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    梅森質(zhì)數(shù)大搜索

    2022-05-30 10:48:04趙新勝
    數(shù)理天地(初中版) 2022年13期
    關(guān)鍵詞:梅森合數(shù)反例

    趙新勝

    2018年12月,人們用計算機成功發(fā)現(xiàn)了第51個質(zhì)數(shù),是當(dāng)今已知最大的質(zhì)數(shù).這個質(zhì)數(shù)是2的82589933次方減1,即282589933-1,擁有24862048位數(shù)字,如果用普通字號將它打印下來,其長度將超過100公里!

    我們都知道質(zhì)數(shù)是只能被1和本身整除的數(shù),例如,2,3,5,7,11等.2300多年前,希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德證明了質(zhì)數(shù)是無限的,并提出少量質(zhì)數(shù)可寫成2P-1的形式,這里的P也是一個質(zhì)數(shù).此后許多數(shù)學(xué)家曾對這種質(zhì)數(shù)進行了研究.起先,人們很容易找出了前四個符合這種形式的質(zhì)數(shù),那就是3,7,31,127(當(dāng)P分別為2,3,5,7時).同學(xué)們不要以為這種數(shù)很好找,當(dāng)人們找到五個這種質(zhì)數(shù)時已過去了一千多年.一千多年才艱難地跨出一步,可見發(fā)現(xiàn)這種質(zhì)數(shù)是多么的不容易!

    那為什么這種質(zhì)數(shù)又稱為梅森質(zhì)數(shù)呢?原來,在17世紀(jì)的法國有個教士馬丁·梅森 ,他花費了很大的精力,對形狀如2P-1的數(shù)進行了研究.他發(fā)現(xiàn),如果P是合數(shù),2P-1肯定不是質(zhì)數(shù).例如P=4時,24-1=15=3×5不是質(zhì)數(shù);當(dāng)P是質(zhì)數(shù)時,2P-1是不是質(zhì)數(shù)呢?他驚喜地發(fā)現(xiàn):

    當(dāng)P=2時,22-1=3;

    當(dāng)P=3時,23-1=7;

    當(dāng)P=5時,25-1=31;

    當(dāng)P=7時,27-1=127.

    這里的3,7,31,127都是質(zhì)數(shù),于是梅森在1600年提出了一個猜想:當(dāng)P是質(zhì)數(shù)時,任何形如2P-1的數(shù)都是質(zhì)數(shù).

    這是數(shù)學(xué)家研究問題常用的方法:先對這個問題找到一個或幾個特殊解,進而從各個方面反復(fù)地考察這些解,從中找出問題的一般規(guī)律.當(dāng)然,這樣得到的規(guī)律或提出的猜想還有待證明,并不一定正確.同學(xué)們都知道肯定一個猜想,需要對問題的各種情況進行論證;否定一個猜想,卻只需要一個反例.梅森猜想提出后,不少數(shù)學(xué)家認(rèn)為當(dāng)P為質(zhì)數(shù)時,2p-1不一定都是質(zhì)數(shù),但都沒有找出具體的反例來說明其是錯誤的.

    1903年10月,哥倫比亞大學(xué)教授科爾應(yīng)美國數(shù)學(xué)協(xié)會的邀請,在紐約作學(xué)術(shù)報告.科爾從容地走上講臺,卻一言不發(fā),只是轉(zhuǎn)身在黑板上寫出了這樣一個算式:267-1=193707721×761838257287,便默默地回到了自己的座位上.到會的數(shù)學(xué)家們很快“聽”懂了報告的含義,會場上立刻爆發(fā)出經(jīng)久不息的掌聲.科學(xué)家們明白了他已證明267-1是一個合數(shù),而不是梅森所說的質(zhì)數(shù),解決了三百多年來沒有解決的難題.梅森的猜想是錯誤的.

    盡管如此,他給數(shù)學(xué)家們指明了尋找最大質(zhì)數(shù)的一個方向.人們對梅森的探索精神和在這個問題上所做的貢獻,還是給予充分的肯定,把形狀如2P-1的數(shù)叫“梅森數(shù)”,形狀如2P-1的質(zhì)數(shù)叫做“梅森質(zhì)數(shù)”.

    不難看出,隨著P的增大,梅森質(zhì)數(shù)增大的十分迅速,要找出梅森質(zhì)數(shù)所需要的計算也迅速增加.多少年來,數(shù)學(xué)家們沿著梅森開辟的道路,爭奪發(fā)現(xiàn)已知的最大質(zhì)數(shù)的榮譽一刻也沒有停止過.

    1772年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在雙目失明的情況下,以頑強毅力靠心算發(fā)現(xiàn)了第8個當(dāng)時最大的梅森質(zhì)數(shù)(P=31),它的記錄保持了一個多世紀(jì).在“手算筆錄年代”,人們歷盡艱辛一共才找到12個梅森質(zhì)數(shù).1964年伊利諾大學(xué)的數(shù)學(xué)家在計算機上算出了第23個梅森質(zhì)數(shù),這時的P=11213,它有3376位數(shù)字.當(dāng)時讓全世界都羨慕這一成就,在該校數(shù)學(xué)系寄出的每一封信上都印上了這個巨大的梅森質(zhì)數(shù).隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,電腦的智能化,人們探索梅森質(zhì)數(shù)的步伐有所加快.美國密歇根州立大學(xué)一位26歲的學(xué)生邁克爾·謝弗他志愿參加“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)搜索計劃”(GIMPS),他才花了19天就發(fā)現(xiàn)了第40個梅森質(zhì)數(shù),成為全球幾十萬名志愿者中發(fā)現(xiàn)新梅森質(zhì)數(shù)的幸運兒.

    梅森質(zhì)數(shù)在當(dāng)代具有重大的理論意義和豐富的實用價值.它是發(fā)現(xiàn)已知最大質(zhì)數(shù)的最有效途徑,促進了計算技術(shù)、密碼技術(shù)、程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展.由于梅森質(zhì)數(shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持,所以許多科學(xué)家認(rèn)為:梅森質(zhì)數(shù)的研究成果是一個國家科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志之一.

    人們到底能找到多少個梅森質(zhì)數(shù)?自然數(shù)是無盡的,人類的智慧也是無盡的.

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