基于“兩個過程”合理性理念的解析幾何教學設計

摘? 要：在解決解析幾何問題的過程中，計算的勇氣和方法對學生來說都至關(guān)重要. 通過課例“點到直線的距離”，在“兩個過程”合理性理念的指導下，培養(yǎng)學生學會建立解析幾何的數(shù)形結(jié)合和問題解決的常規(guī)思維模式，致力于學生數(shù)學思維的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：兩個過程;合理性;點到直線的距離;數(shù)形對應;數(shù)學思維

一、問題緣起

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）把“點到直線的距離”設置在第二章“直線和圓的方程”第三節(jié)的第三課時，這樣的編排與上一版教材有很大的不同. 教材不僅給出了點到直線的距離公式兩種完整的證明方法（坐標法和向量法），還以思考的方式提出“設而不求”的證明方法讓學生嘗試探索，最后追問是否還有其他證明方法. 教材試圖通過探尋多種解法的過程促進學生優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展思維品質(zhì)，以達到提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

點到直線的距離公式推導是學生在學習解析幾何之后遇到的第一個比較煩瑣的公式推導. 在教學中，引導學生從策略和心理上克服這個困難，讓學生在推導過程中體會如何合理建立解析幾何的數(shù)形對應，對學生未來的解析幾何學習有重大意義. 從這個角度來講，點到直線的距離公式推導過程的價值遠大于點到直線的距離公式本身.

二、教學方法的選擇

如果直接讓學生推導點到直線的距離公式，由于推導過程中都是形式化的運算，學生會感到難度很大. 因此，本教學設計采用從特殊到一般的研究途徑，以具體問題為切入口，引導學生感知和歸納公式推導的策略，即將感性素材轉(zhuǎn)化為理性思考，從而突出教學重點、突破教學難點.

在實際課堂教學中，教師如何做到既讓數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展過程合理，又讓學生的認知過程和思維過程合理，是本節(jié)課設計的關(guān)鍵.

為了突破這個教學難點，筆者以一組引例觸發(fā)學生積極思考. 學生通過感性操作建構(gòu)了理性的邏輯推理過程. 教師將數(shù)學思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分暴露在學生面前，吸引學生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程.

三、教學過程設計

四、教學反思

對于大多數(shù)教師而言，這樣的教學設計可能“偏離”重點（把過多的時間放在研究推導公式的策略上，課堂效率看起來比較低），大家更喜歡給出思路，告知結(jié)果后，引導學生用公式求點到直線的距離以及其他相關(guān)問題，從而訓練學生的解題能力.

但是從學生的長遠發(fā)展來看，深入挖掘公式推導過程中的思維方法，有助于培養(yǎng)學生多角度分析問題和解決問題的能力，是對學生將來學習解析幾何尤其是解決代數(shù)運算問題的一種有價值的“投資”. 在這節(jié)內(nèi)容的編寫上，教材非常重視對學生代數(shù)運算能力的培養(yǎng)，從最樸素的想法出發(fā)，鼓勵學生有“硬”算的勇氣. 看似是最“笨”的方法，其實是一種常規(guī)的思維模式. 在未來解決問題的過程中，大多數(shù)問題都還是依賴這種最樸素的通性、通法來解決. 在“硬”算的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學生尋求多角度解決問題的方法. 在這個過程中，讓學生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過自己的體驗，再一次感受橫跨代數(shù)和幾何的向量的“威力”. 教材中的概念、定理、公式和方法的講授都應該基于理解，基于學生對數(shù)學本質(zhì)的認識. 正如日本數(shù)學教育家米山國藏所言，作為知識的數(shù)學出了校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使人終身受益. 學生將知識忘卻后剩下的東西便是數(shù)學思維. 整個教學設計就是以學生現(xiàn)有的能力為出發(fā)點，生長其智慧，培養(yǎng)其數(shù)學思維，最終培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng). 有道是：結(jié)果誠可貴，過程價更高. 只有教師致力于學生數(shù)學思維的養(yǎng)成而教，才能使學生真正實現(xiàn)為自己數(shù)學思維的養(yǎng)成而學.

參考文獻：

[1]章建躍. 核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材變革（續(xù)1）：《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2019（7）：6-11.

[2]王凱，蘇有生. 基于“兩個過程”的課堂教學設計：以“空間向量的正交分解及其坐標表示”為例[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2018（6）：38-40.