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    論中考數(shù)學(xué)中一類典型的直線型軌跡問題

    2022-05-30 18:52:35李寶娜趙繼仙
    關(guān)鍵詞:中考數(shù)學(xué)

    李寶娜 趙繼仙

    【摘 要】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考數(shù)學(xué)經(jīng)??疾榈闹匾R(shí)點(diǎn)。文章以簡單的直線型動(dòng)點(diǎn)軌跡為例,從簡單到復(fù)雜,總結(jié)出此類問題的特征,并給出此類問題的一般解題思路,最后以中考真題進(jìn)行模擬演練,以幫助學(xué)生熟練掌握找動(dòng)點(diǎn)軌跡的思路和方法。

    【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué);直線型軌跡問題;動(dòng)點(diǎn)軌跡

    【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437(2022)24-0090-03

    “種瓜得瓜,種豆得豆”經(jīng)常用來形容種了什么因,就得到什么果。生活中有大量這樣的例子,如經(jīng)常鍛煉的人會(huì)有好的身體、勤勞的人生活水平會(huì)提升。數(shù)學(xué)中也有這樣的例子,如圖1,直線l上任一點(diǎn)A與直線外一定點(diǎn)O相連,取OA中點(diǎn)B,當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)A在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),從動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的軌跡也是一條直線。這其實(shí)就是“種瓜得瓜,種豆得豆”的一種表現(xiàn),因此可以稱之為“瓜豆原理”,常用來找從動(dòng)點(diǎn)的軌跡[1]。

    本文圍繞中考數(shù)學(xué)一類典型的直線型軌跡問題,從簡單到復(fù)雜,逐漸增加要素,引導(dǎo)學(xué)生探索動(dòng)態(tài)變化過程中的變與不變,進(jìn)而得出“直線型瓜豆原理”的一般結(jié)論。

    1? ?解題思路探究

    1.1? 基礎(chǔ)認(rèn)知

    解題前要明確一個(gè)事實(shí):動(dòng)點(diǎn)與某定點(diǎn)的連線和定直線的夾角固定不變時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。

    1.2? “瓜豆原理”解題思路探索

    本文例子的分析重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行一般性探索,首先掌握探索的方法,其次才是結(jié)論的總結(jié)。

    例1:如圖2,O為定點(diǎn),點(diǎn)P是直線AB(圖中為線段,便于探索軌跡長度)上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,點(diǎn)Q是OP上一點(diǎn);當(dāng)Q滿足為OP中點(diǎn)時(shí),隨著點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q的軌跡是什么?

    分析:主動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致從動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng),應(yīng)采用從特殊位置開始分析,再聯(lián)系一般位置的方法進(jìn)行探索。

    第一步,找出主動(dòng)點(diǎn)P的初始位置,畫出初始圖形,如圖3,圖中P0、Q0、OP0均固定。第二步,利用初始位置和任意位置,借助中位線(相似模型),證明動(dòng)點(diǎn)位置軌跡關(guān)系。連接Q0Q,如圖3利用中位線得到Q0Q∥AB,依據(jù)Q0定點(diǎn)、AB定線,可以得出Q0Q位置固定(實(shí)際是過定點(diǎn)Q0,且與定線OQ0成固定夾角)。第三步,利用初始位置和終止位置,得到動(dòng)點(diǎn)軌跡長度關(guān)系式。如圖4,圖中P1、Q1、OP1均固定,利用中位線得到Q0Q1∥AB且Q0Q1=AB。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線(上一部分),且Q的軌跡長度是P點(diǎn)軌跡長度的一半。

    由于中點(diǎn)具有特殊性,為不失一般性,因此在OP上任取一點(diǎn)進(jìn)行下一步的分析。

    例2:如圖5,O為定點(diǎn),點(diǎn)P是直線AB(圖中為線段,便于探索軌跡長度)上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,點(diǎn)Q是OP上一點(diǎn);當(dāng)Q滿足OQ=OP時(shí),隨著點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q的軌跡是什么?

    仿照例1的思路,完全類比操作。

    第一步,找出主動(dòng)點(diǎn)P的初始位置,畫出初始圖形。如圖6,圖中P0、Q0、OP0均固定。第二步,利用初始位置和任意位置,借助相似模型,證明動(dòng)點(diǎn)位置軌跡關(guān)系。連接Q0Q,如圖6,利用,∠P0OP=∠Q0OQ,得到 ΔP0OP∽ ΔQ0OQ,則∠OAB=∠OQ0Q,依據(jù)Q0定點(diǎn)、可以得出Q0Q位置固定(實(shí)際是過定點(diǎn)Q0,且與定線OQ0成固定夾角)。第三步,利用初始位置和終止位置,得到動(dòng)點(diǎn)軌跡長度關(guān)系式。如圖7,圖中P1、Q1、OP1均固定,利用 ΔP0OP1∽ ΔQ0OQ1得到Q0Q1∥AB且Q0Q1=AB。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線(上一部分),且Q的軌跡長度是P點(diǎn)軌跡長度的。

    例1和例2中,都有位似的影子,并且可以看到整個(gè)探索過程大致分為三步:第一步,找起點(diǎn),畫出初始圖形;第二步,利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型,得出軌跡位置;第三步,找終止位置,利用初始位置和終止位置,求出軌跡長度。

    下面進(jìn)一步加入變化的因素,繼續(xù)探索。

    例3:如圖8,O為定點(diǎn),點(diǎn)P是直線AB(圖中為線段,便于探索軌跡長度)上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,將線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(可改為任意α),并放縮為原來的n倍,得到OQ,隨著點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q的軌跡是什么?

    第一步,找起點(diǎn),畫出初始圖形。如圖9,實(shí)際是把OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,放縮為原來的n倍,圖中OQ0、OP0均固定。第二步,利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型,得出軌跡位置。連接Q0Q,如圖10,利用,∠P0OP=∠Q0OQ=90°-∠POQ0,得到△P0OP∽△Q0OQ,則∠OAB=∠OQ0Q,依據(jù)Q0定點(diǎn),可以得出Q0Q位置固定(實(shí)際是過定點(diǎn)Q0,且與定線OQ0成固定夾角)。第三步,找終止位置,利用初始位置和終止位置,求出軌跡長度。如圖11,實(shí)際是把OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,放縮為原來的n倍,圖中OP1、OQ1均固定,利用ΔP0OP∽ΔQ0OQ得到Q0Q1=nAB。并由圖12可以得到Q0Q1與AB所夾的角為90°(或α)。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線(上一部分),且Q的軌跡長度是P點(diǎn)軌跡長度的n倍。

    由例3可以知道,即使加入旋轉(zhuǎn)放縮的因素,整個(gè)探索的過程也不會(huì)發(fā)生變化,雖然結(jié)論上發(fā)生了變化,但依舊可以得出以下結(jié)論:①軌跡相對(duì)位置不變;②軌跡長度與旋轉(zhuǎn)放縮的比例有關(guān)。

    接下來以一個(gè)具體題目為例開展演練,進(jìn)而總結(jié)題目滿足什么條件、結(jié)論具有什么特征。

    例4:如圖13,在正方形ABCD中,AB=1,P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),由點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到C停止。連接AP,以AP為直角邊向右側(cè)作等腰直角三角形,另一個(gè)頂點(diǎn)為Q。則點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為__________。

    該題依舊有動(dòng)態(tài)的變化,因此仍采用“特殊聯(lián)系一般”的分析方法。第一步,找起點(diǎn),畫出初始圖形。如圖14,點(diǎn)P的初始位置為B,此時(shí)以AP為直角邊作的等腰直角三角形即為△ABC。第二步,利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型,得出軌跡位置。連接CQ,如圖15,利用,∠BAP=∠CAQ=45°-∠PAC,得到ΔBAP∽ΔCAQ,則∠ABP=∠ACQ=90°,由AC為定線,可知Q始終在固定直線上運(yùn)動(dòng)。第三步,找終止位置,利用初始位置和終止位置,求出軌跡長度。如圖16,點(diǎn)P的終止點(diǎn)為C,此時(shí)以AP為直角邊作的等腰直角三角形記為ΔACE,從圖形位置可以直接得點(diǎn)Q的軌跡為CE,長度為。

    仿照前面4個(gè)例題,把點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)(CE)與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)(BC)聯(lián)系在一起。利用,

    ∠BAC=∠CAE=45°,得ΔBAC∽ΔCAE,得到,即得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線(上一部分),且Q的軌跡長度是P點(diǎn)軌跡長度倍。

    實(shí)際上,例4為例3的一種情況:主動(dòng)點(diǎn)P在定線段BC上運(yùn)動(dòng),連接AP后,將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,并擴(kuò)大為原來的倍,得到從動(dòng)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡也為線段(且與點(diǎn)P軌跡夾角為45°),且點(diǎn)Q的軌跡長度是點(diǎn)P軌跡長度的倍。由此可見與題目是否描述為旋轉(zhuǎn)沒有關(guān)系。

    1.3? “瓜豆原理”解題思路總結(jié)

    通過前面例題的探索,可以得出一個(gè)關(guān)于“瓜豆原理”的結(jié)論:分析背景條件后,若主動(dòng)點(diǎn)P、從動(dòng)點(diǎn)Q與定點(diǎn)A連線的夾角為定值(可以看作旋轉(zhuǎn)角,記為α),且從動(dòng)點(diǎn)Q、主動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A連線的比值為定值(不妨記),則從動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡與點(diǎn)P保持一致,即當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),可以得到如下結(jié)論:①點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng);②運(yùn)動(dòng)軌跡的夾角α,從動(dòng)點(diǎn)軌跡長度與主動(dòng)點(diǎn)軌跡長度的比值為定值k。

    2? ?總結(jié)

    動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考數(shù)學(xué)經(jīng)??疾榈闹匾R(shí)點(diǎn),同時(shí)也是學(xué)生縱向調(diào)用知識(shí)的難點(diǎn),本文不斷添加變化的條件、提取特征、總結(jié)方法的整個(gè)過程是可以遷移的。

    “瓜豆原理”既是結(jié)論,也是探索過程,尤其當(dāng)中涉及化動(dòng)為靜、動(dòng)靜結(jié)合的操作原則以及“從特殊到一般”的探索方法,是初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中務(wù)必要掌握的內(nèi)容。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]何華軍.凸顯思維過程,提升解題能力——對(duì)一道直線型軌跡問題的探究[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2020(11).

    【作者簡介】

    李寶娜(1988~),女,漢族,河南安陽人,碩士研究生,助教。研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)。

    趙繼仙(1991~),女,漢族,河南洛陽人,碩士研究生,助教。研究方向:思想政治教育。

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