善用向量性質(zhì)，提高解題能力

謝潔丹

【摘?要】??向量具有數(shù)與形的特點(diǎn)，在求解長(zhǎng)度、角度等問題中有很重要的的應(yīng)用，也是高考熱門考點(diǎn)之一.本文介紹并證明了平面向量中的四個(gè)性質(zhì)，它們具有簡(jiǎn)潔、和諧、對(duì)稱的優(yōu)美規(guī)律特征，在解決相關(guān)問題時(shí)常常能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果，能夠幫助學(xué)生減少學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】??高中數(shù)學(xué);平面向量;解題能力

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，具有數(shù)形的特點(diǎn)，與三角函數(shù)、空間幾何、解析幾何等知識(shí)模塊之間有緊密聯(lián)系，解題時(shí)如果能夠靈活運(yùn)用其性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，往往能夠達(dá)到四兩拔千斤的效果.所以在教學(xué)過程中，教師如果能夠引導(dǎo)學(xué)生將向量的性質(zhì)做適當(dāng)?shù)耐卣?，?shì)必能夠提高學(xué)生體用向量解決問題的能力.

1?三點(diǎn)共線性質(zhì)

證明平面內(nèi)三點(diǎn)共線的方法有很多種，幾何法、解析法以及下面要介紹的向量法：

三點(diǎn)共線性質(zhì)???0為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)α ，β，使得?OC??=?α?OA??+?β?OB??，且α+β=1，反之亦然.

證明?????充分性???若A、B、C三點(diǎn)共線，可知存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得?AC??=λ?AB??，即 ?OC??-?OA??=λ（?OB??-?OA??）， 整理可得：?OC??=（1-λ）?OA??+λ?OB??，令α=（1-λ），β=λ，可得α+β=1.

必要性???若?OC??=α?OA??+β?OB??，則?OC??=（1-β）?OA??+β?OB??，即 ?OC??-?OA??=β（?OB??-?OA??），即

AC??=β?AB??，所以A、B、C三點(diǎn)共線.

如：A、B、C三點(diǎn)共線，且滿足?OA??=?2?3??OB??+?x?OC???，我們便知道x=?1?3?.再如：

例1???如圖1在扇形AOB中，∠AOB=30?°?，C為弧AB上的一點(diǎn)，且滿足?OC??=x?OA??+y?OB??，求x+y的取值范圍.

該題有諸多解法，但可利用三點(diǎn)共線性質(zhì)進(jìn)行求解：連接A、B交OC于點(diǎn)D，則A、B、D三點(diǎn)共線.記?OC??=λ?OD??，所以?OC??=λ?OD??=x?OA??+y?OB??，

x+y=λ，即?OD??=?x?λ??OA??+?y?λ??OB??，

所以?x?λ?+?y?λ?=1，

由?OC??=λ?OD??即當(dāng)D與A、B重合時(shí)，λ取得最小值1.

當(dāng)D位于線段AB的中點(diǎn)時(shí)，λ取得最大值?6?-?2?.故λ∈[1，?6?-?2?].

通過適當(dāng)?shù)臉?gòu)造，將該題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問題，加深對(duì)性質(zhì)的進(jìn)一步理解，在解題時(shí)起到事半功倍的目的，在該過程中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，緊扣性質(zhì)開展探究，抓住問題的特點(diǎn)，三點(diǎn)共弧，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，最終達(dá)到解決問題的目的.在解題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理，培養(yǎng)他們善于觀察、發(fā)現(xiàn)、化歸的能力，利用向量提高解題能力.

2?交叉性質(zhì)

平面向量基本定理讓平面內(nèi)的所有向量都能夠借助一組基底來(lái)表示，正確快速用基底表示向量，是學(xué)生必須掌握的技能，在三角形中，我們經(jīng)常遇到比分點(diǎn)問題，仔細(xì)研究這類問題，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很有趣的性質(zhì)，不妨取名為交叉性質(zhì)：

交叉性質(zhì)???如圖2，在ΔABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，滿足BD=λBC，則?AD??=（1-λ）?AB??+λ?AC??.

證明

因?yàn)锽D=λBC，所以?BD??=λ?BC??，

所以?AD??=?AB??+λ?BC??=?AB??+λ（?AC??-?AB??）

=（1-λ）?AB??+λ?AC??.

讓我們來(lái)做更進(jìn)一步的觀察，在圖2中，由BD=λBC，可知DC=（1-λ）BC，將點(diǎn)D分線段BC所得的線段BD、DC的比例系數(shù)分別標(biāo)在對(duì)應(yīng)線段的下方，再用如圖所示的虛線箭頭，將兩個(gè)系數(shù)指向三角形的相對(duì)應(yīng)的兩邊，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有趣的現(xiàn)象：在式子?AD??=（1-λ）?AB??+λ?AC??中，?AB??、?AC??與系數(shù)1-λ、λ交叉對(duì)應(yīng)，顧名交叉性質(zhì). 顯然，交叉性質(zhì)延續(xù)了三點(diǎn)共線性質(zhì)，討論了關(guān)于三角形某邊上的三點(diǎn)共線問題.可用于解決三角形中定比分點(diǎn)問題：

例2???如圖3，在ΔABC中，點(diǎn)D分BC為2：1，點(diǎn)E分AC為4：1，AD交BE于F，求AF：DF的值.

該題可用幾何方法，通過適當(dāng)?shù)妮o助線加以求解，計(jì)算較為繁瑣，用三點(diǎn)共線的向量法就很簡(jiǎn)單了，由于A、F、D三點(diǎn)共線，記?BF??=α?BD??+β?BA??，則AF：DF=α：β，而?BE??=?4?5??BC??+?1?5??BA??（），記?BE??=λ?BF??，且由于?BC??=?3?2??BD??，則（）式可改寫為

BF??=?6?5λ??BD??+?1?5λ??BA??，

所以AF：DF=α：β=?6?5λ?：?1?5λ?=6：1.

相同的思路我們可以求解BF：FE的值，這里不再贅述.

3?極化恒等式

實(shí)際上，在計(jì)算向量的數(shù)量積問題中，常規(guī)的方法有定義法、坐標(biāo)法以及分解法.在遇到相關(guān)問題時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生善于分析，對(duì)于數(shù)量積問題，往往要采取坐標(biāo)法或者分解法，而在分解法中有一種特殊的分解，根據(jù)高等數(shù)學(xué)泛函分析中介紹了

極化恒等式???a?→?·b?→?=?1?4???（a?→?+b?→?）??2+?（a?→?-b?→?）??2?.

高中階段的極化恒等式是可在三角形中表達(dá)它的的幾何意義：?????若M為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意點(diǎn)，則 ?OA??·?OB??=OM?2-AM?2.

極化恒等式利用中點(diǎn)分解向量，避開了數(shù)量積運(yùn)算時(shí)求夾角的問題，減少計(jì)算量，轉(zhuǎn)化為幾何長(zhǎng)度的計(jì)算，接下來(lái)我們來(lái)看它在高考中是如何考查的.

例3???（2016年江蘇卷）如圖4，在ΔABC中，D為BC的一點(diǎn)，E、F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，?BA??·?CA??=4，?BF??·?CF??=-1，則?BE??·?CE??的值是?.

這道題的特點(diǎn)突出：數(shù)量積，中點(diǎn)！從給的的圖形來(lái)看也具有一定的美感，是極化恒等式的典型運(yùn)用，轉(zhuǎn)化?BF??·?CF??=?FB??·?FC??=FD?2-BD?2=-1，???BA??·?CA??=?AB??·?AC??=AD?2-BD?2=4，令FD=a，BD=b，則AD=3a，

所以??9a?2-b?2=4a?2-b?2=-1??，解得a?2=?5?8?，b?2=?13?8?，

所以?BE??·?CE??=?EB??·?EC??=ED?2-BD?2

=?（2FD）??2-BD?2=4a?2-b?2=?7?8?.

4?結(jié)語(yǔ)

向量本身具有代數(shù)的抽象性和幾何的直觀性，在高中數(shù)學(xué)中不僅是一種知識(shí)，更是一種方法、思想.以上關(guān)于平面向量的性質(zhì)，無(wú)一不體現(xiàn)了它們?cè)诮忸}方面的優(yōu)勢(shì)，我們?cè)趶?qiáng)調(diào)解題技巧的同時(shí)，重視方法的理解和掌握，重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生立足課本知識(shí)進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，通過邏輯推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，降低知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，提高知識(shí)的運(yùn)用能力.本文所介紹的四個(gè)性質(zhì)，無(wú)一不展示了數(shù)學(xué)的美感——簡(jiǎn)潔、和諧、對(duì)稱，同時(shí)借助例題，特別是高考題目的運(yùn)用，引發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的重視和學(xué)習(xí)欲望，大大提高了數(shù)學(xué)的欣賞價(jià)值和實(shí)用性，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高他們的解題能力.

【受汕頭市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃項(xiàng)目（2021GHB034）資助】

參考文獻(xiàn)：

[1]. ??中華人民共和國(guó)教育部.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]?余文森.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)[M].上海教育出版社有限公司，2017.7：210

[3]?素敏.高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的組成及培養(yǎng)策略[J].中國(guó)多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報(bào)，2022（03）