驀然回首，新定義題卻在燈火闌珊處

夏田豪　聞黎明

【摘 要】 本文從浙教版教材九年級上冊第三章的一道課后習(xí)題出發(fā)，深度挖掘教材中的基本圖形，通過一整節(jié)課的探究，先一圖多題，再一題多解、一題多變，最后從基本圖形的結(jié)構(gòu)特征中引出新定義，再從性質(zhì)、判定、應(yīng)用，結(jié)合之前的一題多變引出一道完整的學(xué)生既熟悉又害怕的新定義題.讓學(xué)生學(xué)習(xí)了這堂課后對新定義題感到不再害怕，并且初步找到解決的辦法.最后給學(xué)生總結(jié)解新定義題的初步方法：新定義題有套路，先從定義引性質(zhì)，再用互逆得判定，最后拓展用性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】 一題一課;新定義題;解題教學(xué);問題驅(qū)動

1 重拾故題，引出基本圖形

筆者選取浙教版教材九年級上冊第三章第5節(jié)習(xí)題A組第2題作為本節(jié)課的“一題一課”的出發(fā)點，原題為已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，弦AC和半徑OP平行，求證：CP=PB.

考慮到學(xué)生對之前學(xué)習(xí)過的知識點比較零散，很少能夠去獨立思考數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系，大部分同學(xué)只是被動地去解題，很少去關(guān)注幾何題的基本結(jié)構(gòu)和變式，因此在本節(jié)課的一開始，筆者選擇將原題中的一個條件和結(jié)論隱去，讓學(xué)生去自主編題，不斷的通過對基本題中的條件的變化，由淺入深，讓學(xué)生在經(jīng)歷基礎(chǔ)、提高與挑戰(zhàn)的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，并最終形成數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，OP是半徑，AC為弦，請你添加一個條件，求證：.

學(xué)生很快編出不同的題目，如

添法1：添加條件AC∥OP，求證：CP=PB;

添法2：添加條件∠CAO=∠POB，求證：CB=2PB;

添法3：添加條件CP=PB，求證：AC∥OP;

……

教師選擇學(xué)生的第一個命題并進行重點探究，通過學(xué)生講解以及教師歸納和補充，呈現(xiàn)了以下解法：

解法1 利用垂徑定理，連接BC，

因為AB為直徑，所以∠ACB=90°.因為OP∥AC，所以O(shè)P⊥BC，所以PC=PB.

解法2 利用平行弦，延長PO，交圓O于點Q，

因為AC∥PQ，所以AQ=PC.因為∠AOQ=∠POB，所以AQ=PB，所以PC=PB.

解法3 利用“平行+等腰”，連接CO，

因為AC∥OP，所以∠POB=∠CAO，∠POC=∠ACO.

因為AO=CO，所以∠CAO=∠ACO，所以∠POC=∠POB，所以PC=PB.

解法4 利用圓周角、圓心角關(guān)系，連接CO，

因為AC∥OP，所以∠POB=∠CAO.

因為∠CAO=12∠COB，所以∠POB=12∠COB，所以PB=12BC，所以PC=PB.

以上這些解決圓相關(guān)問題的基本方法是本節(jié)課復(fù)習(xí)的重點，通過不同解法的講解，開拓了學(xué)生的思路.最后，筆者及時總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)很多幾何問題是存在互逆關(guān)系的，如添法1和添法3，就是把結(jié)論變換成條件，可以得到一個新的問題，這是我們研究數(shù)學(xué)的一個好方法.更主要的是我們在這樣一圖多題的變化中，讓學(xué)生抓住圖形的特征，對這個基本圖形有一個更深刻的認知.

2 問題驅(qū)動，拓展基本圖形

很多時候，平常的復(fù)習(xí)課最后都變成了習(xí)題課，學(xué)生解了一題又一題，雖然有時候也會出現(xiàn)一些好題，但是題目之間的聯(lián)系卻很難被揭示.“一課一題”是指在初中數(shù)學(xué)課堂中一種教學(xué)形式.在課前通過對一道題或一個材料的深入研究，在40分鐘課堂內(nèi)，通過教師引導(dǎo)、學(xué)生自導(dǎo)、生生互導(dǎo)，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)情，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進行相關(guān)的數(shù)學(xué)探索活動，從而完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，這是一種以學(xué)生素養(yǎng)為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)過程[1].為此筆者以圖1為基本圖形進行變式教學(xué).

【變式1】

問題1 如圖2，AB為⊙O的直徑，AC為弦，PC=PB，連接BP并延長交AC延長線于點D，你能發(fā)現(xiàn)圖中新的相等的線段嗎？

學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)多組數(shù)量關(guān)系，如AD=AB、DP=PB等.由于前面已經(jīng)詳細證明，在這里采用讓學(xué)生口頭講述，完成數(shù)量關(guān)系的證明，進一步鍛煉提出問題和解決問題能力.其實從這個變式的解答過程來看除了得出AD=AB外，還可以得出OP∥AC這個結(jié)論的，因此又可以變出以下問題：

問題2 如圖2，AB為⊙O的直徑，AC為弦，連接BP并交AC延長線于點D，若AB=AD，你能發(fā)現(xiàn)圖中線段的特殊位置關(guān)系嗎？

通過剛剛的研究，發(fā)現(xiàn)很多幾何問題是存在互逆關(guān)系的，同一個幾何圖形，把結(jié)論變?yōu)闂l件，又可以得到一個新的問題，幫助我們更深入地研究幾何問題.本例引導(dǎo)學(xué)生從互逆角度去研究圖形，并滲透研究幾何的基本思路.

【變式2】

問題3 已知：如圖3，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OP∥AC，延長OP，任取一點D，連接DC，DB，猜想DC，DB會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)DC=DB，很快地解決此問題，筆者及時點評.同時繼續(xù)追問D點在OP延長線上運動過程中，DC=DB的這個結(jié)論是否具有一般性？

【變式3】

問題4 已知：如圖4，AB為⊙O的直徑，OP∥AC，延長OP，在OP上任取一點D，連接DC，DB，再連接AD交⊙O于點E，若∠CAD=12∠BAD，猜想在D點變化過程，是否仍然存在不變的線段.

由于此問題中的結(jié)論DE=AO比較難發(fā)現(xiàn)，所以考慮先讓學(xué)生猜想，然后教師運用幾何畫板，通過度量圖中的線段，展示點在D點變化過程是否存在哪些線段保持不變.我們知道，在動點背景下，研究圖形中的不變量是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，通過幾何畫板的展示，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、計算、猜測、驗證，引起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.通過幾何畫板中線段數(shù)值的變化，讓學(xué)生直觀感受到線段的變化，并最終發(fā)現(xiàn)了線段DE始終等于半徑.最后引導(dǎo)學(xué)生：當(dāng)證明兩條線段相等的時候，我們可以通過證明兩個三角形全等，或者構(gòu)造等腰三角形來進行思考.最終學(xué)生完成解答：

連接EO，設(shè)∠CAD=x，因為∠CAD=12∠BAD，所以∠BAD=2x.

因為AC∥OP，所以∠CAD=∠ADO=x.因為AO=OE，所以∠BAD=∠AEO=2x.

因為∠AEO=∠EOD+∠EDO，所以∠EOD=x，所以∠EOD=∠EDO=x.

所以DE=OE，所以DE=AO.

問題5 在問題4的基礎(chǔ)上，增加條件：若AB=10，CD=61，求AE的長.

學(xué)生易發(fā)現(xiàn)連接BE，

因為AB為直徑，所以∠AEB=90°.在Rt△DEB中，根據(jù)DE=AO=5，DB=DC=61

得BE=DB2-DE2=6.在Rt△AEB中，根據(jù)BE=6，AB=10，

得AE=AB2-BE2=8.

3 驀然回首，破解新定義題

在課堂教學(xué)中，教師要留出一定的時間和空間讓學(xué)生進行反思和總結(jié)，積累本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生觀察一下黑板上原題中的這個基本圖形.看看圖中的那些線有什么基本特征，我們發(fā)現(xiàn)有一條直徑（邊說邊用其他顏色的粉筆描畫AB），還有一條和直徑有公共端點的弦（邊說邊用其他顏色的粉筆描畫AC），還有一條和弦平行的半徑（邊說邊用其他顏色的粉筆描畫OP）.引導(dǎo)同學(xué)思考，這三條描畫出來的線條構(gòu)成了一個橫寫的字母“F”，并最終和學(xué)生一起給這個基本圖形中線段的構(gòu)成特征給出一個新的定義：一個圓中，有公共端點的直徑與弦構(gòu)成的圖形內(nèi)，平行于這條弦的半徑稱為這條弦的“F”形半徑，同步給出板書，并描述新定義.然后和學(xué)生說，老師也以此新定義為基本素材，編制了一道新定義題，請同學(xué)來解答一下.

一個圓中，有公共端點的直徑與弦構(gòu)成的圖形內(nèi)，平行于這條弦的半徑稱為這條弦的“F”形半徑;

（1）如圖5，AB為⊙O直徑，OP是弦AC的“F”形半徑，求證：BP=CP;

（2）如圖6，△ABD中，AB=AD，以AB為直徑作⊙O交AD于C，交BD于P，

求證：OP是弦AC的“F”形半徑;

（3）如圖7，AB為⊙O直徑，OP是弦AC的“F”形半徑，在OP延長線上取點D，使∠CAD=12∠BAD，AD交BC于點E，若AB=10，CD=61，求AE.

同學(xué)們對于新定義題是非常頭疼的，但不少同學(xué)馬上發(fā)現(xiàn)了這個新定義題就是我們這節(jié)課的研究的內(nèi)容.新定義題中的第一問就是我們的原題，主要是從新定義中定義的本身出發(fā)可以推出什么樣的性質(zhì)，即從OP是弦AC的“F”形半徑，可以得到BP=CP;新定義題中的第二問就是我們變式1中的問題2，主要是將新定義題條件和結(jié)論互逆，研究新定義的判定，證明到線平行就可以說明OP是弦AC的“F”形半徑;新定義題中的第三問就是我們變式2中的問題3、變式3中的問題4和問題5，主要是拓展運用新定義的性質(zhì).正當(dāng)學(xué)生還在感嘆之余，教師適時營造氣氛，引用電影《夏洛特?zé)馈分械慕?jīng)典橋段，就此情此景，即興賦詩一首：“驀然回首，新定義題卻在燈火闌珊處！”最后，和學(xué)生一起進行課堂總結(jié)，這節(jié)課我們有什么收獲？在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上，歸納了解決新定義題的基本套路，編成了一個順口溜：新定義題有套路，先從定義引性質(zhì)，再用互逆得判定，最后拓展用性質(zhì).

4 意猶未盡，再析新定義題

4.1 摸清新定義題套路，克服新定義題的解題恐懼

所謂“新定義問題”，是給出一個學(xué)生沒有接觸過的事物的新定義，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，去解決問題.在平常的教學(xué)中，常常發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對新定義題有恐懼心理，害怕閱讀、讀不懂題、提取不出有用的信息等困難.授人以魚，不如授人以漁，新定義題也不例外.學(xué)生之所以恐懼新定義題，主要原因是不清楚新定義題的解題套路.中考新定義題基本是以“先從定義引性質(zhì)，再用互逆得判定，最后拓展用性質(zhì)”的命題思路來開展的，最好以探究的方式來學(xué)習(xí).我國的孔子早在兩千多年前就指出：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”興趣是最好的老師，直接影響學(xué)生對事物的認知與行為趨向性，因此有必要在課上和學(xué)生一起通過基本圖形或基本知識點切入，逐步變式深入拓展，并最終破解新定義題，以此讓學(xué)生了解此類題型的基本套路，消解學(xué)生對這類問題的恐懼.

4.2 變式教材基本習(xí)題，把握新定義題的解題關(guān)鍵

新定義題型構(gòu)思巧妙，立意新穎，重在考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力、實踐能力及創(chuàng)新精神，很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念.我們平常教學(xué)常常是做了一道又一道，被動地解題.但無論題目以何種方式呈現(xiàn)，其本質(zhì)都是源于教材的核心知識.解決這類問題，關(guān)鍵在于緊扣定義，聯(lián)系已學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法.但是由于初三學(xué)業(yè)壓力大，很少有機會經(jīng)歷數(shù)學(xué)教材基本習(xí)題探究過程.讓學(xué)生經(jīng)歷歸納和學(xué)習(xí)新知的過程，而從教材基本習(xí)題歸納出新定義，這是符合學(xué)生的基本學(xué)習(xí)規(guī)律的，這和目前的教學(xué)改革所倡導(dǎo)的理念是相契合的.新定義題教學(xué)中，一定要把思維過程暴露給學(xué)生，讓學(xué)生能夠體會整個題目的探索過程，就像學(xué)生自己經(jīng)歷一樣[2].不僅僅讓學(xué)生知道怎么想，更要讓學(xué)生知道為什么這么想.從過去課堂上的被動地解題到現(xiàn)在教師和學(xué)生一起參與新定義題的命制和成型，可以極大地提高學(xué)生的解題能力.

4.3 歸類整理新定義題，形成新定義題的解題思維

從數(shù)學(xué)材料中抽取出本質(zhì)內(nèi)容或從不同數(shù)學(xué)材料中找出共同點并加以歸納，即數(shù)學(xué)抽象概括能力[3].因此對不同類型的新定義題的歸類整理，可以訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括能力.對于新定義題的教學(xué)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去歸類整理新定義題，如本節(jié)課是屬于圖形類新定義題，還可以進一步研究代數(shù)類新定義題、方程類新定義題、函數(shù)類新定義題等，幫助學(xué)生理順相應(yīng)的解題思路.通過對于不同類型的新定義題的分析比較，提煉基本的解題思想，形成解新定義題的解題思路，做到“解一題，學(xué)會一類題”，從掌握基本解法，發(fā)展到掌握解題策略，最終形成新定義題解題思維.這也是筆者后續(xù)研究的方向，可以嘗試設(shè)計其他不同類型的課例，讓學(xué)生全方位的形成新定義題的解題思維.

4.4 精心預(yù)設(shè)“一題一課”，助力新定義題的解題教學(xué)

新定義題其實是一個完整數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程，具有良好的結(jié)構(gòu)，包含著較多的解題方法，涉及多個核心知識點，同時也蘊含了多種重要的數(shù)學(xué)思想.新定義題的教學(xué)適合采用“一題一課”模式，一道好的新定義題可作為學(xué)生課堂探究活動的起點，給學(xué)生一個“做數(shù)學(xué)”的機會.教師應(yīng)該了解所教學(xué)生的思維特點和學(xué)習(xí)方式，在課堂上要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實水平，預(yù)估課堂中問題設(shè)計的難易程度是否得當(dāng)，根據(jù)課堂上隨時可能會生成的資源，進行教學(xué)過程的預(yù)設(shè)和追問.關(guān)注課堂上學(xué)生的差異，用不同的思維層次的問題引導(dǎo)不同程度的學(xué)生參與課堂，提高新定義題解題教學(xué)的針對性和有效性.精心預(yù)設(shè)“一題一課”，不僅讓學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，還能讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”過程中體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識體系，發(fā)展數(shù)學(xué)基本核心素養(yǎng).

參考文獻

[1]顧以成.探究學(xué)習(xí)模式下的“一題一課”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（06）：38-41.

[2]申海東.對“新定義題型”的若干思考——以“北京中考試題”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（09）：66-69.

[3]章薇薇，浦敘德.例談基于“生本”理念的“一題一課”專題復(fù)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（20）：40-42.

作者簡介 夏田豪（1993—），男，浙江余姚人，碩士，中學(xué)一級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育.

聞黎明（1968—），男，浙江寧波人，中學(xué)高級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育;發(fā)表論文多篇.