇300元/臺，小明買了若干臺風扇，一共用了2000元，則兩種風扇他各買了多少臺？

（2）請你添加一個條件，使得小明只有唯一的購買方案，并根據(jù)你添加的條件，求出答案.

【設計意圖】第一，從基礎知識與基本技能層面而言，此情境素材可用于復習二元一次方程（組）的概念、二元一次方程的整數(shù)解以及解二元一次方程組的基本方法.第二，對于200x+300y=2000，應該先化簡為2x+3y=20，再進行后續(xù)運算，這種化繁為簡的意識正是數(shù)學運算素養(yǎng)的體現(xiàn).第三，從數(shù)學思想方法層面而言，開放型問題更能培養(yǎng)學生的抽象與建模素養(yǎng).這一例題，從總價的角度可得到一個等量關系，另一個等量關系則可從其他角度來設置，例如總數(shù)量、總利潤等，具有很強的擴展性，但其核心是找到兩個不同的等量關系，并用合適的數(shù)學語言表達出來.二元一次方程組就是將兩個不同的數(shù)量關系抽象化的結果.

（3）已知[x+32y-10]與[x+y-8]互為相反數(shù)，求滿足條件的x、y值.

【設計意圖】這一問題是從純數(shù)學情境的角度，抽象出方程組模型，還附帶有對非負數(shù)性質的理解.此外，將原方程的系數(shù)同除200后，出現(xiàn)了分數(shù)，這加大了運算的技巧性.

（4）已知關于x、y的二元一次方程組[2x+3y=5m ①x+y=2m? ? ?②]的解滿足3x-2y=4，求m的值.

【設計意圖】第一，此題解題方法較多，既可通過原方程組加減消去字母m，又可通過后面的條件代入消元消去x或y，還可將方程①×（-5）、方程②×13，再兩式相加，直接得到3x-2y=m=4.而若將三個式子聯(lián)立，就得到了三元一次方程組.但通法都是應用消元思想，只是首消的元不同而已.這可促使學生對消元思想有更深入的理解.第二，從技能訓練的角度來看，可訓練學生解含字母參數(shù)的二元一次方程組.而為達到訓練的目的，還可將條件更改為“滿足3x-2y<4”，以加強方程與不等式的聯(lián)系.

（5）小明從網(wǎng)站上查到，某商家正在開展促銷活動，落地風扇199元/臺，水冷風扇299元/臺，且買滿200元減15元，買滿300元減30元，小明仍用不超過2000元去購買風扇，則他最多可購買多少臺？

【設計意圖】學習數(shù)學知識的目的是為了解決問題，而不是訓練解題套路.開放型問題可讓學生從方程、不等式等多種不同的模型中，尋找適合的方法解決問題.此問題并不一定需要建立方程或不等式模型，使用單純的列舉法也能解決問題，但學生對多種方法的嘗試正是積累建模經(jīng)驗的過程.

數(shù)學思想方法的感悟是在解決問題的過程中逐漸積累的，問題情境的連續(xù)性、核心問題的一致性、教學流程的圓融性可加速這一感悟過程.上述設計中的每一個問題均建立在對同一式子進行變化的基礎上，每一個問題又代表不同的類別.由此，既能讓學生積累更多的學習經(jīng)驗，又能讓學生感悟解方程和列方程解決實際問題的通性通法——合理消元、巧妙建模，自然而然地將數(shù)學思想方法融入對知識的回顧與鞏固之中，從而達到“讓學生簡單地學數(shù)學”的目的.

三、融通主體客體，讓學生學得不簡單

復習課除了要回顧基礎知識、訓練基本技能外，也需要對知識適當拓展延伸，還需要對基本數(shù)學思想和基本活動經(jīng)驗作適當?shù)臍w納與提升.但由于每個學生的經(jīng)驗基礎有差異，復習課在確定共性學習內容、整體鞏固提升的同時，還必須追求個性化的學習，讓每個學生都能有不同的收獲.個性化學習必然要求學生積極主動地參與教學，這一過程也是學生融合新老經(jīng)驗的過程.具體做法很多，如教師可讓學生自主整理章節(jié)思維導圖，自主整理筆記本、錯題本，自編章節(jié)練習題，站上講臺指導其他學生復習等.但由于學生認知水平有限，高效的復習課應該是教師選定主體素材，引導學生積極參與，共同完成復習過程.

以“平面直角坐標系”的復習為例，這一章是函數(shù)模塊的起始章節(jié)，知識點眾多，有許多解決問題的經(jīng)驗在二次函數(shù)中仍然通用，若讓學生自主復習，則會出現(xiàn)類別繁雜且思維含量不夠的現(xiàn)象.這就可采用教師選定母題、學生補充完善的方式，師生共同復習.

母題：△AOB位于平面直角坐標系中（圖略），且A、O兩點的坐標分別是A（1，5），O（0，0）[2].

在實際教學中，筆者提供這一基本圖形，讓學生補充問題，并在學生的積極參與下，整理出以下問題.

（1）將平面直角坐標系補充完整，寫出點B的坐標.

【考查要點】復習平面直角坐標系的基礎概念.

（2）將△AOB先向左平移3個單位再向上平移2個單位，得到△A′O′B′，作圖并寫出這三點的坐標.

【考查要點】復習了“用坐標表示平移”的知識.學生甚至仿效教材第80頁第10題，提出了平移[2]個單位的問題.

（3）求△AOB的面積.

【考查要點】復習平面直角坐標系內求三角形面積（母題為教材第80頁第9題），主要用“補”的方法，二次函數(shù)背景下求三角形面積也常用這種方法.

（4）在x軸正半軸上找一點C，使S△AOC=S△AOB.

【考查要點】仍是復習面積問題，但屬于已知面積求點的坐標，涉及坐標與距離的轉換.

（5）在坐標軸上找到一點D，使△BOD的面積為5個單位.

【考查要點】雖然仍是復習面積問題，但需要分類討論.

（6）用合適的方法描述A、B兩點間的位置關系.

【考查要點】教材“用坐標表示地理位置”一節(jié)，介紹了兩種表示地理位置的方法，分別是借助平面直角坐標系和“方位+距離”的方法.此題中點B恰在點A的東南方向3[2]個單位的位置（母題為教材第75頁練習2）.

（7）另作一點E，使A、O、B、E四點可連成平行四邊形.

【考查要點】復習在平面直角坐標系中形成平行四邊形的問題，比較常見的方法是用平移的思想去解決，這也是二次函數(shù)背景下綜合題的常見考查類型.

由上可知，學生在復習前已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗，當教師激發(fā)了他們的學習主動性時，他們就會迸發(fā)出強大的能量.從學生補充的內容來看，這節(jié)復習課已經(jīng)達到了至簡數(shù)學“讓學生學得不簡單”的效果.當然，學生提出的問題，大多是他們做過或見過的題目，教師還可在點評復習的基礎上，適度補充拓展，豐富他們的學習經(jīng)驗.

（8）經(jīng)過點B且平行于x軸的直線交AO于點M，求點M的坐標.

【考查要點】在平面直角坐標系中求三角形面積，常用的方法是“割”或“補”，因為學生還沒有學習一次函數(shù)知識，故此時只能用“補”的方法，但在已知面積和點的坐標的基礎上，學生自然也可求得“割”出的三角形的底或高，并將線段長度轉化為坐標.

學習過程中，“學”是模仿，“習”是踐行.教師融合學習內容、圓融教學流程，可讓“學”變得簡單;學生主動參與、積極反思，將已有經(jīng)驗連點成線、連線成面，可讓“習”變得簡明.上述復習過程，就是在教師的引導下，學生主動融合已有解題經(jīng)驗的過程.不管學生能在課堂上補充多少內容，這種從已經(jīng)做過的習題中收集、整理、遴選問題并融入母題的過程，就是新舊知識融通的過程，就是令已積累的活動經(jīng)驗更清晰簡明的過程.

“讓學生學簡單的數(shù)學”解決的是“學什么”的問題，需要教師融通理解教學內容;“讓學生簡單地學數(shù)學”解決的是“怎么學”的問題，需要教師合理預設學習過程;“讓學生學得不簡單”解決的是“學到什么程度”的問題，需要師生共同參與，利用好課堂生成性資源.只要師生堅持共同營造這種“知識融合、過程圓融、課堂交融”的學習氛圍，學習將變成一件簡單而快樂的事情，也必然能達到至簡境界.

參考文獻：

[1]鄧凱，張青.由一節(jié)公開課管窺“至簡數(shù)學”的基本理念[J].中學數(shù)學（初中版），2021（5）：10-13.

[2]陳春濤.數(shù)學的章節(jié)起始和章節(jié)復習都應融會貫通[J].教學月刊·中學版（教學參考），2019（1/2）：7-10.