基于數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形教學(xué)中的設(shè)計與思考

潘朝輝

一、問題的提出

《課標(biāo)》提出：“在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程?！?圖形與幾何是人們用于解決實際問題和數(shù)學(xué)問題的重要模型，直觀、空間想象等越來越成為一種重要的思維方式，合情推理和演繹推理貫穿了人們發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的全過程。因此，在小學(xué)圖形教學(xué)中，重視滲透模型化理念，讓學(xué)生積累一定的數(shù)學(xué)模型思想，并逐步體會數(shù)學(xué)建模過程，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。然而在學(xué)生的實際學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗缺失，空間觀念和推理能力薄弱，在實際圖形教學(xué)中，具體表現(xiàn)如下：

（一） 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗缺失

在圖形教學(xué)中，為幫助學(xué)生建立較好的空間觀念，需要教師不斷地從生活實際中抽象出數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)生活原型到數(shù)學(xué)模型地過渡。然而，這個建模過程往往需要花大量的時間，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)探究過程，積累活動體驗，可是實際一節(jié)課只有短短40分鐘，不少教師覺得這個時間很寶貴，就把這個數(shù)學(xué)與生活的有效建模時間壓縮，使得新課展開時匆匆而過，而把大量時間花在反復(fù)練習(xí)鞏固上，使得學(xué)生只會機械模仿進行題海式解題。

（二）數(shù)學(xué)意義理解淺層

空間是物質(zhì)存在的一種客觀形式，是物質(zhì)存在的表現(xiàn)?？臻g觀念是由長度、寬度、高度表現(xiàn)出來的客觀事物在人腦里留下的概括的形象。小學(xué)生受生理和心理特征、知識結(jié)構(gòu)以及認(rèn)知能力的影響，很難建立及強化物體的空間觀念，也較難形成完整的空間意識。例如在教學(xué)長方體體積計算時，絕大多數(shù)學(xué)生都能說出體積計算公式，卻不能準(zhǔn)確無誤地說出長方體體積的意義，即這個長方體所含有多少個體積單位。當(dāng)體積、表面積、棱長總和等多種表述混在一起時，就會錯誤百出，可見學(xué)生對于長方體體積的意義理解不夠到位。

（三）公式應(yīng)用生硬死板

在一個知識板塊學(xué)習(xí)結(jié)束后，進入復(fù)習(xí)階段，教師自我感覺只要將平時所教的零散知識點作系統(tǒng)回顧，就會取得不錯的效果，可實際學(xué)生會出現(xiàn)問題：只能應(yīng)用單一知識點，相似知識點之間混為一談，做不到相似知識點靈活應(yīng)用，更談不上舉一反三，導(dǎo)致學(xué)生每次學(xué)習(xí)時總是錯誤不斷，教師只能多次鞏固，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)加重，興趣下降。

基于上述現(xiàn)狀分析，筆者撰寫了基于數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形教學(xué)中的設(shè)計與思考一文，試圖在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形教學(xué)中加強數(shù)學(xué)建模思想方法的實踐和應(yīng)用，培養(yǎng)小學(xué)生的建模意識和能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)實踐

在圖形教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)建模的過程就是創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實踐、探索和思考等活動逐步建立數(shù)學(xué)模型，然后運用這一模型去解釋生活中的一些現(xiàn)象和解決生活中的實際問題。通過這樣的教學(xué)活動，有利于學(xué)生主動建立自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，還有利于提高數(shù)學(xué)思考和實際解決問題的能力。

（一）表象積累，理解意義

在教學(xué)過程中充分利用一些來自學(xué)生身邊的生活素材和實際問題，創(chuàng)設(shè)出符合學(xué)生實際的數(shù)學(xué)活動情境，為構(gòu)建模型提供豐富的體驗。而學(xué)生對模型的識別與理解是要一定的時間與實踐強化的，教師要給予學(xué)生能強化記憶與理解的模型，這才能強化表象，促使數(shù)學(xué)模型的建立。

【案例一】選用超輕粘土

我們在進行圓錐的體積公式推導(dǎo)時，一般都是采用倒水或倒沙的實驗：用圓錐從臉盆中裝滿沙（或水），倒到等底等高的圓柱中，進行了三次，正好把圓柱倒?jié)M。從這個實驗中得出：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一。得出結(jié)論后，學(xué)生運用公式的正確率一開始很好，但很快就會出現(xiàn)忘記“乘以三分之一”的現(xiàn)象，也就是在新課教學(xué)時，通過實踐并沒有真正建立“圓錐的體積是等底等高圓柱體積的三分之一”這個模型。由此，我們將實驗的步驟進行了調(diào)整：在實驗過程中，統(tǒng)一要求學(xué)生使用課前準(zhǔn)備的超輕粘土（可以隨意改變形狀，并可以固定），實驗時每個小組成員把超輕粘土先灌滿圓柱，再從圓柱中取出粘土到等底等高的圓錐中，并將圓錐中的超輕粘土取出，呈現(xiàn)冰激凌狀，依次這樣操作，看一看圓柱的超輕粘土可以做出這樣幾個冰激凌狀粘土塊？從這個實驗中，學(xué)生很快就能得到結(jié)論：圓柱的體積是圓錐體積的3倍，或者圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

對于這一實驗用圓錐倒三次水入等底等高的圓柱，這三次的過程是稍縱即逝的，學(xué)生在腦海中留下的印象并不深刻，而用超輕粘土做“冰激凌”的活動，將原來倒水的過程變成做實物模型，這三個“冰激凌”實實在在地放在學(xué)生面前，使等底等高圓柱和圓錐的三倍關(guān)系模型的表象得到了強化，從而深深地印在了學(xué)生的大腦里。筆者在兩個平行教學(xué)班級進行了調(diào)查（見下表），結(jié)果很好證明了：表象的積累，更加符合小學(xué)生學(xué)習(xí)的特點。具體可看的東西，有利于學(xué)生建立圓錐與圓柱之間的關(guān)系。而水和沙，由于操作相對簡單，倒出后形狀立馬變化，雖然節(jié)約了實驗的時間，但并不利于數(shù)學(xué)模型的建立。

[ 忘記乘三分之一人數(shù)占比 班級1利用超輕粘土建立數(shù)學(xué)模型 6.67% 班級1利用水（沙）建立數(shù)學(xué)模型 22.22% ]

【案例二】巧用伸縮桿

在小學(xué)二年級“角的認(rèn)識”單元中，出現(xiàn)數(shù)角個數(shù)的練習(xí)。筆者認(rèn)為在教數(shù)學(xué)角的個數(shù)之前，需要讓學(xué)生對角建立模型，教材上對角的定義是：從一點引出兩條射線所形成的圖形叫做角。但是生活中，我們卻不能見到兩邊是射線的角。那么，生活中的角是以什么形式出現(xiàn)的呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，角又應(yīng)該從研究或解決什么問題引入呢？筆者認(rèn)為，根據(jù)小學(xué)生的心理特征及學(xué)習(xí)起點，應(yīng)該先有“角的大小”的理解，再有角的概念。于是在教學(xué)時，指導(dǎo)學(xué)生使用伸縮桿制作角，在操作過程中，固定兩根伸縮桿形成一個角，再拉長伸縮桿，發(fā)現(xiàn)只是改變邊的長度，并沒有改變角的大小;再固定伸縮桿的長度，轉(zhuǎn)動其中一根伸縮桿，發(fā)現(xiàn)夾角發(fā)生變化，動態(tài)形象地讓學(xué)生感受到角的大小與兩邊的張開度有關(guān)，從而順利塑造這個“角”的模型，進而使學(xué)生較為容易理解角的大小是可以通過相互疊加，得到不同大小的角。

經(jīng)歷拉伸、轉(zhuǎn)動伸縮桿的實踐操作，使空間形式在學(xué)生頭腦中具體化、形象化，逐步形成明確的數(shù)學(xué)概念，并在頭腦中建立起豐富的表象，感受解決實際問題的意義。學(xué)生的空間知識來源于現(xiàn)實生活，可以從活動實踐中逐步建立起來。

（二）抽象本質(zhì)，建構(gòu)模型

抽象是認(rèn)識事物屬性過程中拋棄個別的、偶然的因素和非本質(zhì)的屬性，概括出一般的、必然的、本質(zhì)的屬性。具體生動的問題情境為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了可能。教師必須組織學(xué)生在充分感知大量感性材料的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷觀察、對比、操作等活動，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)這些問題的共性，才能建立起數(shù)學(xué)模型。在這個過程中，從具體的表象中抽象出本質(zhì)特征，使認(rèn)識從感性上升到理性，這是建模質(zhì)的飛躍。

【案例三】對比多個立體圖形之間的異同

筆者在五年級教學(xué)長方體、正方體表面積和體積之后進行了這樣的練習(xí)設(shè)計：在一個棱長為10厘米的正方體中挖掉一個長5厘米、寬5厘米、高10厘米的長方體，你準(zhǔn)備如何操作？剩下的立體圖形的體積是多少立方厘米？經(jīng)過獨立思考和匯報交流后發(fā)現(xiàn)有以下三種操作方式，如圖所示：

針對以上三種操作，分別算算剩下圖形的體積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這三種圖形的體積相等，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生還會總結(jié)出雖然這三個圖形的形狀不同，但是它們的高和底面積相同。在長方體和正方體體積計算的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，可以推斷出這三種圖形的體積也可以用“底面積乘高”來計算。我們還可以大膽想象底面還可以是哪些圖形？

這個環(huán)節(jié)有學(xué)生先觀察三個立體圖形之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)三個圖形有相同的底面積、高、體積，初步感知像這樣的立體圖形都可以用“底面積乘高”計算它們的體積。接著讓學(xué)生發(fā)揮想象，還有怎樣的圖形也可以這樣去算，假如用一個三角形當(dāng)作一個立體圖形的底面，將得到一個三棱柱，依次可以是五棱柱、……圓柱。在這一環(huán)節(jié)中學(xué)生經(jīng)歷對比多個立體圖形之間的異同，歸納出直棱柱體積計算方法，并經(jīng)歷猜想，將這樣的方法推廣到即將學(xué)到的圓柱體積的計算，為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，使所學(xué)知識得到升華。

經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生明白雖然直輪柱的形狀不同，但是它們有相同的底面積和高，學(xué)生對輪柱體積的理解必定走向半具體、半抽象的模型，從而構(gòu)建起真正的數(shù)學(xué)認(rèn)識，完成從直觀的數(shù)學(xué)模型再到抽象的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。

（三）結(jié)合實際，巧用模型

在具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型后，建模并未終結(jié)，教師還要變換問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型再應(yīng)用到現(xiàn)實生活中去，以此來深化模型的內(nèi)涵，拓展模型的外延。

變式練習(xí)被普遍認(rèn)為是拓展思路、發(fā)展思維和培養(yǎng)創(chuàng)造能力的有效途徑。因此，教師要重視讓學(xué)生進行一題多解的練習(xí)。同時，在多種思路的呈現(xiàn)后，學(xué)生要進行比較，找到知識間的聯(lián)系與區(qū)別，從而更好地發(fā)展思維。

【案例四】周長練習(xí)

學(xué)習(xí)完圓的周長之后，出示了如圖所示的一個問題，螞蟻從半圓的一端爬到另一端，所爬行的路哪一條路長？

本題是一道有一定挑戰(zhàn)的周長練習(xí)題，題中沒有給出任何數(shù)據(jù)，絕大多數(shù)學(xué)生能看出藍色線就是這個大圓的周長的一半，但是紅色線路是由若干個等大的半圓組成，無形中增加了解題難度，可其中還蘊藏著“所有小圓的直徑之和就是大圓的直徑”這個關(guān)鍵信息。學(xué)生可以根據(jù)特殊數(shù)據(jù)代入、公式推算等方法得出所有小圓周長等于大圓的周長，即藍色線路與紅色線路相等。

習(xí)題可以千變?nèi)f化，是做不完的。在平時的習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生絕不能只停留在答案正確與否的層面上，而是應(yīng)該以典型題為例題，不斷創(chuàng)設(shè)新的問題情境，促進學(xué)生不斷地思考，使學(xué)生思維不斷地向著更高層次發(fā)展，解決和分析問題能力逐級提高，達到“解決一個問題，學(xué)會解決一類問題”的目的。

三、成果與反思

通過筆者長期教學(xué)實踐與積累，有效梳理了小學(xué)數(shù)學(xué)圖形教學(xué)數(shù)學(xué)建模的理念和策略，對自己的教學(xué)起到了很大的幫助，其中也帶來了新的思考：

（一）積累改變教育觀念

在筆者剛?cè)谓痰那皫啄辏?jīng)常會與同事們探討圖形教學(xué)很難取得很好的成績，在課堂上學(xué)生似乎學(xué)得很不錯，可是在練習(xí)或者檢測中，總是出現(xiàn)很多問題，可以把原因歸結(jié)為學(xué)生的空間觀念差，缺少數(shù)學(xué)建模意識，不會舉一反三，靈活運用。但是經(jīng)過最近幾年的實踐與反思改變了觀念，認(rèn)真分析導(dǎo)致出現(xiàn)問題的原因，從自己的課堂做出改變。

（二）觀念改變教育行為

有了正確的教育觀念，引領(lǐng)教育行為，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和客觀事實出發(fā)，優(yōu)化課堂教學(xué)，改變傳統(tǒng)教師講、學(xué)生聽的教學(xué)模式，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，在觀察、實驗和操作的過程中積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在思考與探索的過程中培養(yǎng)了模型意識和解決問題的能力。

（三）行為改變教學(xué)成績

最近幾年，筆者一直擔(dān)任兩個班級的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，在不斷的積累與反思中一路前行，在每學(xué)年期末檢測中都取得了不錯的成績，在學(xué)校平行班中一直名列前茅，也得到了學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和教研員的一致肯定。