PBL教學(xué)模式在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

陳家瑞 錢妍如 韋宏 郭倩

摘 要：隨著基礎(chǔ)教育改革的逐步深入，有關(guān)PBL教學(xué)模式的研究逐漸增多。數(shù)學(xué)概念具有抽象、概括的特點(diǎn)，很多學(xué)生在初步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)常感到困難，甚至出現(xiàn)抵觸情緒。PBL教學(xué)模式從生活情境入手，用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。文章以“任意角”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討了PBL教學(xué)模式在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：PBL教學(xué)模式;數(shù)學(xué)概念;教學(xué)設(shè)計(jì)

作者簡(jiǎn)介：陳家瑞（1985—），女，南寧師范大學(xué)。

錢妍如（1999—），女，南寧師范大學(xué)。

韋 宏（1968—），男，南寧師范大學(xué)。

郭 倩（1999—），女，南寧師范大學(xué)。

一、問(wèn)題提出

PBL教學(xué)模式是一種以問(wèn)題為基礎(chǔ)的教學(xué)模式，堅(jiān)持以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為中心。PBL教學(xué)模式的主要特點(diǎn)有：創(chuàng)設(shè)真實(shí)生活情境、設(shè)計(jì)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、注重合作學(xué)習(xí)。PBL教學(xué)模式依托真實(shí)的生活情境，其主要教學(xué)設(shè)計(jì)為問(wèn)題串，主要學(xué)習(xí)方式是小組合作[1];其強(qiáng)調(diào)將探究問(wèn)題的主導(dǎo)權(quán)交給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)教學(xué)總是與提出問(wèn)題和解決問(wèn)題緊密聯(lián)系?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題與分析、解決問(wèn)題的能力[2]。PBL教學(xué)模式通過(guò)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，利用問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，與課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求相契合。

抽象概括性是數(shù)學(xué)概念的一個(gè)顯著特點(diǎn)。部分教師喜歡把數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，再通過(guò)一定的作業(yè)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。這種教學(xué)模式難以發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，不符合當(dāng)代以學(xué)生發(fā)展為本、落實(shí)“立德樹(shù)人”根本任務(wù)的理念與要求。PBL教學(xué)模式從真實(shí)生活情境入手，以問(wèn)題串為主線，重在以問(wèn)題引發(fā)思考、由問(wèn)題引領(lǐng)思考[3]。PBL教學(xué)模式通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到概念的生成過(guò)程中，體驗(yàn)分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)科的理性精神。由此可見(jiàn)，應(yīng)用PBL教學(xué)模式于數(shù)學(xué)概念教學(xué)大有裨益。三角函數(shù)是最典型的周期函數(shù)，任意角是學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的起始點(diǎn)和知識(shí)基礎(chǔ)。本文選取了“任意角”教學(xué)設(shè)計(jì)作為案例，以此探討PBL教學(xué)模式的應(yīng)用。

二、教學(xué)分析

（一）教材分析

“任意角”是人教A版高中數(shù)學(xué)必修四第一章第一節(jié)的內(nèi)容。這一章節(jié)的主線內(nèi)容是三角函數(shù)，而任意角是學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是描述函數(shù)周期性的重要工具。任意角知識(shí)起著承上啟下的作用，為學(xué)生往后學(xué)習(xí)角的和差倍分、解析幾何等知識(shí)點(diǎn)打下基礎(chǔ)。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在初中已學(xué)過(guò)有關(guān)角的基本知識(shí)，掌握了一些基本的集合語(yǔ)言，同時(shí)對(duì)動(dòng)態(tài)角、數(shù)系的擴(kuò)充和函數(shù)有一定的理解。絕大部分高中生的邏輯思維已初步形成，他們能夠運(yùn)用邏輯推理、歸納演繹的數(shù)學(xué)方法分析角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向問(wèn)題，且能概括一些簡(jiǎn)單概念。但是，不少高中生的思維仍然缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，他們?cè)趧?dòng)態(tài)分析問(wèn)題這一方面還不夠成熟，難以直接理解周期性變化、旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)方向的區(qū)分等知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷任意角概念的生成過(guò)程，認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)任意角的重要性與必要性。

2.結(jié)合生活情境，歸納、總結(jié)并理解任意角的概念，認(rèn)識(shí)任意角在周期模型中的重要性。

3.理解象限角的概念，能說(shuō)出特定角所屬的象限，并能在直角坐標(biāo)系中正確表示任意角;掌握用集合表示終邊相同的角的方法。

4.感受任意角概念的生成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

（四）教學(xué)重點(diǎn)

任意角概念的推廣及表示。

（五）教學(xué)難點(diǎn)

任意角概念的形成與建構(gòu);終邊相同角的集合表示方法。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）引入新課

問(wèn)題1：同學(xué)們還記得對(duì)0°到360°角的定義嗎？

問(wèn)題2：觀察老師手中的時(shí)鐘，思考以下三個(gè)問(wèn)題。

（1）若老師的時(shí)鐘慢了10分鐘，怎樣旋轉(zhuǎn)分針才能使其回到正確時(shí)間？

（2）若老師的時(shí)鐘快了10分鐘，怎樣旋轉(zhuǎn)分針才能使其回到正確時(shí)間？

（3）若老師的時(shí)鐘快了65分鐘，怎樣旋轉(zhuǎn)分針才能使其回到正確時(shí)間？

問(wèn)題3：生活中還有許多關(guān)于角的實(shí)例，那存在角度大于360°的角嗎？試著說(shuō)一說(shuō)。

師生活動(dòng)：先提問(wèn)關(guān)于角的定義，讓學(xué)生回顧舊知并搶答。緊接著教師拿出準(zhǔn)備好的時(shí)鐘，拋出三個(gè)基于時(shí)鐘提出的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探討問(wèn)題答案，并選取學(xué)生作答，輔以鐘表進(jìn)行演示。最后，讓學(xué)生列舉生活中超過(guò)360°的角的例子，以此引入新課。

設(shè)計(jì)意圖：旋轉(zhuǎn)角度大于360°的角突破了學(xué)生認(rèn)識(shí)中角的范圍，說(shuō)明他們關(guān)于角的認(rèn)識(shí)需要拓展。教師先通過(guò)復(fù)習(xí)初中關(guān)于角的知識(shí)，提及學(xué)生熟悉的始邊和終邊，為角的概念的推廣做好鋪墊;再選取課本中的生活實(shí)際問(wèn)題并加以延伸，使問(wèn)題導(dǎo)向更明確，幫助學(xué)生直觀地理解順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)均可以校準(zhǔn)時(shí)間;最后從鐘表校準(zhǔn)這一現(xiàn)實(shí)生活情境中提取出任意角的數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)新概念的積極性。

（二）探索新知

1.探索任意角的定義

問(wèn)題1：

（1）在剛剛討論的鐘表問(wèn)題中，指針可以用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種旋轉(zhuǎn)方式進(jìn)行校準(zhǔn)，如何區(qū)分這兩種方向不同的角？

（2）如果指針不進(jìn)行任何旋轉(zhuǎn)，形成的角是多少度？

追問(wèn)：始邊和終邊重合的角就是零角嗎？

請(qǐng)同學(xué)們類比正負(fù)數(shù)的概念，思考什么是正角，什么是負(fù)角。

問(wèn)題2：課堂開(kāi)始時(shí)提到的校準(zhǔn)時(shí)鐘的三種情況怎么用角來(lái)表示？

問(wèn)題3：請(qǐng)動(dòng)手畫(huà)出210°、-150°的角。

師生活動(dòng)：先給出問(wèn)題1，組織學(xué)生以小組為單位共同交流，探討問(wèn)題答案，選取小組組長(zhǎng)作答，再鼓勵(lì)學(xué)生互評(píng)。學(xué)生通過(guò)問(wèn)題1認(rèn)識(shí)三種角的概念后，教師幫助學(xué)生明確任意角的概念，隨后讓學(xué)生獨(dú)立思考再搶答問(wèn)題2。最后，讓學(xué)生自行完成問(wèn)題3，請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)展示并說(shuō)明自己的作圖思路。

設(shè)計(jì)意圖：利用問(wèn)題串循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題過(guò)渡到本節(jié)課的核心概念，再通過(guò)問(wèn)題來(lái)突出定義中需要注意的關(guān)鍵點(diǎn)，以及通過(guò)追問(wèn)來(lái)辨析概念。提及學(xué)生熟悉的正負(fù)數(shù)，類比推出任意角中的正角和負(fù)角。探究問(wèn)題答案時(shí)，注重組織學(xué)生合作交流、思考嘗試，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性。借助問(wèn)題2中環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生用正角或負(fù)角來(lái)表示鐘表校準(zhǔn)的角度。通過(guò)設(shè)計(jì)有引領(lǐng)性的問(wèn)題，解析教學(xué)重點(diǎn)，并為之后學(xué)習(xí)終邊相等的角埋下伏筆。讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖加深理解，感受數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

2.探索象限角的定義

問(wèn)題1：直角坐標(biāo)系是使數(shù)學(xué)知識(shí)形象化的有力工具。想一想，如何在直角坐標(biāo)系中表示角？

練習(xí)1：請(qǐng)分別說(shuō)出處于第一、二、三、四象限，且不是0°到360°的角。

問(wèn)題2：畫(huà)出-32°、328°、-392°的角，說(shuō)一說(shuō)它們分別是第幾象限的角。

師生活動(dòng)：提出問(wèn)題1，引導(dǎo)學(xué)習(xí)小組思考、討論，再積極發(fā)言，自行對(duì)象限角概念進(jìn)行總結(jié);再適時(shí)提出學(xué)生易忽視的知識(shí)點(diǎn)，如角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)需為同一點(diǎn)、角的始邊與Χ軸的非負(fù)半軸需重合、終邊在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何象限角等，完善學(xué)生的討論結(jié)果，明確象限角的定義。接著，展示練習(xí)1，讓學(xué)生自主舉例，鼓勵(lì)學(xué)生自評(píng)、互評(píng)，重點(diǎn)分析學(xué)生的典型答案或錯(cuò)誤范例。最后，用問(wèn)題2幫助學(xué)生進(jìn)行思考探究，讓他們自行總結(jié)終邊相同的角的特點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：始終以問(wèn)題為導(dǎo)向，讓學(xué)生在合作討論中理解用終邊區(qū)分象限角的原因。通過(guò)在練習(xí)中讓學(xué)生舉例，檢測(cè)并鞏固學(xué)生對(duì)象限角的理解，突出概念的本質(zhì)屬性。讓學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)存在角的大小不同但終邊相同的角，由此引出進(jìn)一步的探究。

3.探索終邊相同的角的表示方法

問(wèn)題1：直角坐標(biāo)系內(nèi)，-32°、328°、-392°這三個(gè)角有哪些異同？

問(wèn)題2：能否將所有與-32°角終邊相同的角用一個(gè)式子表示？為什么？

問(wèn)題3：終邊相同的任意角α，如何用集合的形式表達(dá)出來(lái)？

師生活動(dòng)：組織學(xué)生小組合作交流并發(fā)表意見(jiàn)。討論問(wèn)題1，總結(jié)發(fā)現(xiàn)這三個(gè)角相差的角度是360°的整數(shù)倍。讓學(xué)生討論問(wèn)題2，得出終邊相同的角可用式子“β=α+k×360°，k∈Z”來(lái)表示。再由問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般歸納得出終邊相同角的一般表達(dá)。最后，針對(duì)本節(jié)課的難點(diǎn)進(jìn)行小結(jié)，師生共同回顧知識(shí)生成過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：緊扣PBL教學(xué)模式，設(shè)計(jì)三個(gè)緊密聯(lián)系且?guī)в袑?dǎo)向性的問(wèn)題，用緊湊的環(huán)節(jié)點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)激情。其中，問(wèn)題2和問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法的應(yīng)用，明白具體角的終邊是唯一的，但終邊相同的角有很多個(gè)。逐步推進(jìn)，幫助學(xué)生理解直角坐標(biāo)系中角的簡(jiǎn)化以及角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，借此突破教學(xué)難點(diǎn)。

（三）鞏固探究

練習(xí)1：找出大于180°，小于540°的角中與1200°終邊相同的角，并說(shuō)出它屬于第幾象限。

練習(xí)2：（1）用集合表示終邊在y軸非負(fù)半軸上的角。

（2）用集合表示終邊在y軸非正半軸上的角。

（3）用集合表示終邊在y軸上的角。

練習(xí)3：集合A表示終邊在直線y=x上的角，請(qǐng)寫出集合A，并表示出集合中適合不等式-360°≤β≤360°的元素β。

師生活動(dòng)：給出三道練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，再請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)展示，讓其他學(xué)生對(duì)代表給出的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、糾錯(cuò)，并適時(shí)總結(jié)，加深學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的理解。

設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)閿?shù)學(xué)教材中例1的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，所以教師此處可以先給學(xué)生一個(gè)“墊腳石”，即練習(xí)1;再用練習(xí)2檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握情況，并引導(dǎo)其進(jìn)一步對(duì)任意角概念進(jìn)行抽象概括;在給出前面兩題的基礎(chǔ)上，練習(xí)3不再設(shè)置小問(wèn)，而是讓學(xué)生綜合分析與獨(dú)立思考，掌握用集合表示終邊相同角和對(duì)其進(jìn)行并集運(yùn)算的方法。這三道難度不斷加深的習(xí)題與本節(jié)課三個(gè)重點(diǎn)知識(shí)一一對(duì)應(yīng)，層層推進(jìn)，分化難點(diǎn)，體現(xiàn)了“特殊到一般再到特殊”的數(shù)學(xué)思想。這一環(huán)節(jié)的反饋教學(xué)，能讓學(xué)生掌握基本方法，更好地理解并集運(yùn)算，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（四）歸納小結(jié)，布置作業(yè)

問(wèn)題1：（1）本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識(shí)？

（2）你是怎樣獲得這些新知識(shí)的？

（3）你通過(guò)這節(jié)課學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

課后作業(yè)：（1）必做題：課本第5頁(yè)第3、4、5題。

（2）選做題：課本第10頁(yè)第2、3題。

（課本為人教A版高中數(shù)學(xué)必修四）

師生互動(dòng)：給出問(wèn)題1，引導(dǎo)學(xué)生自行歸納本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生踴躍發(fā)言、自評(píng)互評(píng)，適時(shí)對(duì)學(xué)生提出的內(nèi)容進(jìn)行點(diǎn)評(píng)并總結(jié)。最后，給出必做題和選做題兩個(gè)層次的習(xí)題，讓學(xué)生課后獨(dú)立完成。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，自評(píng)互評(píng)、取長(zhǎng)補(bǔ)短，對(duì)本課教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行鞏固和梳理，在調(diào)動(dòng)學(xué)生思維活躍性的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)新學(xué)概念知識(shí)的記憶與理解。其次，布置兩個(gè)層次的課后作業(yè)，滿足不同水平學(xué)生的練習(xí)需求，低水平學(xué)生不會(huì)因?yàn)榱?xí)題難度過(guò)高而喪失學(xué)習(xí)興趣，高水平學(xué)生也不會(huì)因?yàn)榱?xí)題難度過(guò)低而無(wú)法有效發(fā)展能力，從而讓每個(gè)學(xué)生都能得到最適合自己的發(fā)展。

結(jié)語(yǔ)

PBL教學(xué)模式注重開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，發(fā)展學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、在數(shù)學(xué)視角下解決問(wèn)題的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將PBL教學(xué)模式應(yīng)用于概念教學(xué)，結(jié)合生活情境創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為導(dǎo)向組織學(xué)生合作探究，讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，這一教學(xué)模式符合學(xué)生的情感需求和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律[4]。本文以“任意角”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，展現(xiàn)PBL教學(xué)模式對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化，將傳統(tǒng)的由教師單方面教授知識(shí)的教學(xué)過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)橛脝?wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究新知的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，PBL教學(xué)模式設(shè)置有引領(lǐng)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)過(guò)程中的探究方向，有目的地進(jìn)行探究，避免部分學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的抽象概括性失去對(duì)新知的探索欲望，使學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)活動(dòng)，深入理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

[參考文獻(xiàn)]

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