小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)算理和算法融合之道

楊升群

摘 要：運算貫穿了小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，它是所有數(shù)學(xué)活動的基石。離開了計算，數(shù)學(xué)活動便成了無根之木，無魚之水。而運算教學(xué)的成功與否決定了學(xué)生的運算能力的質(zhì)量，其重中之重是如何處理好算理與算法的融合問題，算理指的是“為什么這樣計算的問題”，算法指的是“怎么計算的問題”，兩者相輔相成，不可或缺。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);運算教學(xué);算理;算法;融合

計算能力作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習必須掌握的基本技能，它的形成主要是讓學(xué)生親身經(jīng)歷算理的探究過程，深化對算理的理解，主動建構(gòu)算法，達到解決問題目標來實現(xiàn)。在運算課堂教學(xué)中會出現(xiàn)兩種極端的現(xiàn)象，一是教師只注重算法的教學(xué)，一味地講解或灌輸計算的方法，卻忽視了對算理的理解，這樣教學(xué)違背教學(xué)理念和新課改精神;二是毫無目標開展算理的探究，忽視適時對算法的提煉和歸納，這樣學(xué)生運算技能達不到熟練程度。故此，在課堂教學(xué)實踐中，教育者探尋算理和算法的融合之道，提高學(xué)生的運算技能，刻不容緩。

一、搭建平臺，支撐算理和算法的融合

搭建科學(xué)合理的平臺，為數(shù)學(xué)探究活動提供腳手架，便于學(xué)生深入探究和體驗。小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)的課堂，教師要根據(jù)學(xué)生年齡特點和所學(xué)知識的特點，搭建滿足學(xué)生探究和體驗的教學(xué)平臺，為實現(xiàn)算理和算法的融合服務(wù)。

（一）搭建動手操作平臺，探究算理和算法的融合

1.動手操作，感受算理

教學(xué)“兩位數(shù)減一位數(shù)（退位）減法”，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉而又喜歡的場景：熊大撿了23顆堅果，熊二撿了5顆堅果。鼓勵學(xué)生提出用減法計算的問題“熊大比熊二多撿多少顆堅果？”后，列式23-5=？低年級學(xué)生思維主要是以具體形象為主，對于抽象化的數(shù)字計算通過單純的講解，無法讓所有的學(xué)生理解算理，需要創(chuàng)建動手操作的平臺。為了幫助學(xué)生直觀表達計算過程，教師可引導(dǎo)學(xué)生用一根“小棒”代表一顆“堅果”，通過擺小棒的方法，嘗試計算，邊擺邊說說你是怎么算的？

學(xué)生是這樣描述計算過程的：①23根小棒中，我先拿走單獨的3根，再拆開一捆，從10根里再拿走2根，剩余8根，再和10根合起來就是18根;②23根小棒拆開一捆，從10根里面拿走5根，剩余5根，再和13根合起來就是18根;③23根小棒沒有單獨的5根，拆開一捆和單獨的3根合起來13根，從13根里面拿走5根。剩余8根，再和10根合起來就是18根。

動手擺小棒的過程就是算理在腦海里呈現(xiàn)的過程，學(xué)生表達的過程就是學(xué)生思維從抽象思維向形象思維過渡的過程。此過程讓學(xué)生在潛意識里經(jīng)歷了算理認知過程，初步感受算理，為進一步探究做好鋪墊。

2.比較共性，直擊核心

呈現(xiàn)算理多樣化的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察不同擺法的直觀圖：三個學(xué)生擺法不同，但他們都做了同樣的一件事（都要拆開其中的一捆），這是什么呢？通過學(xué)生集思廣益，產(chǎn)生思維的共鳴：無論用哪種擺法，單獨的3根小棒總是不夠，必需拆開其中的一捆變十根，從中再拿出相應(yīng)的小棒。讓學(xué)生感受到異中有同，同中有異，在存異求同的過程中直擊核心問題，詮釋算理。

3.歸納概括，提煉算法

當堂練習活動35-8=，42-6=，并讓學(xué)生說說你是怎么算的？引導(dǎo)練習題與例題算理和算法的比較，歸納概括，提煉算法。學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，對計算法則的歸納和提煉，水到渠成，完美實現(xiàn)算理和算法的融合。

（二）搭建自主探究平臺，構(gòu)建算理和算法的融合

教師在教學(xué)中搭建學(xué)習自主探究的平臺，引導(dǎo)學(xué)生充分運用自己的生活經(jīng)驗和原有的知識能力探究算理，多元化理解算理內(nèi)涵，起到事半功倍的效果。以學(xué)習五年級數(shù)學(xué)“小數(shù)加減法”為例。

1.自主探索，構(gòu)建算理初衷

教師出示例題情境圖：小明買了一本講義夾用了4.75元，小麗買了一個筆記本用了3.4元。鼓勵學(xué)生提出問題：小明和小麗一共用了多少錢？后列出算式“4.75+3.4=？”教師先引導(dǎo)學(xué)生估一估：明確和的區(qū)間在7～9之間。根據(jù)解決問題的需要驅(qū)動：你能想辦法計算4.75+3.4的和嗎？在任務(wù)驅(qū)動下，學(xué)生主動嘗試用自己的生活經(jīng)驗和原有的知識進行計算，出現(xiàn)以下幾種情況：

2.借助經(jīng)驗，尋找算理本質(zhì)

針對課堂的生成，組織學(xué)生交流：你覺得哪種方法計算結(jié)果正確，哪種計算方法是錯誤的？并說明理由，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)批判意識。

第3種方法計算是正確的，把4.75元看作4元7角5分，把3.4元看作3元4角，這樣5分與0分相加是5分，7角與4角相加11角，4元與3元相加再加上進的1元是8元，得到8元1角5分，所以和是8.15元。（2）把4.75看作4個1，7個0.1和5個0.01，把3.4看作3個1和4個0.1，4.75的百分位0.05和3.4百分位沒有相加，百分位還是0.05，0.7與0.4相加得1.1，4與3相加得7，最后和是8.15。這樣學(xué)生利用自己的經(jīng)驗和原有的知識進行說理，尋找加法計算算理的本質(zhì)，加深對算理的理解。

3.反向驗證，鞏固算理理解

證明一種方法是否正確、可行，可通過反向思維驗證。說說這兩種方法錯誤的原因：數(shù)位不同，也就是兩個不同的計數(shù)單位不能直接相加。這樣加深學(xué)生對算理的理解。追問：為什么數(shù)位相同才能相加？經(jīng)過學(xué)生的交流和討論得到：數(shù)位相同，計數(shù)單位也就相同，只有計數(shù)單位相同才能相加減。

二、立足情境，溝通優(yōu)化，馭法于理

小學(xué)數(shù)學(xué)運算知識的學(xué)習來源于生活，服務(wù)于生活，教師立足情境開展學(xué)習活動，從學(xué)生的生活經(jīng)歷出發(fā)探究算理，溝通算理和算法的關(guān)系，實現(xiàn)算理和算法的融合。以教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)和筆算”為例。

（一）應(yīng)用情境，嘗試計算

教師創(chuàng)設(shè)情境圖：教師夫妻二人邀請10個朋友看電影，每張電影票24元。讓根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問題：購買電影票一共需要多少元錢？并列出算式24×12=？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境圖，通過畫一畫、圈一圈等方法嘗試計算。

匯報以下幾種情況：

（1）平均分的方法：把看電影的12人平均分成2組，每6人為一份，24×6×2=288;也可以把12人分成3組，每4人為一組24×4×3=288。

（2）先分后合的方法：把12人分成5人和7人，先算5人購票需要的錢數(shù)，再算7購票需要的錢數(shù)，再合起來24×5+24×7;可以把12人分成9人和3人，先算9人購票需要的錢數(shù)，再算3人購票需要的錢數(shù)，再合起來24×9+24×3;還可以把12人分成教師夫妻2人和10個客人，先算教師夫妻2人購票需要的錢數(shù)，再算10個客人購票需要的錢數(shù)，再合起來24×2+24×10等。

（二）立足情境，溝通優(yōu)化

如果一味追求算法多樣化，沒有對多樣化和策略進行必要的比較和優(yōu)化，容易誤導(dǎo)學(xué)生進行低層次的重復(fù)，阻礙學(xué)生的思維發(fā)展，與新課改理念相悖。質(zhì)疑：這么多的方法，哪種方法最理想呢？面對質(zhì)疑學(xué)生產(chǎn)生思維波動。我們可以先分類，再優(yōu)化算法。

（1）優(yōu)化先分后合法：你更喜歡哪種分法？說明你的理由。生A：把購票12人分成教師夫妻2人和10個客人，先算教師夫妻2人購票需要的錢數(shù)，再算10個客人購票需要的錢數(shù)，再合起來這種方法，因為分成一個一位數(shù)和一個整十數(shù)計算可以通過口算就能得出結(jié)果。生B：因為24×2能口算，24×10也能口算。得到學(xué)生的一致認可后，繼續(xù)優(yōu)化方法。

（2）優(yōu)化“平均分”法和“先分后合”法：在交流的過程中有的說“先分后合”法好，因為整十數(shù)好算，有的說“平均分”法好，因為平均分方法更簡單。兩種觀點處在焦灼的狀態(tài)，此時教師的引導(dǎo)作用顯得至關(guān)重要，教師相機追問：是不是所有的兩位數(shù)都能平均分呢？在此情境中，學(xué)生的思維得到發(fā)散，逐漸向深度思考問題。接著舉例說明，遇到像13、17、19、23（質(zhì)數(shù)）等不能平均分，但這些數(shù)能拆開一個整十數(shù)和一個一位數(shù)，運用“先分后合”法計算更好。這樣讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，體會算法的廣泛性和普遍適用性。

（3）優(yōu)化豎式：學(xué)生感受到運用“先分后合”方法的優(yōu)越性后，讓學(xué)生獨立嘗試列豎式計算24×12，學(xué)生會出現(xiàn)以下三種不同的情況。

教師呈現(xiàn)以上三種方法，引導(dǎo)學(xué)生比較，你喜歡哪一種方法，不喜歡哪種方法？為什么？

生A：第2種方法好，因為它先算24×2=48表示2人購票需要的錢數(shù)，再算24×10=240表示10人購票需要的錢數(shù)，再算48+240=288表示12人購票需要的錢數(shù)。不喜歡第1種方法，因為看不出它計算的過程;生B：第3種方法比第2種方法更簡單，這里的24×10得240，把2寫在百位上，把4寫在十位上，就可以表示240，所以第2種方法240末尾的0可以省略。

（三）建立聯(lián)系，馭法于理

在學(xué)生充分溝通優(yōu)化的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系豎式與橫式和情境圖之間的聯(lián)系，師：通過剛才我們探究，你能結(jié)合情境圖和橫式說說兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算過程嗎？

在此過程中，情境、算理和算法相互溝通融合，直觀形象，算理清，算法明，體現(xiàn)運算教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)揮的巨大價值。

三、任務(wù)驅(qū)動，探索法后藏理的內(nèi)涵

學(xué)生學(xué)習新的計算法則，有的是憑自己的猜測，有的是自學(xué)的，有的是從課外輔導(dǎo)班學(xué)到的。這樣的學(xué)習是知其然，不知其所以然的，運算教學(xué)教師可以運用任務(wù)驅(qū)動策略，引導(dǎo)學(xué)生探究法后藏理的內(nèi)涵。

（一）任務(wù)驅(qū)動，激發(fā)情感體驗

教學(xué)“分數(shù)乘法”教師提出問題：×=？，學(xué)生根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗知道×=，你能想辦法證明×=嗎？并在小組里交流。通過“證明”這一任務(wù)驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生的情感體驗，學(xué)生能向更深層次進行思考，使學(xué)生進入深層次學(xué)習。

（二）辨析溝通，明確算法依托

經(jīng)過小組交流，學(xué)生能從多角度驗證：

1.從分數(shù)意義入手，數(shù)形結(jié)合

通過交流發(fā)現(xiàn)，這種數(shù)形結(jié)合的方法，都是先畫個圖表示單位1，再分一分，找到，再分一分，找到的，也就是，都是把單位“1”平均分成8份，這個分母8都是通過4×2得到的。這幾種方法本質(zhì)是一樣的，只是方式不同而已。

2.多元互化融合，支撐算法貫通

×=1÷2÷4=0.125=

×=0.5×0.25=0.125=

運用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，證明推理的合理性，利用新知還原舊知，開辟思維新天地。這樣不僅能讓學(xué)生掌握算法，也能理解算法背后蘊藏算理的內(nèi)涵，擺脫運算教學(xué)枯燥無味的標簽，使運算教學(xué)更富有生命力。

四、建立算理和算法本質(zhì)體系，整體把握內(nèi)在聯(lián)系

（一）承上啟下，建立加減法算理的本質(zhì)聯(lián)系

小數(shù)加減法與整數(shù)加減法在算法上有共通性，列豎式的時候都是相同數(shù)位對齊，從低位算起，滿十進一，其算理的本質(zhì)是相同計數(shù)單位才能相加減，起到承上的作用。異分母分數(shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法進行比較：計算異分母分數(shù)相加減都需要先通分轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)，其目的就是把不同分數(shù)計數(shù)單位轉(zhuǎn)化成相同計數(shù)單位，算理的本質(zhì)與整數(shù)和小數(shù)加減法相同：相同計數(shù)單位才能相加減。

（二）適可而止，建立整數(shù)多位數(shù)乘法算理的聯(lián)系

教學(xué)“三位數(shù)乘兩位的筆算”時，教師在探究算理，總結(jié)算法后，拓展延伸環(huán)節(jié)“□□□…×□□□…”你還會算嗎？為什么也可以這樣算呢？猜猜多位數(shù)乘多位數(shù)我們將來還學(xué)嗎？為什么不學(xué)了呢？通過充分表達學(xué)或不學(xué)的道理后，明確其算理是一致的，構(gòu)建整數(shù)乘法運算算理與算法的框架。

參考文獻：

[1]王國宏.探索根源之道，滋潤理性之思[J].教學(xué)研究，2019（1）.

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