初中二次函數(shù)應(yīng)用題的解題方式

葉蔥蔥

【摘要】二次函數(shù)作為近年來中考數(shù)學(xué)常見題型，這一必考知識點，還在初中函數(shù)教學(xué)中占據(jù)重要地位.二次函數(shù)有多元化表現(xiàn)形式，包括等式等代數(shù)形式或拋物線等幾何形式，這要求學(xué)生可以具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和抽象思維能力.在數(shù)學(xué)考試中應(yīng)用題需要結(jié)合案例，應(yīng)用學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識點，所以對學(xué)生的結(jié)合問題背景建立抽象數(shù)學(xué)模型的能力提出較高要求，可以運用科學(xué)求解方法.本文將對初中二次函數(shù)應(yīng)用題的解題方式進(jìn)行一一闡述，旨在可以為師生在初中二次函數(shù)應(yīng)用題解題的教與學(xué)提供參考作用.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);應(yīng)用題;數(shù)學(xué)解題

1 ?待定系數(shù)法型

此類二次函數(shù)應(yīng)用題通常會在題設(shè)中，為學(xué)生明確已給兩個變量值存在二次函數(shù)關(guān)系，以及具體存在幾對變量值，求解函數(shù)關(guān)系式簡單應(yīng)用，關(guān)鍵在于可以對待定系數(shù)法熟練使用，準(zhǔn)確求解函數(shù)關(guān)系式.

例1 某一超市所售價臺燈為20元/臺，調(diào)查后發(fā)現(xiàn)每天這款臺燈可以銷售w（臺），每臺的銷售單價是（x）元，已知w滿足w=-2x+80，假設(shè)每天此款臺燈可以銷售利潤達(dá)到y(tǒng)（元）.

求解 （1）x、y二者之間函數(shù)關(guān)系式.

（2）在定價每臺銷售單價是多少，每天可以獲得多少利潤？最大利潤可以達(dá)到多少？

（3）確保銷售量盡可能大的前提下，如果此超市每天銷售臺燈利潤想要達(dá)到150元，需要定價每臺銷售單價為？

分析 求解第一個問題時，通過利用臺燈的每臺銷售利潤與銷售量相乘即可獲得每天利潤，根據(jù)y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600.

求解第二個問題時，根據(jù)上一問題求解所獲二次函數(shù)，運用二次函數(shù)性質(zhì)最終求解最大利潤值與銷售單價.因為y=-2x2+120x-1600，可得y=-2（x-30）2+200，所以在單價x為30元時能夠得到最大利潤y為200元.

求解第三個問題時，在函數(shù)內(nèi)代入y=150，求解對應(yīng)x值，并根據(jù)w和x關(guān)系將與題意不合的值舍去.根據(jù)本題已知條件假設(shè)y為150，那么-2（x-30）2+200=150，可以求解得出x1為25，x2為35.又因銷售量w滿足w=-2x+80這一條件，會隨著臺燈的銷售單價增大而隨之減小，所以最終確定x為25時，不僅可以保證達(dá)到最大銷售量，還可以確保每日銷售利潤達(dá)到150元.

點評 這一題型考點為應(yīng)用二次函數(shù)，第一個問題主要是要求學(xué)生可以根據(jù)題意成功獲得二次函數(shù);第二個問題是考察學(xué)生是否可以根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解最大值;第三個問題是根據(jù)二次函數(shù)值，求解x獲得最終答案.

2 ?分析數(shù)量關(guān)系型

此類題型通過在題目中與學(xué)生在生活中的實際情況相結(jié)合，創(chuàng)設(shè)題目情境給出一定數(shù)、量關(guān)系，要求在分析基礎(chǔ)上寫出函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行應(yīng)用，學(xué)生在解題過程中需要對題意認(rèn)真分析，正確寫出數(shù)量關(guān)系式.

例2 在建設(shè)“五個重慶”中，為了充分改當(dāng)?shù)鼐用竦囊司迎h(huán)境，在某區(qū)域規(guī)劃修建（如圖1所示）的文化廣場，此廣場ABCD作為四邊形矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓，假若整個廣場的周長為628m，假設(shè)矩形AB邊長度為y米，BC邊長度為x米，（注：π取值3.14）.

求解 （1）嘗試用含有x的代數(shù)式表示y;

（2）根據(jù)現(xiàn)有計劃對于ABCD矩形區(qū)域內(nèi)，種植花草鋪設(shè)鵝卵石等，每平方米造價均值428元，四個半圓區(qū)域內(nèi)分別種植花草，并鋪設(shè)花崗巖，每平方米平均造價均值為400元.

①假設(shè)工程共計花費W元，求解關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

②假若當(dāng)?shù)卣畬Υ斯こ掏度?000萬元預(yù)期成本，這項工程是否可以達(dá)到建設(shè)目標(biāo)，如果可以請列舉設(shè)計方案，如果不能請說明理由.

③如果當(dāng)?shù)卣畬@項工程投入1000萬元基礎(chǔ)上，在社會間多方集資募捐64.82萬元，可是要求工程區(qū)域的矩形BC邊，長度要小于AB邊長度的23，還要求施工單位剛好用完全部資金.問是否可以完成這一工程任務(wù)，如果可以列舉可能性方案，如果不能說明理由.

分析 （1）通過分割本道題目圖形進(jìn)行拼湊，運用圓周長計算公式整理解答即可.

根據(jù)題干給出已知條件πy+πx=628，

因為3.14y+3.14x=628，

又已知x+y=200，所以y=200-x.

（2）求解第一個問題，通過結(jié)合圖形特點，求解種植花草與鵝卵石的具體鋪設(shè)面積，獲得此工程的總造價解答.

W=428xy+400πy22+400πx22

=428x（200-x）+400×3.14×（200-x）24

+400×3.14×x24

=200x2-40000x+12560000.

求解第二個問題，可以運用配方法即可求解最小值，對此結(jié)果驗證最終得到結(jié)論：如果僅僅利用政府投入此工程的1000萬元并不達(dá)到建設(shè)目標(biāo)，這時因為根據(jù)第一個問題已經(jīng)可以得到W=200（x-100）2+1.056×107>107，所以假設(shè)不成立.

求解第三個問題，通過構(gòu)建不等式和一元二次方程，即可聯(lián)系實際求解答案最終成功解決這道題目.

根據(jù)這道題目的題意，獲得已知條件x≤23y，也就是x≤23（200-x），所以可以求解x≤80.

由于0≤x≤80，根據(jù)題意給出條件W=200（x-100）2+1.056×107=107+6.482×105，對此方程式整理后可得（x-100）2=441，即可獲得x1為79，x2為121，因此得到把本次工程的設(shè)計方案，應(yīng)該保證矩形AB邊的長度為121米，BC邊的長度為79米，分別將各邊作為直徑向外半圓.

點評 這一題型主要考察學(xué)生是否可以在工程問題中應(yīng)用二次函數(shù)，通過根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系與組合圖形面積，成功列舉二次函數(shù)，并運用配方法求解極值，之后可以與不等式、一元二次方程式相結(jié)合，求解實際問題.

3 構(gòu)建模型法

在完成二次函數(shù)應(yīng)用題解題中，學(xué)生可以自主構(gòu)建二次函數(shù)模型，通過運用二次函數(shù)圖象、性質(zhì)來解決實際問題.但是在應(yīng)用此種方法時對建模要求較高，有一定難度.

例3 （如圖2所示）拋物線m：y=ax2+b（a<0，b>0），和x軸于A、B兩點，（A在B的左側(cè)），相交于y軸，C點為交點.將拋物線m圍繞B旋轉(zhuǎn)180°，可以獲得新的拋物線n，C1為頂點，交x軸另一交點A1.

求解 （1）在a為-1，b為1的情況下，列出拋物線n解析式;

（2）四邊形AC1A1C屬于哪類特殊四邊形，請寫出結(jié)果并說明理由;

（3）假若四邊形AC1A1C為矩形，求解a、b滿足條件的關(guān)系式.

分析 求解第一個問題時，通過在題干中已給出a為-1，b為1條件下，列出拋物線m解析式，并運用C、C1有關(guān)B點呈中心對稱性，可以得到二次函數(shù)頂點坐標(biāo).

根據(jù)題干已知a為-1，b為1情況下，建立拋物線m解析式為y=-x2+1，

令x=0情況下，可以得出y=1.

由于C（0，1），令y為0，得x=±1，

所以A（-1，0），B（1，0）.

因為C、C1作為B點中心對稱，

所以n拋物線解析式為：y=（x-2）2-1=x2-4x+3.

求解第二個問題時，通過運用兩組對邊相等四邊形，即平行四邊形就可獲得答案.

四邊形AC1A1C作為平行四邊形，

因為C、C1，A、A1均關(guān)于B點中心對稱，

所以AB=BA1，BC=BC1，

所以AC1A1C也就作為平行四邊形.

求解第三個問題時，通過根據(jù)矩形性質(zhì)，保證AC1A1C作為矩形，就需要滿足AB=BC這一條件，從而求解最終答案.

令x=0，可得y=b，

所以C（0，b），

令y=0，可得ax2+b=0，

所以x=±-ba，

所以A--ba，

0，B-ba，0，

所以AB=2-ba，

BC=OC2+OB2

=b2-ba，

想要讓平行四邊形AC1A1C為矩形，

必須滿足AB=BC，

所以2-ba=b2-ba，

所以4-ba=b2-ba，

ab=-3，

所以a、b需要滿足關(guān)系式為ab=-3.

點評 本題考察學(xué)生對代數(shù)幾何綜合題應(yīng)用二次函數(shù)知識點的解題方法，主要結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，還有矩形性質(zhì)，點的坐標(biāo)關(guān)于一點中心對稱性，靈活運用平行四邊形性質(zhì)成功解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]梁勤旺.二次函數(shù)應(yīng)用題的常見題型及解題思路探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（Z3）：2.

[2]潘薇羽.重組CPFS結(jié)構(gòu)，增加網(wǎng)絡(luò)結(jié)點，提高解題能力——針對二次函數(shù)應(yīng)用題的解題教學(xué)研究[J].廣西教育，2012（34）：2.

[3]徐新文，蘇國文.中考二次函數(shù)應(yīng)用題特點解析及變式的預(yù)測[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2010（1）：3.

[4]羅峻，段利芳.變式課本二次函數(shù)應(yīng)用題[J].理科考試研究，2020，27（10）：3.