連點成線，滲透函數思想

顧文亞 許志君

在正比例教學中滲透函數思想，能有效銜接中小學教學內容，為學生學習函數圖像埋下伏筆?！罢壤龍D像”是蘇教版數學教材六年級下冊的教學內容，本節(jié)課主要通過正比例圖像的教學，立足生長點，關注細節(jié)點，發(fā)展延伸點，加深學生對正比例關系中數值變化規(guī)律的認識，初步滲透函數思想。

一、復習舊知，錨定起點

師：上節(jié)課我們通過研究表格里兩種相關聯(lián)量的數據變化，認識了正比例。誰來具體說說圖1中的表格所呈現的路程和時間為什么成正比例關系？

生：因為路程和時間是兩種相關聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。通過計算，路程和相對應時間的比值一定，也就是速度總是一定。所以表中汽車行駛的路程和時間成正比例關系。

師：誰還記得正比例關系可以用怎樣的式子表示？

生：y/x=k（一定）。

師：像圖1這樣的正比例關系，不僅可以用式子表示，還可以用圖像來表示。今天我們一起來學習正比例圖像。

【評析】正比例的學習，是學生第一次正式接觸“變量”關系，是函數思想在小學階段的初步滲透。本環(huán)節(jié)的復習，應用正比例的意義判斷兩種量是不是成正比例，為正比例圖像的認識、理解與繪制做鋪墊。

二、化靜為動，理解圖像

師：我們將表格里的時間欄畫成橫軸，橫軸上一格表示多少小時？（課件演示：從0開始，把橫軸向右拉動，動態(tài)出示刻度線和相應的數據，如圖2所示）

生：橫軸上的一格表示1小時。

師：隨著時間的變化，路程也隨著變化。這里的縱軸表示路程，縱軸上一格表示多少千米？

（課件演示：把縱軸向上拉動，動態(tài)出示刻度線和相應的數據，如圖2所示）

生：縱軸上的一格表示80千米。

師：橫軸和縱軸就表示表中兩種相關聯(lián)的量。

師：如果要用1個點表示1小時行駛80千米。這個點在哪里？你們是怎么找的？

師：如果要用1個點表示2小時行駛160千米呢？5小時呢？

（學生在作業(yè)紙上找一找）

師（指著圖3中的一個點）：老師在這張圖上也找了一個點，這個點表示什么意思？

生：這個點橫軸指向7，縱軸指向560，表示7小時行駛了560千米。

師：是的，我們用一個點就能表示這輛汽車行駛某段時間所對應的路程。你們還能找到像這樣的點嗎？

（學生同桌交流）

師（指著圖3中的點）：其實像這樣的點還有很多，比如，這個點，表示汽車1.2小時行駛96千米;這個點，表示汽車1.5小時行駛120千米;這個點，表示汽車4.3小時行駛344千米;這個點，表示汽車4.7小時行駛376千米……

師：把這些點連起來，你們有什么發(fā)現？

生：我發(fā)現這些點連起來是一條直線。

生：這些點連起來是一條線段。

師：對，這些點都在一條直線上，這條直線可以向兩端延長。瞧，這個“0”點，表示汽車處于什么狀態(tài)？

生：汽車還沒有啟動，處于靜止狀態(tài)。

師：是的，這條直線上的每一個點都可以表示一組對應的量。瞧，汽車以同樣的速度繼續(xù)行駛，路程就隨著時間的變化而變化。這條直線上的每個點都可以看出汽車行駛的時間和所對應的路程，這個圖像就表示了時間和路程的正比例關系（如圖4）。

師：根據圖4中的圖像，你們知道這輛汽車2.5小時行駛多少千米？行駛440千米需要多少小時？你們是怎么知道的？

生：我用直尺畫兩條虛線，就可以看出這輛汽車2.5小時行駛了200千米。

生：我用三角尺比一比，一條直角邊指向橫軸上的2.5，三角尺直角的頂點和這條直線相交，然后再看另一條直角邊指向幾就可以知道2.5小時行駛了200千米。

師：是個好辦法。根據已知數值2.5，找到圖像上對應的點，再順著這個點找到相對應的路程。

師：行駛440千米需要多少小時呢？

生：我用三角尺比一比，根據已知數值440，找到圖像上對應的點，再順著這個點找到相對應的時間。440千米需要5.5小時。

師：同學們巧用學具，根據圖像找到了相應的數據。接下來，請大家算一算路程和時間的比值是多少。

生：200÷2.5=80，比值是80。

生：400÷5=80，比值是80。

生：我覺得不管選哪個點，只要是在這條直線上，路程和時間的比值都是80。

師：在計算、觀察中同學們又有了新的發(fā)現和理解，這輛汽車行駛過程中隨著時間的變化，路程也隨之變化，但是速度不變?？粗鴪D4，我們還可以找到、聯(lián)想到更多這樣的點。所以，正比例圖像一般是從0開始畫一條射線。

師：點（4，160）在這條直線上嗎？為什么？

生：我從圖上看出，這個點不在這條直線上。

生：這輛汽車每小時行駛80千米，4小時應該行駛320千米，所以這個點不在這條直線上。

生：我也是這樣計算的，如果用160除以4，速度只有40，所以這個點不在這條直線上。

師：看來，利用正比例圖像，可以幫助我們解決實際問題。

【評析】這一環(huán)節(jié)的教學既要讓學生“看到”這些點在一條直線上，同時讓學生通過“算一算”，感受這些數值是特殊的，并通過反例“點（4，160）為什么不在這條直線上”的追問，明確只有當路程和時間的比值是80時，所對應的點才在這條直線上。在畫圖的過程中，清楚地感受到這條直線所包含的無數個點的共同特征，感知符合不變規(guī)律的“每組數”的無限性，即體會直線背后所蘊含的知識內核。

三、生活運用，感受價值

師：第1題（如圖5），請同學們自己做一做。

生：根據圖像是一條直線，可以知道小玲打字的數量和時間成正比例。

生：我用三角尺幫助看圖，根據省略號所繪制的圖像可以看出，小玲5分鐘可以打250個字，打750個字要超過14分鐘。

師：同學們學會了根據圖像分析、解決問題，再仔細觀察，圖6中這兩個圖像有什么相同的地方？

生：兩種量都表示正比例關系，所呈現的圖像都是一條射線。

生：每個點所表示的對應量的比值是一定的。

師：對，正比例關系的圖像就是像這樣的一條直線。上節(jié)課我們通過計算比值是否一定來判斷兩種量是否成正比例，現在我們還可以根據這樣的圖像直接判斷。

師：接下來，你們會根據圖7中的圖像直接判斷嗎？

生：圖7中的圖像是一條射線，所以路程和時間成正比例。

生：用三角尺比畫，從圖上可以看出，20分鐘所行的路程在4千米到8千米之間，更接近4千米，我估計比5千米多一些。

生：行10千米，10正好在8和12的中間，所以，我的三角尺這樣擺，順著另一條直角邊看下來，在30分和40分之間，我估計要行35分鐘。

師：同學們會使用工具，而且也做出了比較精準的比照和預估，真不錯。接下來根據這里的數據，你們能畫出圖像嗎？請同學們自己動手畫一畫。

【評析】在練習環(huán)節(jié)，教師安排了三個層次的練習。第1題，以形變數，根據圖像直接判斷兩種量之間的關系;第2題，以數化形，根據表格中的數據畫圖，理解關系，拓展優(yōu)化畫圖方法，進一步凸顯圖像的本質，滲透函數思想;第3題，形數互變，讓學生在解決問題的過程中感受圖像的價值，更直觀、更清楚，有助于學生分析與推理問題，滲透函數思想。

四、歸納整理，拓展延伸

師：今天我們認識了正比例圖像，誰來說說你的收獲？

師：如果橫軸上的量用x表示，縱軸上的量用y表示，在這樣的圖像上，可以找到任意一個x所對應的y。同學們，隨著以后的學習，這條直線還可以向其他方向延伸，你們覺得會形成怎樣的圖像呢？課后大家可以繼續(xù)研究。

【評析】正比例圖像是一種特殊的一次函數圖像，函數圖像既是一個重要的數學概念，又是研究函數的重要工具，對培養(yǎng)學生的函數觀念和數形結合思想具有重要作用。

【總析】

1.立足生長點，讓正比例關系“看得見”。在正比例圖像的形成過程中，“一個點能表示這輛汽車行駛某段時間及相應路程這樣一組對應的數值”，這是學生上節(jié)課學習的內容，在此基礎上教師提問“你們還能找到像這樣的點嗎”？預估學生找到的都是格點上的點，及時補充“其實像這樣的點還有很多”，隨機出示格點之間的點，不斷增加點的密度，讓學生初步感受這些點可能在一條直線上，清晰地看見這條直線上有很多個這樣的點，從而感受正比例圖像的連續(xù)性，滲透函數的連續(xù)性。

2.關注細節(jié)點，讓正比例關系“看得清”。正比例圖像是用一條直線把一些特殊的點連接起來。在連點成線的過程中，學生最容易忽視兩點：一是對圖像起點的認識，二是對圖像終點的認識。因此，本節(jié)課教學從“橫軸和縱軸的出示”“各點位置的確定”到“圖像的形成”，都以動態(tài)呈現?；o為動，在教學中關注橫軸與縱軸所表示的意思，關注點的位置的確定過程，在逐步呈現的過程中幫助學生經歷圖像的形成過程，促進學生對點所表示意思的理解，滲透函數思想。

3.發(fā)展延伸點，讓正比例關系“看得遠”。本節(jié)課教學從例題到習題的設計，數形結合，動態(tài)呈現。連點成線是繪制正比例圖像的方法和步驟，體現了正比例圖像的工具性。從有數個點走向無數個點，體現了正比例圖像的意義。

（作者單位：江蘇省無錫市張涇實驗小學 ）