拓展易錯(cuò)題資源，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

浦金才

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，易錯(cuò)題不僅可以暴露學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的不足，還可以促使教師適時(shí)調(diào)整教學(xué)行為，通過錯(cuò)題研究來幫助學(xué)生有效預(yù)防與糾正錯(cuò)題。因此，本文以拓展數(shù)學(xué)課堂中的易錯(cuò)題資源為切入點(diǎn)，旨在通過對(duì)易錯(cuò)題的深入探究，真正實(shí)現(xiàn)變“錯(cuò)”為寶的效果，進(jìn)而發(fā)揮易錯(cuò)題的價(jià)值，切實(shí)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);易錯(cuò)題;學(xué)習(xí)力;思維品質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)及解題的過程中出現(xiàn)錯(cuò)題是非常常見的。但想將易錯(cuò)題轉(zhuǎn)化為“易錯(cuò)題資源”，發(fā)揮其對(duì)教學(xué)的積極作用，就需要教師不斷提升教育教學(xué)水平，充分運(yùn)用易錯(cuò)題進(jìn)行辨析教學(xué)，幫助學(xué)生提煉錯(cuò)誤的原因，并及時(shí)歸納解題方法，將其應(yīng)用于新的情境中，達(dá)到以錯(cuò)為鑒、以錯(cuò)出新的效果。因此，本文以此為基本方向，主要圍繞設(shè)置雷區(qū)、深度探究、整理歸類及變式練習(xí)這幾個(gè)方向展開具體探討，以真正發(fā)揮易錯(cuò)題資源在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用及價(jià)值，推動(dòng)學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及解題能力。

1? ? 設(shè)置雷區(qū)，充分鋪墊

教師在課前備課的時(shí)候，要在鉆研教材、了解學(xué)生的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確定位學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中易犯的錯(cuò)誤及思維障礙，提前做好準(zhǔn)備，并在課堂教學(xué)過程中有計(jì)劃、有意識(shí)地將對(duì)易錯(cuò)題的探究與反思融入教學(xué)環(huán)節(jié)，以設(shè)置雷區(qū)的方式為學(xué)生做好鋪墊，幫助學(xué)生意識(shí)到這類問題的出錯(cuò)原因及應(yīng)對(duì)措施，以便學(xué)生更好地理解與記憶當(dāng)堂知識(shí)內(nèi)容。

例如，在教學(xué)“直線與圓的位置關(guān)系”的知識(shí)內(nèi)容時(shí)，課堂目標(biāo)是使學(xué)生理解直線與圓的三種位置關(guān)系——相交、相切、相離，掌握其判斷方法與性質(zhì)。其中直線與圓的三種位置關(guān)系的性質(zhì)及判定的正確運(yùn)用也是這節(jié)課的難點(diǎn)所在。尤其是學(xué)生很容易混淆點(diǎn)與點(diǎn)及點(diǎn)到直線的距離的概念。那么，教師就要做好提前干預(yù)，如可以在課前導(dǎo)入階段回顧點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的知識(shí)點(diǎn)，也可以在課中引入對(duì)比點(diǎn)與點(diǎn)及點(diǎn)到直線的距離的概念環(huán)節(jié)。此外，教師也可以利用習(xí)題訓(xùn)練幫助學(xué)生加深印象，如設(shè)計(jì)題目：已知⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)P在直線l上，且點(diǎn)P到圓心O的距離為4cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是_______。根據(jù)這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，絕大部分學(xué)生結(jié)合d=r=4cm，所以判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切。但這就進(jìn)入了教師布置好的“陷阱”，還需要全面考慮點(diǎn)P的位置，實(shí)際情況有兩種，如圖1則是點(diǎn)O到直線l的距離恰好是OP，相切的答案沒有問題。但如果如圖2所示，則點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)時(shí)，d

這種在錯(cuò)誤發(fā)生之前進(jìn)行規(guī)避的方式可以理解為“提前干預(yù)”，這不僅考驗(yàn)教師對(duì)教材的理解與鉆研程度，還需要教師對(duì)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)及認(rèn)知水平有一定的了解與把握，這樣才能通過設(shè)置雷區(qū)的方式做好鋪墊，引起學(xué)生對(duì)這類型易錯(cuò)題的警覺與認(rèn)識(shí)，同時(shí)可以有效經(jīng)歷對(duì)易錯(cuò)題的思考分析過程，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

2? ? 分析條件，高效審題

初中數(shù)學(xué)要求教師通過解題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。不少教師將解題訓(xùn)練作為一種教學(xué)策略，目的是通過解題在學(xué)生腦海中形成深刻的印象。但在解題過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)審題漏項(xiàng)，對(duì)題目條件分析不清楚導(dǎo)致錯(cuò)題的情況，有的因?yàn)轭}目簡(jiǎn)單所以忽視了某些條件，有的則是不理解條件之間的關(guān)系導(dǎo)致出錯(cuò)。所以，必須要求學(xué)生認(rèn)真分析已知或潛在條件，提高審題效率?？焖倮斫忸}目中已知條件的關(guān)系，并且能聯(lián)想到相關(guān)定理公式，正確解答題目，才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如兩位同學(xué)在操場(chǎng)進(jìn)行跑步訓(xùn)練，操場(chǎng)一周400米，兩名同學(xué)距離100米（圓周距離，非直線距離），相向而行，10秒后相遇，A同學(xué)跑步速度每秒比B同學(xué)快1米，問相遇時(shí)，兩名同學(xué)分別跑了多少路程？

這個(gè)題目是初中數(shù)學(xué)比較簡(jiǎn)單的相遇問題，很多同學(xué)看到問題直接開始答題，距離100米，相遇問題，假設(shè)B同學(xué)跑步速度是x米/秒，那么A同學(xué)的速度為（x+1）米/秒，可列式（x+x+1）×10=100，計(jì)算得x為4.5，則A同學(xué)跑步速度為5.5米/秒，B同學(xué)跑步速度為4.5米/秒，乘以10秒，即可獲得兩位同學(xué)的跑步路程。

解答正確，兩位同學(xué)距離100米開始跑步，上述解題過程中，默認(rèn)兩位同學(xué)跑的總路程是100米，但是題目中還有一個(gè)條件，操場(chǎng)一周400米，意味著兩位同學(xué)可能沿著300米的路程進(jìn)行相遇跑步，此時(shí)的解題思路、方法和步驟雖然和上述解題模式一致，但因?yàn)槌浞挚紤]了題目已知條件，所以換算了總路程，導(dǎo)致最終計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)不同。針對(duì)這類題目要求學(xué)生討論，如何避免題目漏項(xiàng)。有學(xué)生提出畫項(xiàng)法，即畫掉已經(jīng)使用的條件，再重新審視題目，有學(xué)生提出作圖法，既然是圓形操場(chǎng)，在紙上可以直接繪制A和B的位置，可以充分避免漏掉題目條件。在本題以及類似的行程問題中，兩種方法均適用，在其他題目中，結(jié)合具體要求選擇合適的方法。通過認(rèn)真分析題目條件，才能真正做到高效審題，在具備了相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)量后，才能在遇到類似題目時(shí)下意識(shí)地考慮所有潛在因素，最終提高解題效率。

所以，審題的過程，就是對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行拆解組裝的過程，在審題過程中，不僅需要學(xué)生詳細(xì)分析題目中每個(gè)條件的意思，也需要學(xué)生在面對(duì)似曾相識(shí)題目時(shí)具備足夠的耐心，揣摩題目內(nèi)在含義，防止隱含條件不同導(dǎo)致思維錯(cuò)誤。另外，數(shù)學(xué)貴在“變”，同一個(gè)題目可能存在多種不同的解題方法，在平時(shí)的訓(xùn)練過程中，要求學(xué)生通過比較解題思維的差異性，尋找最高效的方式進(jìn)行題目計(jì)算。拓展學(xué)生思維深度和廣度，也培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3? ? 審視細(xì)節(jié)，查漏補(bǔ)缺

很多學(xué)生在實(shí)際做題過程中都曾經(jīng)出現(xiàn)過審題正確，但做題就出錯(cuò)。翻看答案突然意識(shí)到自己思維漏項(xiàng)，繼續(xù)做題還是會(huì)出錯(cuò)。這意味著在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生雖然系統(tǒng)地掌握了相關(guān)知識(shí)，但存在細(xì)節(jié)知識(shí)漏項(xiàng)，這種細(xì)節(jié)問題不易發(fā)現(xiàn)，一般伴隨做題甚至錯(cuò)題才能發(fā)現(xiàn)，所以具有一定的隱蔽性。這種隱蔽性的漏項(xiàng)，更要引起教師和學(xué)生足夠的重視，才能在解題過程中不再出錯(cuò)。

例如，有一個(gè)等腰三角形，一邊長為10cm，另一邊長為8cm，取三角形三條邊的中點(diǎn)，再連接這些中點(diǎn)，計(jì)算中點(diǎn)所圍成的三角形的周長。

這道題學(xué)生很容易想到有兩個(gè)答案。要求各邊中點(diǎn)所圍三角形的周長，這個(gè)周長實(shí)際是大三角形周長的一半，所以需要計(jì)算大三角形的周長。大三角形為等腰三角形，題目中已知兩邊的長，這兩邊都可以分別是底和腰，所以如果10cm為底，8cm為腰，則周長為26cm，如果8cm為底，10cm為腰，則周長為28cm。

以此為例分析，一個(gè)等腰三角形，一邊長為10cm，另一邊長為5cm，取三角形三條邊的中點(diǎn)，再連接這些中點(diǎn)，計(jì)算中點(diǎn)所圍成的三角形的周長。

在上題的經(jīng)驗(yàn)下，學(xué)生快速計(jì)算出大三角形周長分別為20cm和25cm，小三角形周長為10cm和12.5cm，結(jié)果卻是錯(cuò)誤的，該題只有一個(gè)計(jì)算結(jié)果，為12.5cm。

學(xué)生開始發(fā)蒙。仔細(xì)觀察兩道題，二者除了三角形一邊的尺寸不同，其他條件都相同，那么問題會(huì)不會(huì)出現(xiàn)在這兩個(gè)不同的數(shù)字上。

要求學(xué)生根據(jù)尺寸畫出認(rèn)為的四個(gè)三角形，繪制過程使用了圓規(guī)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，邊長分別為10cm和8cm的等腰三角形有兩個(gè)，而邊長分別為10cm和5cm的三角形只有一個(gè)，因?yàn)樵诶L制過程發(fā)現(xiàn)該三角形只能以5cm為底10cm為腰，如果10cm為底，兩腰的總長度和底邊的長度相同，無法繪制三角形，引發(fā)出三角形的隱含知識(shí)，即三角形的兩邊之和必然大于第三邊，由此推論三角形的兩邊之差和第三邊有什么關(guān)系。通過審視細(xì)節(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)三角形的知識(shí)漏洞，才能快速查漏補(bǔ)缺。

所以，數(shù)學(xué)題目易錯(cuò)題資源是無窮盡的，在教學(xué)過程中，不僅要注重課堂知識(shí)，同時(shí)要注意知識(shí)的靈活應(yīng)用，要求學(xué)生在實(shí)際做題過程中不僅嚴(yán)格執(zhí)行已知的定理，同時(shí)也要注意課程的細(xì)節(jié)問題。看到錯(cuò)誤解答不要盲目翻找答案，也不要輕易否定自己的思維，通過錯(cuò)題審視知識(shí)漏項(xiàng)，才能在做題過程中進(jìn)行知識(shí)的查漏補(bǔ)缺，補(bǔ)充知識(shí)系統(tǒng)。

4? ? 深度探究，發(fā)散思維

學(xué)生對(duì)易錯(cuò)題的深度探究可以理解為“析錯(cuò)——糾錯(cuò)——改錯(cuò)”等幾個(gè)基本環(huán)節(jié)。首先，在錯(cuò)題出現(xiàn)之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析出錯(cuò)的原因，究竟是概念不清、基礎(chǔ)沒掌握、思路錯(cuò)誤還是馬虎、計(jì)算粗心。等明確原因之后再針對(duì)性地進(jìn)行糾錯(cuò)，比如概念不清類易錯(cuò)題就要重新研究與厘清概念，思路錯(cuò)誤的要回憶自己做題時(shí)的思路并對(duì)照正確思路找準(zhǔn)思維障礙，對(duì)癥下藥糾正錯(cuò)誤，進(jìn)而避免相同錯(cuò)誤的再次發(fā)生。

以一道數(shù)學(xué)題目為例，已知x=（m-4），xm2-3m-2+2x-3是二次函數(shù)，求m的值。

錯(cuò)解：根據(jù)題意，得m2-3m-2=2，即m2-3m-4=0，解得m1=-1，m2=4。

這道題目是學(xué)生在初學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)時(shí)經(jīng)常犯的一類錯(cuò)誤。教師可以再準(zhǔn)備一道題目：已知y=（m-5）xm2-3m-2+2x-3是二次函數(shù)，求m的值，則上述解答過程和答案就完全沒有問題。這兩道題目非常相似，那么究竟是哪里出錯(cuò)了呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生再次分析題干，回顧相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并找出錯(cuò)題的原因。學(xué)生判斷出這道題的考查要點(diǎn)是二次函數(shù)定義及表達(dá)式，這時(shí)學(xué)生才發(fā)現(xiàn)自己忽略了一個(gè)隱含條件，那就是二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，也就是m-4≠0，m≠4，所以m2=4這個(gè)答案應(yīng)該舍去。接下來教師再讓學(xué)生闡述解決這類型題目的正確思路，學(xué)生分析到要想滿足該函數(shù)為二次函數(shù)，那么m2-3m-2=2及m-4≠0這兩個(gè)條件缺一不可，解這類題目要特別注意防止漏掉“二次項(xiàng)系數(shù)不等于0”這個(gè)隱含條件。通過這樣的方式，學(xué)生對(duì)此類概念類題目加深了印象，課堂效果較好。

5? ? 變式練習(xí)，開闊視野

對(duì)易錯(cuò)題進(jìn)行拓展分析的最終目的是讓學(xué)生意識(shí)到錯(cuò)題的形成原因，并通過反思總結(jié)來避免同類型錯(cuò)題的再次發(fā)生，達(dá)到改錯(cuò)、糾錯(cuò)的效果。那么，為了幫助學(xué)生更好地進(jìn)行針對(duì)性鞏固訓(xùn)練，教師可采取為學(xué)生設(shè)計(jì)及準(zhǔn)備變式練習(xí)題目的方式，讓學(xué)生深入了解不同類型易錯(cuò)點(diǎn)的考查形式及題干“陷阱”，從而找出個(gè)人的知識(shí)點(diǎn)漏洞，并加以修正完善。

例如，拋物線與x軸的交點(diǎn)相關(guān)的問題，這類題目實(shí)際上考查的是學(xué)生對(duì)二次函數(shù)、一元二次方程及其相互關(guān)系的應(yīng)用程度，但很多學(xué)生在解答這類題目時(shí)非常容易出錯(cuò)。那么，教師可通過變式練習(xí)的方式來幫助學(xué)生進(jìn)行梳理及訓(xùn)練。比如教材中設(shè)計(jì)的題目是：下列情形中，如果a>0，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在什么位置？情形包括方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根及無實(shí)數(shù)根三種情況。這是課堂知識(shí)點(diǎn)的直接應(yīng)用，問題難度不大。教師可準(zhǔn)備一些加大難度的變式題目，如若拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點(diǎn)，則m的取值范圍是_____。這是引導(dǎo)學(xué)生反向利用交點(diǎn)情況來分析計(jì)算二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)。以及若函數(shù)y=（m-1）x2-6x+m的圖像與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為_____。這里還涉及由于m-1的值是否為零不能確定，需要將該函數(shù)分一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況來討論，也是這道題的易錯(cuò)點(diǎn)所在。通過這樣的變式練習(xí)可以幫助學(xué)生熟悉不同的出題形式及注意事項(xiàng)，進(jìn)而更好地攻克這一類型題目及考點(diǎn)。

6? ? 整理歸類，建立體系

對(duì)易錯(cuò)題進(jìn)行整理歸類是將普通錯(cuò)題轉(zhuǎn)化為易錯(cuò)題資源的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。一些學(xué)生在出現(xiàn)錯(cuò)題之后，只是象征性地將其記錄在錯(cuò)題本中，但并未進(jìn)行系統(tǒng)分類整理，導(dǎo)致同類型錯(cuò)誤反復(fù)發(fā)生，這也失去了建立錯(cuò)題集本身的意義。因此，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類，分清出錯(cuò)原因比如知識(shí)型錯(cuò)誤、思維方法型錯(cuò)誤等并進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)也要總結(jié)解決這些題目的正確思路與知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用規(guī)律，以此來幫助學(xué)生查找知識(shí)漏洞，建立知識(shí)體系。

例如，在解答因式分解類題目時(shí)，學(xué)生常犯的錯(cuò)誤包括曲解概念，局部分解;提公因式漏項(xiàng)、符號(hào)出錯(cuò)等，錯(cuò)因不同則不能雜糅在一塊。因此，教師就要幫助學(xué)生對(duì)不同類型的錯(cuò)題進(jìn)行分類整理。在這個(gè)過程中學(xué)生要注意一點(diǎn)，比如在考試中不常出現(xiàn)的一些偏題、怪題，或者是超綱題及明顯超出自己能力范圍的難題，是不建議將其納入錯(cuò)題集中的，這樣不利于發(fā)揮錯(cuò)題本鞏固基礎(chǔ)和提高拓展的作用。學(xué)生要把建立錯(cuò)題集的重點(diǎn)放在易錯(cuò)題、典型題及疏漏題上，通過對(duì)錯(cuò)題集的分類整理及定期復(fù)習(xí)來完善個(gè)人知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

對(duì)于很多學(xué)生來說，他們對(duì)待一些易錯(cuò)題僅限于簡(jiǎn)單訂正，很容易出現(xiàn)同類型錯(cuò)誤再次發(fā)生的情況，這就使得易錯(cuò)題資源的價(jià)值大打折扣。因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，要善于挖掘并利用好易錯(cuò)題的教學(xué)價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)自覺主動(dòng)地剖析出錯(cuò)原因，歸類整理錯(cuò)題，不斷培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自我反思等學(xué)習(xí)習(xí)慣，切實(shí)提升學(xué)生識(shí)錯(cuò)、析錯(cuò)、糾錯(cuò)的主動(dòng)性及學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生從錯(cuò)題中收獲真實(shí)的進(jìn)步與成長。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊書軍.用易錯(cuò)題培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力[J].中學(xué)生數(shù)理化，2005（2）：25-28.