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    高中數(shù)學(xué)排列組合的解題技巧

    2022-05-30 10:48:04嚴(yán)步勝
    數(shù)理天地(高中版) 2022年12期
    關(guān)鍵詞:排列組合解題思路解題策略

    嚴(yán)步勝

    【摘要】高中數(shù)學(xué)排列組合問題較為抽象,掌握一定的解題技巧,可迅速找到解題思路,提高解題正確率.本文主要介紹捆綁法、插空法、隔板法、間接法、特殊元素法在解題中的具體應(yīng)用.

    【關(guān)鍵詞】 排列組合;解題思路;解題策略

    1 常見問題以及原因分析

    1.1 理論知識(shí)薄弱

    現(xiàn)階段,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,針對排列組合主要存在理論知識(shí)薄弱的問題,想要了解排列組合,必須要明白“排列”和“組合”這兩種問題的聯(lián)系和區(qū)別,兩者所涉及到的思維和計(jì)算公式存在比較大的區(qū)別,對此,教師利用傳統(tǒng)的教學(xué)方法,會(huì)直接導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)審題不清晰的情況,不能正確認(rèn)識(shí)到問題類型,從而導(dǎo)致在計(jì)算過程中出現(xiàn)公式錯(cuò)誤的現(xiàn)象,長期以往,便會(huì)形成錯(cuò)誤的思維觀念,使其計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.

    1.2 計(jì)算不當(dāng)

    數(shù)學(xué)知識(shí)自發(fā)展以來,排列組合便是重要的知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生的綜合能力和思維能力,但是,由于其計(jì)算層面過于單一,沒有涉及到新的方法,學(xué)生便會(huì)出現(xiàn)粗心的現(xiàn)象,從而經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算以及數(shù)據(jù)遺漏等問題,在這種狀態(tài)下,在進(jìn)行考試時(shí),學(xué)生對經(jīng)常出現(xiàn)丟分等問題.

    1.3 重要條件遺漏

    在排列組合知識(shí)教學(xué)中,題目條件是保證解題正確與否的重要環(huán)節(jié),由于在常見的問題中,所涉及到的情境比較復(fù)雜多變,所體現(xiàn)出來的題目形式也變化多端,對此,學(xué)生在進(jìn)行求解時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)可能一個(gè)符號(hào)的改變將會(huì)直接影響到計(jì)算條件,從而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算過程出現(xiàn)偏移.學(xué)生在審題過程中,如果不能將題目中現(xiàn)有的信息進(jìn)行整理,那么將會(huì)直接導(dǎo)致其判斷失誤,最終無法得到正確結(jié)果.

    2 相關(guān)方法和思想刨析

    2.1 捆綁法

    例1 用1~8共8個(gè)數(shù)字組成不重復(fù)的八位數(shù),要求1和2相鄰,3和4相鄰,7和8不相鄰,則這樣的八位數(shù)有個(gè)__________.

    解析 1和2相鄰可將其捆綁成一個(gè)元素M,兩者之間可進(jìn)行全排共有A22種排法;同理,3和4相鄰捆綁成一個(gè)元素N,也有有A22種排法;則M、N、5、6全排有A44種排法;排好的元素形成5個(gè)空隙,將7和8插入空隙中有A25中方法.則可組成八位數(shù)的個(gè)數(shù)為A22A22A44A25=2×2×4×3×2×1×5×4=1920個(gè).

    2.2 插空法

    例2 5個(gè)女孩和6個(gè)男孩圍成一個(gè)圈,任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩,則不同的排法有種________.

    解析 女孩有5個(gè),男孩有6個(gè)且任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩,則有且僅有2個(gè)男孩站在一起.先將5個(gè)女孩站成一個(gè)圈,共有排法5!/5=24種;此時(shí)形成5個(gè)空隙,將6個(gè)男孩按照1、1、1、1、2分成5組,有C26=15種分法;將男孩插入到空隙中有A55=120種方法;站在一起的男孩有2種站法,因此,不同的排法有:24×15×120×2=86400種排法.

    2.3 隔板法

    例3將15個(gè)三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共4個(gè)班級(jí),其中1班至少2個(gè)名額,2班、4班每班至少3個(gè)名額,3班最多2個(gè)名額,則共有________種不同分配方案.

    解析 3班最多有2個(gè)名額,因此,可分為2個(gè)名額、1個(gè)名額、0個(gè)名額三種情況進(jìn)行討論.(1)當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí),給1班分1個(gè)名額,2班和4班每班2個(gè)名額,還剩余8個(gè)名額;(2)8個(gè)名額有7個(gè)空隙,插入2個(gè)隔板分層三組,1班、2班、4班各分得一組,共有分法C27種;(3)當(dāng)3班有1個(gè)名額時(shí),給1班分1個(gè)名額,2班和4班每班2個(gè)名額,剩余9個(gè)名額有8個(gè)空隙,插入2個(gè)隔板分層三組,1班、2班、4班各分得一組,共有分法C28種;當(dāng)3班沒有名額時(shí),給1班分1個(gè)名額,2班和4班每班2個(gè)名額,在10個(gè)名額的9個(gè)空隙中插入2個(gè)隔板分層三組,1班、2班、4班各分得一組,共有分法C29種;綜上共有分配方案C27+C28+C29=21+28+36=85種.

    2.4 間接法

    例4 派遣6為老師到甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校開展支教活動(dòng),其中甲、乙學(xué)校各派遣1人,剩余兩個(gè)學(xué)校各派遣2個(gè)人,要求李老師和王老師不能派遣到一個(gè)學(xué)校,則可能的方案有多少種?

    解析 可先不考慮兩位老師的特殊要求,對名額進(jìn)行全排,而后減去兩位老師派遣到一個(gè)學(xué)校的情況.從6位老師選取一位到甲學(xué)校,有C16種選法;在剩余5位老師中選取一位到乙學(xué)校,有C15種選法,剩余4位教師平均分成兩組,派遣到剩余兩個(gè)學(xué)校,共有C24C22/A22×A22種排法;將李老師和王老師派遣到一起,到丙學(xué)校或者丁學(xué)校,共有2種可能;在剩余4為老師中選出一位到甲學(xué)校,有C14種方法;在剩余3位老師選出一位到乙學(xué)校共有C13種方法.最后兩位老師均到同一所學(xué)校,有1種可能.綜上滿足題意的方案有C16×C15×C24C22/A22×A22-2C14C13=180-24=156種.

    2.5 特殊元素法

    例5 用0~5共6個(gè)數(shù)字,組成能夠被5整除且不重復(fù)的五位數(shù)有多少個(gè)?

    解析 先分析被5整數(shù)的五位數(shù)有什么特點(diǎn),即,個(gè)數(shù)數(shù)是0或5,而后在進(jìn)行分類分析.當(dāng)末尾數(shù)為0時(shí),則從1~5位數(shù)數(shù)字選取4個(gè)全排,共有A45=120個(gè);當(dāng)末尾數(shù)為5時(shí),則首位不能為0,首位有C14種選法,中間數(shù)字無限制,共有排法A34種.綜上滿足題意的五位數(shù)有A45+C14A34=120+96=216個(gè).

    2.6 分類討論法

    在數(shù)學(xué)教學(xué)中,分類討論法是比較常見的數(shù)學(xué)方法,其主要核心是在解題過程中結(jié)合現(xiàn)有對象存在的差異進(jìn)行劃分類別,同時(shí),要保證在分類時(shí)明確分類原則的確定.只有在解題過程中充分利用分類討論法,將題目中存在的條件等因素進(jìn)行分類討論,這樣才能夠在解決排列組合問題時(shí),避免出現(xiàn)重復(fù)和數(shù)據(jù)遺漏等問題,

    例6 箱子中有8個(gè)大小完全相同的小球,其中5個(gè)小球的顏色相同,而剩下3個(gè)小球分別為紅、黃、綠,這三個(gè)小球代表優(yōu)秀獎(jiǎng)、先進(jìn)獎(jiǎng)和進(jìn)步獎(jiǎng),顏色相同的小球?yàn)楣膭?lì)獎(jiǎng),現(xiàn)將這些小球放入箱子中,安排4位學(xué)生進(jìn)行抽取,試討論獲獎(jiǎng)情況.

    解析 由現(xiàn)有條件可知,每個(gè)學(xué)生可以得到兩個(gè)小球,對此,可以對其進(jìn)行以下分類:

    由已知條件可知,每個(gè)人會(huì)得到兩個(gè)小球,可以進(jìn)行如下分類:首先,如果一個(gè)人獲得兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),一個(gè)人獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),剩下的學(xué)生沒有獲得獎(jiǎng)項(xiàng).其次,如果其中四個(gè)人中有三人個(gè)人分別獲得獎(jiǎng)項(xiàng),那么剩余一人沒有獎(jiǎng)項(xiàng).按照這種方式,進(jìn)行分類討論時(shí),便要充分將這兩種情況納入到計(jì)算中來,可以有效對每一種類別進(jìn)行計(jì)算.對此,在計(jì)算中,需要從有獎(jiǎng)的小球中進(jìn)行挑選,放到A位置,其中有C23=3(種)可能,那么剩下的小球便有各有一個(gè)無獎(jiǎng)和有獎(jiǎng),在其他位置中,各有兩個(gè)無差別的無獎(jiǎng)小球;接著從其他角度出發(fā),現(xiàn)已知有獎(jiǎng)的為A、B,從四位學(xué)生中隨機(jī)抽選出兩位學(xué)生進(jìn)行抽獎(jiǎng),在此期間,要保證結(jié)構(gòu)存在差異性,對此,將其問題轉(zhuǎn)換為排列問題,其中A=12,那么共有36種情況.另外一種方法,便是從四人中選出三人去抽獎(jiǎng),最后一位學(xué)生在其余三人抽獎(jiǎng)結(jié)束后進(jìn)行,對此,在這種方法下,共有24種情況,從上述分析中,可以發(fā)現(xiàn)總共有60種情況.

    綜上所述,排列組合不同的解題技巧有著對應(yīng)的適用情境,因此,應(yīng)做好不同解題技巧適用題型的總結(jié),把握相關(guān)解題技巧的特點(diǎn),搞清楚各解題技巧之間的區(qū)別與聯(lián)系,尤其認(rèn)真分析各解題技巧應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)以及細(xì)節(jié),并靈活應(yīng)用于解題中,促進(jìn)解題能力的進(jìn)一步提高.

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