空間向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

【摘 要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)和考試過程中都會(huì)遇到這一類型的題目。對(duì)于一些簡單的幾何圖形問題，學(xué)生只需要應(yīng)用傳統(tǒng)方法就可以得到答案，但在復(fù)雜圖形和計(jì)算問題中，就需要用到空間向量法來解決。向量法能夠簡化幾何問題，幫助學(xué)生快速求得問題的答案。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);空間向量;立體幾何;解題策略

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0084-03

空間向量在立體幾何解題中具有很高的應(yīng)用價(jià)值，無論多么復(fù)雜的問題都可以用這種思路將其簡化，而且空間向量還能對(duì)立體幾何問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其變成學(xué)生熟悉的代數(shù)問題。本文對(duì)空間向量的一些定理和考查知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，并分析應(yīng)用其解決立體幾何問題的策略。

1? ?空間向量概述

1.1? 空間向量定理

空間向量包括方向、大小，其中大小也被稱為長度。當(dāng)長度是零的時(shí)候就是零向量，相反向量就是長度相同但方向相反的量，相等向量則是長度和方向都相等的量。在空間向量中，基本分為共線、共面與分解三個(gè)定理，其中共線定理是指兩個(gè)向量a、b平行，且存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb;共面定理是指向量a與向量b不在直線上，向量c和二者存在實(shí)數(shù)x、y，使得c=ax+by;分解定理是指向量a、向量b、向量c都不在一個(gè)平面上，空間內(nèi)任意一點(diǎn)向量q滿足q=xa+yb+zc。在空間向量中，已知任意三個(gè)向量a、b、c都不在一個(gè)平面之中，卻又可以成為一組基底，則零向量唯一。

1.2? 空間向量的優(yōu)越性

在立體幾何解題中，空間向量是一種比較特殊的知識(shí)內(nèi)容，在解決幾何問題方面優(yōu)勢(shì)突出，如求取線面位置關(guān)系、點(diǎn)面距離問題時(shí)，用空間向量法可以快速解答。學(xué)生可以使用坐標(biāo)系方法建立空間模型，將立體幾何圖形中的線面平行或垂直關(guān)系論證出來，就可以將問題快速解決。在空間問題和線面夾角問題中，學(xué)生也可以嘗試采用空間向量法表示線與面的垂直平行關(guān)系，求出線面夾角。在立體幾何的解題中，通常都會(huì)涉及度量與位置關(guān)系這兩個(gè)問題，其中度量問題是指點(diǎn)、線、面的距離問題與角度問題，位置關(guān)系包括線面平行、線面垂直、線線相交等。在分析具體問題的過程中，學(xué)生經(jīng)常需要利用空間向量法處理線與線之間垂直、平行和角度的問題，通過向量證明線與面的平行關(guān)系，而在線面角度或者點(diǎn)面距離問題上的應(yīng)用較少[1]。

1.3? 空間向量的考查要點(diǎn)

在立體幾何解題中，學(xué)生需要知道空間向量考查要點(diǎn)具體有哪些，對(duì)考查要點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，這樣在考試的過程中才能夠心中有數(shù)，臨危不亂。首先，學(xué)生要理解平面向量和直線向量，通過向量形式將線、平面之間的位置關(guān)系表達(dá)出來。在空間向量知識(shí)點(diǎn)的考查中，通常需要學(xué)生用向量證明平面和直線的位置關(guān)系。另外，考試經(jīng)常會(huì)涉及一些角度的計(jì)算問題，要求學(xué)生在復(fù)雜的立體幾何圖形中求出平面、直線之間的夾角。在考試的時(shí)候，學(xué)生遇到的立體幾何垂直問題比較多，這方面一直都是高考考查的關(guān)鍵點(diǎn)，而且考查形式多種多樣，經(jīng)常會(huì)要求學(xué)生集中解決平面空間問題。

2? ?空間向量與立體幾何的關(guān)系

前文提到，立體幾何是高中數(shù)學(xué)的常見習(xí)題，同時(shí)也是新課改背景下高考的重要考點(diǎn)。在空間圖形部分的講解中，教材首先對(duì)柱體、椎體等幾何圖形進(jìn)行了介紹與剖析，初步調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力。此后，教材緊接著安排了點(diǎn)、直線、面之間的位置關(guān)系，意在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，提高學(xué)生的推理演繹能力?？臻g向量是解決立體幾何問題的有效途徑之一，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，作為解決立體幾何問題的重要工具，空間向量的作用不可忽視[2]。空間向量能夠?qū)⒊橄蟮膸缀螁栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的方法解決問題，使問題更加具體。通常來說，面對(duì)空間想象能力較差的學(xué)生，教師會(huì)首先選擇向量法進(jìn)行立體幾何問題的講解，這一方法的使用既能夠有效避免立體幾何問題中最難以突破的尋找輔助線問題，又能夠幫助學(xué)生快速找準(zhǔn)目標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系。需要注意的是，教師應(yīng)正確選擇引入空間向量的時(shí)機(jī)，若過早引導(dǎo)學(xué)生通過向量解決問題，很可能會(huì)影響學(xué)生空間想象能力的發(fā)展，也可能會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜度，起到反作用，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

3? ?立體幾何解題中空間向量法的應(yīng)用策略

3.1? 通過坐標(biāo)法解決立體幾何中線面位置和角度問題

在立體幾何解題中，通常會(huì)要求學(xué)生用空間向量法解決線面之間的位置關(guān)系或者角度問題。學(xué)生在解這類問題時(shí)首先要確定是否能夠建立起正確的坐標(biāo)系，用坐標(biāo)將題目中的已知點(diǎn)表達(dá)出來，若是可以那就建立坐標(biāo)系，求出平面法向量。在法向量的求取中，學(xué)生需要在幾何圖形中找出平面的垂直向量，若是沒有那就設(shè)一個(gè)n=（x，y，z），因?yàn)榇怪标P(guān)系，所以n和平面內(nèi)兩條相交直線垂直，這樣就可以列出方程，將法向量計(jì)算出來。在兩個(gè)平面夾角問題的處理方面，學(xué)生只需要將它們的法向量求出來，也可以通過法向量夾角和公式，將二面角求出來。在立體幾何解題中，學(xué)生需要理解出題人的意圖，將題目轉(zhuǎn)化為自己能夠理解的內(nèi)容。如在求取平面與點(diǎn)之間的距離時(shí)，就是將這個(gè)平面的法向量求出來，學(xué)生可以在平面上任意取點(diǎn)，將平面外一點(diǎn)和平面上任意點(diǎn)形成的向量取為n1，那么法向量就可以套用公式求出來了。

在二面角問題的求解中，教師需要告知學(xué)生，兩個(gè)法向量的方向是一進(jìn)一出的，所求二面角的平面角與兩個(gè)法向量的夾角是相同的。若發(fā)現(xiàn)兩個(gè)法向量的方向是同進(jìn)同出，此時(shí)所求的二面角的平面角將與法向量夾角的補(bǔ)角相等。在判斷二面角究竟是銳角還是鈍角時(shí)，可能需要學(xué)生對(duì)方向進(jìn)行判斷，對(duì)于很多學(xué)生來說這是一大難點(diǎn)。因此，在正式計(jì)算之前，學(xué)生可先依照題意，對(duì)所求二面角的大小進(jìn)行直觀判斷，在此基礎(chǔ)上取相等角或補(bǔ)角即可。

3.2? 立體幾何解題中的空間向量應(yīng)用步驟

空間向量法作為一種常規(guī)解題思路，在高中立體幾何部分比較常見，教師通常都會(huì)考查學(xué)生對(duì)向量的定義、公式等的把握。另外，空間向量法比較簡單，而且應(yīng)用模式比較固定，學(xué)生在使用時(shí)都不需要畫線輔助，能夠節(jié)省學(xué)生的答題時(shí)間，并降低解題難度。在采用空間向量法處理立體幾何問題時(shí)，學(xué)生需要掌握以下幾個(gè)步驟。首先，學(xué)生需要建立直角坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系的建立通常都是在已知條件中選擇三條線，若是沒有那就要找兩條垂直線，然后將第三條線繪制出來。其次，答題過程中學(xué)生需要用到坐標(biāo)點(diǎn)，將坐標(biāo)向量求取出來，學(xué)生在求取時(shí)一定要用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)，這一點(diǎn)不能顛倒。將所有向量坐標(biāo)都用方程羅列出來之后，學(xué)生就可以按照要求套用公式，解決立體幾何問題。最后，在公式應(yīng)用方面，學(xué)生需要認(rèn)真仔細(xì)，不能出現(xiàn)半點(diǎn)差錯(cuò)，否則就會(huì)影響最終答題的結(jié)果。在立體幾何解題中，線面夾角問題出現(xiàn)的頻率比較高，學(xué)生在解題時(shí)通常都會(huì)面臨繁瑣的運(yùn)算過程和復(fù)雜的幾何圖形。傳統(tǒng)解題思路顯然不能為學(xué)生的解題節(jié)省時(shí)間，解題過程中也容易出錯(cuò)。因此，學(xué)生在解決這類問題時(shí)往往會(huì)使用空間向量法，從而化繁為簡，借助幾個(gè)常用公式和定義就可以將夾角問題輕松解決。如以下題目：在如圖1所示的正方體幾何圖形中，請(qǐng)將平面BB1D1D和直線A1B間的夾角求出來。

在這道題中，學(xué)生首先需要建立直角坐標(biāo)系，將正方體長度設(shè)置為a，通過向量法表示點(diǎn)A1、B、C1，然后將平面法向量和A1B向量表示出來，即A1C1=（-a，a，0），A1B=（0，a，-a）。根據(jù)公式可以得出直線A1C1與A1B形成角的余弦值是0.5，那么這兩個(gè)向量夾角就是60°，則平面BB1D1D和直線A1B間的夾角就求出來了。

在處理這道題目時(shí)，學(xué)生需要把握問題的關(guān)鍵，將平面法向量求出來。若是題目中并沒有和平面垂直的直線，學(xué)生就需要先畫一條垂直于平面的直線，利用方程將法向量求出來，然后再根據(jù)題目要求求出平面和直線的夾角。

3.3? 立體幾何解題中空間向量定義的應(yīng)用

在立體幾何解題中，經(jīng)常會(huì)要求學(xué)生用空間向量的定義解決問題?？臻g向量的定義包括方向和大小兩方面，在一個(gè)立體空間中存在方向和大小的量就是向量。如在高中物理教學(xué)中，學(xué)生需要用矢量表達(dá)出力，這在高中數(shù)學(xué)中就是指的向量。在代數(shù)領(lǐng)域中，無論采用哪種方式，都不會(huì)對(duì)其作用或者性質(zhì)產(chǎn)生影響，若是用向量法去求取，尤其是立體幾何解題中，學(xué)生要能夠用坐標(biāo)系的方法表示向量。高中立體幾何問題中，學(xué)生遇到的多是平面圖形和立體圖形，因此右手直角坐標(biāo)系就成為了一種常規(guī)手段，教師在課堂教學(xué)時(shí)也經(jīng)常使用這種手段。如在同一個(gè)立體幾何圖形坐標(biāo)系中，要求學(xué)生證明直線a、b是垂直的。學(xué)生可以得出a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），通過空間向量知識(shí)來證明兩線垂直。通常相互垂直的向量數(shù)量積為零，那么在坐標(biāo)系中學(xué)生只需要相乘就可以，若a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0，那么就表示兩個(gè)向量垂直，也就證明a、b兩條直線垂直。通過以上案例可以發(fā)現(xiàn)，在立體幾何解題中，學(xué)生只需要用空間向量法就可以將幾何圖形的位置表達(dá)出來，這比以往學(xué)生用畫圖的方法求解要簡單很多。很多復(fù)雜的立體幾何圖形都可以用代數(shù)方法計(jì)算出來，在立體幾何解題中，空間向量法除了可以幫助學(xué)生解決兩線垂直問題，還可以用來證明兩線是否平行或者相交、異面。

3.4? 應(yīng)用空間向量求立體幾何中點(diǎn)到平面的距離

想要求出點(diǎn)到平面的距離，關(guān)鍵是要確定平面法向量，同時(shí)還要找到該點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的向量關(guān)系。利用點(diǎn)到平面的距離公式，不僅可以教會(huì)學(xué)生求解點(diǎn)到平面的距離，還能夠拓展到直線與平面的距離或者平面之間的距離[3]。

以下述題目為例：如圖2所示，在三棱錐P-ABC中，D、E、F分別為棱AB、BC、CP的中點(diǎn)。已知，AB與AC相等，均為1，PA為2，求解直線PA與平面DEF所成角為多少度？

該題可采用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，首先確定A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上建立空間直角坐標(biāo)系，具體如圖2所示。結(jié)合已知條件A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（，0，0），E（，，0），F(xiàn)（0，，1）可得向量AP、DE與DF分別為（0，0，2）、（0，，0）與（-，，1）。假設(shè)n=（x，y，z）為平面DEF的一個(gè)法向量，那么n與向量DE、DF相乘均為0，從而可得出x，y，z之間的關(guān)系，此時(shí)，將x取值為1，可得n=（1，0，）。而后，將PA與平面DEF所成角的大小設(shè)置為θ，通過三角函數(shù)公式求出θ的值。

根據(jù)上述解題分析可知，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算去解決立體幾何問題，無論是思維深度還是運(yùn)算技巧方面，都容易被學(xué)生接受、理解，可以幫助學(xué)生更好地解答相關(guān)問題。

綜上所述，空間向量法是一種有效的解題路徑，能夠幫助學(xué)生快速解決立體幾何中的一些疑難問題。學(xué)生在使用空間向量法時(shí)，要靈活運(yùn)用它的定義和公式，避免解題出錯(cuò)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李光所.解決立體幾何問題中空間向量的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2019（5）.

[2]陸俊玲.淺談向量在立體幾何中的應(yīng)用[J].科技風(fēng)，2020（18）.

[3]黃桂南.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（6）.

【作者簡介】

楊正山（1976～），男，苗族，云南馬關(guān)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。