初中數(shù)學反思性學習提升學生直觀想象素養(yǎng)的策略

【摘 要】反思是學生在數(shù)學學習活動過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，要提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，就必須培養(yǎng)學生的反思能力。而直觀想象是學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，文章通過教學實踐闡述如何在初中數(shù)學教學中引導學生進行反思性學習，以此提升學生的直觀想象素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;核心素養(yǎng);直觀想象;反思性學習

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0093-04

著名教育家約翰·杜威在《我們怎樣思維》這本書中系統(tǒng)闡釋了反思性學習，并把常規(guī)行為與反思性行為進行了比較。常規(guī)行為是在固有的、傳統(tǒng)的模式下形成的，不加批判地繼承已學知識;而反思性行為則是對知識和方法的深思，不是簡單的苦思冥想，而是涉及直覺、情緒的高級認知過程。

什么是數(shù)學反思性學習？是指通過對數(shù)學學習活動過程的反思來進行學習。反思是對自己的思維過程、思維結(jié)果進行再認識的檢驗過程，是學習中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。建構(gòu)主義理論認為，學習是在活動中進行建構(gòu)，要求學生不斷地對自己的活動過程進行反省、概括和抽象。可以看到，反思性學習是實現(xiàn)深度學習的重要途徑。

什么是數(shù)學直觀想象核心素養(yǎng)？《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要包括借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1]。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)學生的直觀想象能力極其重要。

為什么要培養(yǎng)學生的反思性學習能力呢？如何提升學生的直觀想象能力呢？為什么反思性學習對提升學生的直觀想象能力具有關(guān)鍵的作用呢？針對這些問題，首先要從學情分析入手。

1? ?學情分析

數(shù)學反思性學習對于初中生來說是極其重要的。初中生的心理發(fā)展水平與小學時期相比得到了一定程度的提升，具有一定的自控能力和自我分析能力，但在學習和認知的過程中依舊比較依賴他人，以被動學習為主，缺乏主動思考。在這樣的學習模式下，學生即使學習很認真，上課認真聽講，當下對知識和方法有所掌握，但過一段時間后，遺忘程度非常高，甚至在階段考試中考查原題，依然有很多學生出錯或不會，出現(xiàn)“假懂”的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是由于學生的認知只是停留在表面，沒有進行深度學習。而反思性學習是讓學生進行深度學習的一種有效的方法。本文通過實際教學案例，引導學生進行反思性學習，總結(jié)模型和方法，提升學生的直觀想象素養(yǎng)。下面從培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力和引入幾何圖形中的特殊模型兩個角度來闡述如何通過反思性學習提升學生的直觀想象素養(yǎng)，引導學生進行深度學習。

2? ?教學實踐

2.1? 培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力

針對這道題，許多學生反映字母特別多，一開始都很畏懼，并且無從下手。但通過筆者精細的教學設(shè)計，讓學生在解決比較簡單的同類型題目的過程中總結(jié)反思出函數(shù)直觀想象的方法后，再來解決這道題時，大部分學生都會做了。具體的教學設(shè)計如下。

例1：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于

（-1，0），（3，0），求其對稱軸。

教師：畫出函數(shù)的大致圖象，你能直觀地看出對稱軸嗎？

學生：容易得到對稱軸為。

教師：這兩個點坐標有什么特點？

學生：這兩個點都在x軸上，也可說它們的縱坐標相同。

教師：這體現(xiàn)了二次函數(shù)的什么性質(zhì)？

學生：二次函數(shù)的對稱性。

例2：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于（0，5），（4，5），求其對稱軸。

教師：現(xiàn)在兩個點不在x軸上了，當畫出函數(shù)的大致圖象，你還能直觀地看出對稱軸嗎？

學生：容易得到對稱軸為。

教師：這兩個點坐標有什么特點？

學生：這兩個點的縱坐標相同。

教師：從上面兩題來看，你可以總結(jié)出什么方法嗎？

【學生反思總結(jié)方法】在二次函數(shù)上的兩個點，如果縱坐標相同，那么這兩個點關(guān)于對稱軸對稱。此時拋物線的對稱軸公式是直線。

【設(shè)計說明】例1選自教材，這對學生來說較為熟悉，易于入手。例2在例1的基礎(chǔ)上，調(diào)整為不那么特殊的兩個點（0，5），（4，5），讓學生自己發(fā)現(xiàn)這兩道題目的共同特點是兩個點的縱坐標相同，讓學生在簡單、熟悉的情境中慢慢地感受到其中蘊藏的函數(shù)直觀想象的方法。

例3：若拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，對稱軸是直線，點A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在該拋物線上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是

（? ?）。

A.y1C.y3

教師：同學們，你還能通過這道題得到什么重要的發(fā)現(xiàn)嗎？如這些點離對稱軸的距離等。

【學生反思總結(jié)方法】開口向上的拋物線上的點，離對稱軸越近，點的高度越低，即縱坐標越小，這體現(xiàn)了二次函數(shù)的對稱性。

【設(shè)計說明】例3是一道含參數(shù)的二次函數(shù)題，難度適中。設(shè)計目的是引導學生反思體會，只要能夠畫出拋物線的大致圖象，那么問題就會迎刃而解。另外，還可以讓學生了解到二次函數(shù)上的點與頂點和對稱軸的位置特點，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，發(fā)現(xiàn)開口向上的拋物線上的點離對稱軸越近，點的高度越低，縱坐標越小。這為學生解決真題1提供了方法，讓學生通過反思，總結(jié)出二次函數(shù)直觀想象的方法，并在解題過程中應用，獲得成就感。

學生運用自己總結(jié)的方法進行自主分析：

①觀察條件發(fā)現(xiàn)A、C的縱坐標相同，可得對稱軸為x=;②畫出坐標A（m，n）、C（3-m，n）的大概位置;③大概畫出二次函數(shù)的圖象，如圖2;④標出點B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）的位置;⑤觀察點的位置即可得出結(jié)論。

可以發(fā)現(xiàn)，由于離對稱軸x=最近，因此點D最低。而0離對稱軸最遠，因此點B最高。不難發(fā)現(xiàn)，這題的解題思路和之前總結(jié)的結(jié)論相同。因此，同一個方法可以運用到不同的題目中，通過反思真正掌握這個方法，就可達到舉一反三的效果。

2.2? 引入幾何圖形中的特殊模型

幾何直觀是直觀想象素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，而幾何圖形中的特殊模型是幾何直觀的一個非常重要的部分，它可以讓學生在復雜的圖形結(jié)構(gòu)中迅速地發(fā)現(xiàn)自己熟悉的特殊模型，找到解決幾何問題的思維方向或者得到更多的已知條件，進而提高解決幾何問題的能力。引導學生通過幾何直觀抽取圖形中的特殊模型，并反思總結(jié)其特征，學生的幾何直觀能力才能有所提高。

真題2：（2018年福建中考）如圖3，D是ΔABC外接圓上的動點，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F。BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，F(xiàn)B的延長線交于點P，且PC=PB。

（1）求證：BG∥CD;

（2）設(shè)ΔABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小。

此題是2018年福建省中考的壓軸題，由于圖形結(jié)構(gòu)十分復雜，大部分學生都不會做。但通過引導學生借助幾何直觀，抽取圖形中的特殊模型，反思總結(jié)，學生也可以舉一反三。教學設(shè)計如下。

例5：（圓中垂直弦模型——“弧”）如圖4，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點P。求證：。

教師：圓中的特殊性質(zhì)指的是哪些方面？

學生：弧，弦，圓心角，圓周角。

教師：那我們首先研究弧的特點。兩條弦可以把圓周分成幾段??？

學生：4段。

教師：這4段弧有什么特點，會相等嗎？

學生：應該不會。

教師：可以從特殊情況入手，如過圓心的直徑等。

學生：兩段對弧加起來相等。

教師：若對角線AC⊥BD于點P。怎么求證呢？

思路分析：如圖5，過O作直徑CE，連接AE，DE，容易證明AE平行BD，因為平行線間所夾的弧相等，所以;又因為為半圓，所以為半圓，所以。

【學生反思總結(jié)模型】垂直弦所夾的兩段弧和是半圓。解題策略為連直徑、得直角、構(gòu)平行、轉(zhuǎn)化弧。

【設(shè)計說明】將幾何壓軸題中的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)單獨呈現(xiàn)，引導學生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)這個幾何結(jié)構(gòu)蘊含的性質(zhì)，再讓學生進行證明，并在探索的過程中感受如何在復雜圖形中發(fā)現(xiàn)這樣一個特殊的幾何結(jié)構(gòu)模型，總結(jié)解題的策略和步驟，以后再遇到這個模型時就可以迅速識別。

例6：如圖6，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點。若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑。

思路分析：如圖7，過O作直徑DF，連接CF、BF，容易證明AC平行BF，因為平行線間所夾的弧相等，所以，即AB=FC。在RtΔDFC中，DF2=DC2+FC2=42+22=20，所以DF=2。所以⊙O的半徑是。

【設(shè)計說明】設(shè)計本題的目的是讓學生在比較陌生但又不是太復雜的圖形中發(fā)現(xiàn)垂直弦模型，并學會如何應用。其實這道題的實際步驟和垂直弦的步驟基本一樣，讓學生體會整理幾何模型的重要性，提升學生的幾何直觀能力。

例7：（圓中垂直弦模型——“弦”）如圖8，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點P，求證：AB2+CD2=4r2或AP2+BP2+CP2+DP2=4r2。

教師：垂直弦所分的弧有特殊性質(zhì)，那么所形成的弦有特殊性質(zhì)嗎？

學生：可能也有。

教師：那和圓中的什么量有關(guān)呢？

學生：半徑。

教師：可以從特殊情況入手，如過圓心的兩條直徑等。

學生：與4倍的半徑平方有關(guān)。

教師：很好！其實解決這道題的策略依然是連直徑、得直角、構(gòu)平行、轉(zhuǎn)化弧，運用勾股定理可得結(jié)論。

【學生反思總結(jié)模型】垂直弦所分的四條線段與半徑有關(guān)，即AP2+BP2+CP2+DP2=4r2或AB2+CD2=4r2。

以上從“弧”與“弦”的角度，引導學生整理圓中的垂直弦模型，學生從中掌握了很多潛在的有價值的信息，再來解答真題2就比較容易了。

3? ?教學反思

本文從培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力、引入幾何圖形的特殊模型兩個角度分析了如何引導學生進行反思性學習，進而提升學生的直觀想象能力。

引導學生對解題過程進行反思，是提高學生解題元認知水平的需要，是加深學生對數(shù)學知識的理解的有效途徑[2]。認知心理學認為，熟練掌握基本技能需要經(jīng)過三個階段，分別是認知階段、聯(lián)系階段、自動化階段。如何讓學生的解題技能達到自動化階段呢？反思性學習是必由之路。同時，直觀想象能力可以讓學生透過問題的表面迅速找到思考的方向。學生通過反思性學習抽取模型和方法，提升直觀想象素養(yǎng)，同時又利用直觀想象素養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)更多模型和方法，長此以往，學生的數(shù)學解題能力才能得以提升，數(shù)學素養(yǎng)才能得以發(fā)展。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

【作者簡介】

楊振興（1985～），男，漢族，福建泉州人，本科，中學一級教師。研究方向：數(shù)學教育。

*基金項目：本文系廈門市直屬中小學2019年度課題“基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學反思性學習能力培養(yǎng)策略研究”（課題編號：zsx2019003）階段性研究成果。