小學(xué)生數(shù)感建立的幾個(gè)著力點(diǎn)

時(shí)麗宏

數(shù)感自1954年被提出以來(lái)，已成為數(shù)學(xué)教育的重要主題之一。我國(guó)一直到2001年才在《全日制義務(wù)教育·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中把數(shù)感問(wèn)題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。在2011年的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中把數(shù)感作為10個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，這樣描述：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量，數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！睌?shù)學(xué)界有學(xué)者在利用數(shù)感理論與不利用數(shù)感理論的對(duì)比教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)利用數(shù)感理論對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)方面效果突出，所以，在小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，建立數(shù)感非常重要。小學(xué)生數(shù)感的建立可以從以下幾點(diǎn)著力。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境化

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在整數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，這樣規(guī)定：“在現(xiàn)實(shí)情境中理解萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的意義，能認(rèn)、讀、寫(xiě)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”。在小數(shù)和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，這樣規(guī)定：“能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，能讀、寫(xiě)小數(shù)和分?jǐn)?shù)”“能結(jié)合具體情境比較兩個(gè)一位小數(shù)的大小，能比較兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的大小”。這里反復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)詞是情境。無(wú)論是理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義，還是認(rèn)、讀、寫(xiě)以及比較大小，都是在具體的情境中進(jìn)行的。小學(xué)生的數(shù)感主要是對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的感悟，對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的相等與不等，大與小的感悟，而這些感悟，首先是在情境中的直覺(jué)，離開(kāi)具體的學(xué)習(xí)情境的死記硬背違背了小學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，也與當(dāng)今時(shí)代不適應(yīng)。研究表明，科技發(fā)達(dá)的今天，數(shù)學(xué)思維比準(zhǔn)確的運(yùn)算更重要。尤其是數(shù)感中運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)更需要在情境中進(jìn)行，因?yàn)楣浪闶菙?shù)量的估計(jì)，與精算中數(shù)的計(jì)算不同，數(shù)量是對(duì)具體事物數(shù)量特征的描述，是具體的，在一定的情境中進(jìn)行的。

義務(wù)教育階段小學(xué)數(shù)學(xué)的編寫(xiě)，雖然版本比較多，但是都圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有鮮明的情境化特點(diǎn)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師需要對(duì)數(shù)學(xué)情境進(jìn)行準(zhǔn)確而生動(dòng)地描述，讓學(xué)生切身感受自己是學(xué)習(xí)的參與者，通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維認(rèn)識(shí)社會(huì)現(xiàn)象，理解數(shù)學(xué)在生活中的重要作用。教師也可以讓學(xué)生描述教材中用圖文展示出來(lái)的學(xué)習(xí)情境，在描述中直觀感受數(shù)量與數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從對(duì)數(shù)量的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，數(shù)量的認(rèn)識(shí)體現(xiàn)在具體的物上，如3頭牛，5只羊，7斤大米，對(duì)它們進(jìn)行描述，有一定的量詞，停留在具體的物上。如果沒(méi)有進(jìn)一步抽象，那么這種認(rèn)識(shí)仍然不能發(fā)展成數(shù)學(xué)，但是這是數(shù)學(xué)的萌芽，它是從數(shù)量的角度認(rèn)識(shí)牛、羊、大米的。又因?yàn)?頭牛，5只羊，7斤大米不是同一類，所以數(shù)與數(shù)之間沒(méi)有可比性。如果是3頭牛，5頭牛，7頭牛，具有共同點(diǎn)，則有了可比性，更容易從數(shù)量抽象到數(shù)，可以得出3<5<7，由此可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生數(shù)感建立的情境設(shè)計(jì)應(yīng)以有利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展為原則。不是任意情境都有利于小學(xué)生數(shù)感的建立，如果不從小學(xué)生的角度出發(fā)，建立的學(xué)習(xí)情境很可能成為學(xué)習(xí)的障礙。

在從數(shù)量到數(shù)的數(shù)感建立過(guò)程中，作為數(shù)的標(biāo)記的0、1、2、3……這些符號(hào)起到了重要的作用。據(jù)研究，生活在澳大利亞的原始部落，對(duì)數(shù)量的認(rèn)識(shí)只有1、2和許多之分。在對(duì)烏鴉的數(shù)量識(shí)辨的研究中，發(fā)現(xiàn)烏鴉能確定4以內(nèi)的數(shù)量，大于等于5的數(shù)量烏鴉就無(wú)法確定。究其原因，是沒(méi)有數(shù)字符號(hào)。所以數(shù)字符號(hào)的出現(xiàn)和數(shù)位、進(jìn)位制等數(shù)學(xué)原則的確定，是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究有許多領(lǐng)先領(lǐng)域，但是受數(shù)學(xué)符號(hào)的限制，影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展，都說(shuō)明數(shù)學(xué)符號(hào)的重要作用。作為計(jì)數(shù)符號(hào)的數(shù)字，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有奠基作用。由此可見(jiàn)，從情境中感悟的數(shù)量，要上升到數(shù)的領(lǐng)域，必須創(chuàng)造數(shù)字符號(hào)，規(guī)定相關(guān)原則。要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須識(shí)記這些數(shù)字、數(shù)位和十進(jìn)位制，但是，這些識(shí)記的東西又不能讓學(xué)生死記硬背。對(duì)數(shù)量與數(shù)的感悟中，既有一個(gè)從形象到抽象的過(guò)程，又有一個(gè)從抽象到形象的過(guò)程，所以需要識(shí)記的數(shù)字、數(shù)位和十進(jìn)位又要在具體情境中理解記憶。小學(xué)生在這種互為相反的過(guò)程中既可以建立數(shù)感，同時(shí)也深化對(duì)數(shù)的感悟，進(jìn)而認(rèn)識(shí)并理解人們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)識(shí)社會(huì)現(xiàn)實(shí)，而不是只把數(shù)學(xué)理解成加減乘除。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)與養(yǎng)成，正是在情境化學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)它神奇的地方。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中因?yàn)榧庇诘贸黾訙p乘除的準(zhǔn)確結(jié)果，提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，卻扼殺了部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心。所以，課程標(biāo)準(zhǔn)反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境化，建立數(shù)感，有利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。

二、數(shù)感建立方法多樣化

數(shù)感的建立方法是多樣的。對(duì)數(shù)量的感悟側(cè)重于情境中的形象化，是對(duì)事物數(shù)量方面的感知與描述，但數(shù)量的描述是向抽象思維的轉(zhuǎn)化，而數(shù)的感悟是基于對(duì)數(shù)量的認(rèn)知。對(duì)整數(shù)的感悟是基礎(chǔ)，尤其是人們?cè)诟形蛘麛?shù)的過(guò)程中數(shù)字符號(hào)的創(chuàng)造，數(shù)位的規(guī)定，十進(jìn)位原則的建立，這些是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的基礎(chǔ)。要建立并發(fā)展數(shù)感，可以運(yùn)用多種多樣的方法。

（一）在參與社會(huì)活動(dòng)中建立數(shù)感

例1：同學(xué)們經(jīng)常隨爸爸媽媽到超市購(gòu)物，請(qǐng)同學(xué)們把某一次所購(gòu)商品的單價(jià)做一記錄，購(gòu)物結(jié)束后，問(wèn)問(wèn)爸爸媽媽總共花了多少錢(qián)，你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

通過(guò)這次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)總共花的錢(qián)大于商品的單價(jià)，如果將所購(gòu)商品的單價(jià)相加，就會(huì)得出總價(jià)=單價(jià)+單價(jià)+單價(jià)的規(guī)律。如果所購(gòu)商品相同，就會(huì)得出總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量的規(guī)律。正是在這些社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系，數(shù)與數(shù)的關(guān)系，就會(huì)在頭腦中形成直觀的感知，尤其是在這種實(shí)踐中對(duì)數(shù)量關(guān)系的推測(cè)與探究以及規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考并解決生活中的問(wèn)題的能力，這種能力的培養(yǎng)是受益終生的。在這里，學(xué)生在對(duì)數(shù)量關(guān)系的感悟中建立了數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中第二學(xué)段有兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，一是總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，一是距離=速度×?xí)r間。感悟數(shù)量關(guān)系從某種意義上講也是一種數(shù)學(xué)建模思想。這種在社會(huì)實(shí)踐中數(shù)感的建立方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以螺旋式上升，隨著年齡的增長(zhǎng)及社會(huì)閱歷的豐富，問(wèn)題的提出也可在難度上逐步提升，甚至不設(shè)置問(wèn)題，讓學(xué)生自己提問(wèn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維。

（二）在動(dòng)手操作中建立數(shù)感。

例2：伴隨同學(xué)們學(xué)習(xí)的小書(shū)桌，是你的不說(shuō)話的好朋友。請(qǐng)同學(xué)們拿出各自準(zhǔn)備的測(cè)量長(zhǎng)度的工具，量一量小書(shū)桌的長(zhǎng)、寬、高，寫(xiě)一寫(xiě)，讀一讀。

在這個(gè)案例中，測(cè)量長(zhǎng)度的工具，可能出現(xiàn)卷尺、直尺、三角尺等，而計(jì)量單位可能出現(xiàn)米、分?jǐn)?shù)、厘米、毫米，也可能出現(xiàn)尺、寸等，而數(shù)量可能出現(xiàn)整數(shù)與小數(shù)。在測(cè)量之前，我們不做規(guī)定，測(cè)量之后，學(xué)生各自寫(xiě)一寫(xiě)，讀一讀，寫(xiě)完讀完再統(tǒng)一計(jì)量單位寫(xiě)一寫(xiě)、讀一讀。在動(dòng)手完成操作的全過(guò)程中感知數(shù)量。如測(cè)得書(shū)桌長(zhǎng)度為25厘米、2.5分米、0.25米之間有什么關(guān)系。感悟計(jì)量單位引起數(shù)位的變化，感悟整數(shù)到分?jǐn)?shù)的拓展。理解因?yàn)閱挝徊煌瑢?duì)同樣的物體描述會(huì)不同，認(rèn)識(shí)單位的重要性，也理解小數(shù)點(diǎn)位置的不同，數(shù)字意義的不同。這樣，對(duì)整數(shù)與小數(shù)以及二者關(guān)系的感悟就會(huì)通透而深刻。

在測(cè)量小書(shū)桌中感知小書(shū)桌為0.25米，引導(dǎo)學(xué)生推測(cè)教室有多寬。有學(xué)生可能會(huì)根據(jù)書(shū)桌橫排有8排估計(jì)出教室寬接近3米。再由教室估計(jì)校園的長(zhǎng)和寬，以此類推，小學(xué)生從身邊的小數(shù)量推測(cè)大數(shù)量，建立數(shù)量關(guān)系的數(shù)感。

（三）在運(yùn)算過(guò)程中建立數(shù)感

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)運(yùn)算能力這樣表述：“主要指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題?！边\(yùn)算能力作為十大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，與數(shù)感這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)看似并列，實(shí)際上，運(yùn)算的過(guò)程中對(duì)算理的理解也是數(shù)感建立的一條途徑。運(yùn)算過(guò)程中，既要理解運(yùn)算法則，如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加法中的同位相加法則，又要熟悉交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算律。要理解這樣運(yùn)算的原因，就要理解算理。在運(yùn)算的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)算理，算理有助于合理簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題。

例3：14-8=□

這是20以內(nèi)退位減法運(yùn)算。學(xué)生在學(xué)習(xí)了進(jìn)位加法和不退位減法之后，再學(xué)習(xí)退位減法，雖然難度有所提高，但在學(xué)習(xí)這一板塊內(nèi)容時(shí)，從算理角度理解，尋找已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)與需要學(xué)習(xí)的知識(shí)之間的聯(lián)系。而不是匆匆忙忙講怎么運(yùn)算才是正確的。因?yàn)楹笳呓探o學(xué)生的是斷裂的知識(shí)，而前者教給學(xué)生的是數(shù)學(xué)思維，看似結(jié)果一樣，但是一個(gè)是短期的，一個(gè)是長(zhǎng)久的，一個(gè)是暫時(shí)的，一個(gè)是終生的，孰優(yōu)孰劣，一目了然。所以，一個(gè)同樣的問(wèn)題，因?yàn)榻鉀Q方法不同，效果就會(huì)大不相同。在14-8的運(yùn)算中，可以引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的進(jìn)位加法和不退位減法來(lái)解決，啟發(fā)學(xué)生對(duì)14-8這一算式進(jìn)行變化，使它接近不退位減法和進(jìn)位加法的形式。然后請(qǐng)學(xué)生把變化的算式寫(xiě)一寫(xiě)、讀一讀，看誰(shuí)變化的算式更簡(jiǎn)便。這里可能出現(xiàn)10+4-8，也可能出現(xiàn)14-4-4，還可能出現(xiàn)8+6-8，當(dāng)然還有其他各種可能。在10+4-8這一變式中可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)14這個(gè)數(shù)中1在十位，所以表示為10，4在個(gè)位所以表示為4，學(xué)生對(duì)數(shù)位不同數(shù)字意義也不相同的數(shù)感得到加強(qiáng)。8+6-8這一變式看起來(lái)更簡(jiǎn)便，但實(shí)際上，里面變化的思維比10+4-8要復(fù)雜一點(diǎn)：也可以從寫(xiě)8+6-8變式中看出學(xué)生的思維更靈活。

例4：+=□

這個(gè)算式是異分母分?jǐn)?shù)的加法，首先要通分，為什么分母相同才可以相加，原因是和分母不同而分?jǐn)?shù)單位不同，是1個(gè)，是3個(gè)，只有通分后變成，是6個(gè)，+就轉(zhuǎn)變成+即1個(gè)和6個(gè)相加，結(jié)果是7個(gè)，即。通分之后分?jǐn)?shù)單位相同，與整數(shù)加法的算理相同。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算的算理，知其然并知其所以然，在運(yùn)算中通過(guò)對(duì)算理的探究而加強(qiáng)數(shù)感。

（四）在估算中建立數(shù)感

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)估算這樣表述：“選擇恰當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估計(jì)，體會(huì)估算在生活中的作用”，“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算”。估算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要能力，如在進(jìn)行除法運(yùn)算中，試商就是一種估算?，F(xiàn)實(shí)生活中也有許多地方需要估算。估算是數(shù)感建立的一條途徑。

例5：學(xué)校組織春游，成人往返車(chē)票每人22元，學(xué)生往返車(chē)票是成人的半價(jià)，我班有2名教師和51名，帶500元夠嗎？

這個(gè)案例，既可以通過(guò)運(yùn)算求得車(chē)費(fèi)的準(zhǔn)確數(shù)，然后和500元比較。但估算不僅快速，也能得出相應(yīng)的結(jié)果?？梢园呀處熀蛯W(xué)生都看作學(xué)生，計(jì)53人，票價(jià)10元左右，估算出530元左右，和500元相比，結(jié)果很清楚。這個(gè)案例中，估算能迅速準(zhǔn)確地得出結(jié)論，而且得出的過(guò)程中反映出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的能力。估算表面看起來(lái)是對(duì)結(jié)果的估計(jì)，其實(shí)質(zhì)是一種思維過(guò)程和思維方法的體現(xiàn)，在這里，計(jì)算出準(zhǔn)確的結(jié)果所反映的只是學(xué)生的計(jì)算水平，而估算則能反映學(xué)生的思維水平。

常用的估算方法有近似估算法，像上面春游的例子。也有數(shù)位估算法，如判斷3=801，對(duì)不對(duì)？通過(guò)數(shù)位估算，240是3的80倍，而801則在百位上，可以判定3=801是錯(cuò)誤的。還有對(duì)比估算法，比如例2中由測(cè)量書(shū)桌到估算教室寬，再到估算校園長(zhǎng)和寬。通過(guò)多種方法的估算，學(xué)生的數(shù)感得以建立并不斷加強(qiáng)。

三、抽象思維形成過(guò)程化

數(shù)學(xué)家希爾伯特認(rèn)為數(shù)學(xué)中有兩種傾向，一種是直觀的傾向，另一種是抽象的傾向。數(shù)學(xué)表達(dá)也在不斷向抽象化發(fā)展，由數(shù)量到數(shù)，出現(xiàn)數(shù)字，由數(shù)字到字母，再出現(xiàn)各種數(shù)學(xué)符號(hào)。這些數(shù)字、字母、符號(hào)的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)不斷抽象化的發(fā)展。小學(xué)生的思維水平各年級(jí)段各有特點(diǎn)，但整體而言，小學(xué)階段仍以具體思維為主，并呈現(xiàn)逐漸向抽象思維發(fā)展的特點(diǎn)。所以，小學(xué)生抽象思維的發(fā)展必然伴隨著形象思維。小學(xué)生對(duì)數(shù)這一抽象概念的認(rèn)識(shí)要在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷加深。

抽象、推理、模型是最基本的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程，教師應(yīng)當(dāng)把這一思想貫穿始終。

例6：

上面案例是在數(shù)的認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)中的一個(gè)設(shè)計(jì)，左邊3只小老虎，中間3個(gè)黑點(diǎn)，右邊是數(shù)字3。這里不僅呈現(xiàn)出數(shù)量和數(shù)，而且呈現(xiàn)出從數(shù)量到數(shù)的轉(zhuǎn)化過(guò)程。3只小老虎是用數(shù)量對(duì)小老虎的表述，屬于形象思維，3個(gè)黑點(diǎn)，具有概括性，屬于半形象半抽象思維，數(shù)字3則是抽象思維的。這里關(guān)鍵一步是中間的3個(gè)黑點(diǎn)的設(shè)計(jì)，巧妙地呈現(xiàn)出數(shù)量3到數(shù)字3的轉(zhuǎn)化過(guò)程。這種設(shè)計(jì)易于學(xué)生理解和接受，也有效地實(shí)現(xiàn)形象到抽象的提升。正是呈現(xiàn)出抽象思維形成的過(guò)程，學(xué)生對(duì)數(shù)量和數(shù)的感悟得以建立和加強(qiáng)。

總之，小學(xué)生數(shù)感的建立要找到著力點(diǎn)，這樣，可以有效地完成數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。