Jordan不等式在求解導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用

董立偉

[摘 要]文章研究Jordan不等式在求解含有正弦、余弦形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]Jordan不等式;導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）14-0016-03

一、Jordan不等式

Jordan不等式有如下兩種常用形式。

形式1：設(shè)[0≤x≤π2]，則[2πx≤sinx≤x]。當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]或[x=π2]時(shí)，第一個(gè)等號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時(shí)，第二個(gè)等號(hào)成立。

形式2：設(shè)[0

Jordan不等式形式1的后半部分以習(xí)題的形式出現(xiàn)在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2A版（人民教育出版社，2007年1月第2版）第32頁(yè)習(xí)題1.3的B組第1題。

在高考題與高考模擬試題中，涌現(xiàn)出不少以正弦、余弦函數(shù)與其他初等函數(shù)相結(jié)合的函數(shù)為模型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)壓軸題。由于這類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)形式較復(fù)雜，以及正弦、余弦函數(shù)具有周期性等特點(diǎn)，使得導(dǎo)數(shù)壓軸題的求解思路不易找到，而且求解過(guò)程通常較為煩瑣。借助Jordan不等式，可以幫助我們快速找到問(wèn)題的突破口，簡(jiǎn)化解題步驟。

二、Jordan不等式的應(yīng)用

（一）適度放縮變形，簡(jiǎn)化關(guān)系形式，輔助范圍確定

Jordan不等式將[sin x]放縮為有關(guān)[x]的正比例函數(shù)形式，這使得放縮后的式子形式變得簡(jiǎn)單，從而更容易求出所得式子的取值范圍。

[例1]已知函數(shù)[fx=sin x-x cos x-16x3]， [fx]為[fx]的導(dǎo)數(shù)。

（1）證明：[fx]在區(qū)間[0，π2]上不存在零點(diǎn);

（2）若[fx>kx-x cos x-16x3-1]對(duì)[x∈0，π2]恒成立，求實(shí)數(shù)[k]的取值范圍。

解：（1）[fx=x sin x-12x2]，因?yàn)閇x∈0，π2]，由Jordan不等式，[fx=x sin x-12x2>2πx2-12x2>0]，所以[fx]在區(qū)間[0，π2]上不存在零點(diǎn);

（2）[fx>kx-x cos x-16x3-1]，即[sin x-kx+1>0]。因?yàn)閇x>0]，所以[sin x-kx+1>0]對(duì)[x∈0，π2]恒成立，等價(jià)于[k2π]。又因?yàn)閇1x>2π]，所以[sin xx+1x>4π]，故[k≤4π]。

因此[k]的取值范圍是[-∞，4π]。

[例2]已知函數(shù)[fx=x sin x-a ln x]（[a∈R]）的圖像在[x=π2]處的切線的斜率為[-1]。

（1）求證：當(dāng)[x∈0，π2]時(shí)， [fx>0];

（2）求證：[32sinπ3+12+43sinπ3+13+…+n+1nsinπ3+1n>π lnn+12]（[n≥2]，[n∈N*]）。

第（1）問(wèn)的證明：[fx=sin x+x cos x-ax]，由條件可知 [fπ2=-1]，即[1-2aπ=-1]，解得[a=π]，所以 [fx=x sin x-π ln x]。

當(dāng)[x∈0，π2]時(shí)，由Jordan不等式， [fx>2πx2-π ln x]，構(gòu)造函數(shù)[gx=2πx2] [-π ln x]，[x∈0，π2]，則[gx=4πx-πx=4x2-π2πx]。

當(dāng)[x∈0，π2]時(shí)，[gx<0]，所以[gx]在[0，π2]上單調(diào)遞減。

故[gx>gπ2=π2-πl(wèi)nπ2>π2-πl(wèi)ne=0]。

因此當(dāng)[x∈0，π2]時(shí)， [fx>0]。證畢。

第（2）問(wèn)可借助第（1）問(wèn)所得結(jié)論來(lái)證明，此處不再贅述。

（二）利用成立條件，巧設(shè)分類標(biāo)準(zhǔn)，輔助分類討論

求解含有[sinx]、[cosx]的導(dǎo)數(shù)壓軸題，通常需要分類討論。如何快速準(zhǔn)確地確定分類標(biāo)準(zhǔn)是這類問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)。Jordan不等式自帶成立條件（如形式1中[x∈0，π2]，形式2中[x∈0，π2]，這給我們尋找分類標(biāo)準(zhǔn)提供了參考。

[例3]已知函數(shù)[fx=ex-cos x-ax]（[a∈R]）。

（1）若[fx]在[0，+∞]上單調(diào)遞增，求[a]的取值范圍;

（2）證明：[?x∈0，+∞]，[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]。

第（1）問(wèn)的[a]的取值范圍是[-∞， 1]。因?yàn)槠浣獯疠^為容易，所以略去解答過(guò)程。下面我們主要研究第（2）問(wèn)。

證明：當(dāng)[x=0]時(shí)，不等式顯然成立。

當(dāng)[x∈0，π2]時(shí)，由Jordan不等式，有[sin x0]，所以[sin2x+2sin x-sin x cos x=sin2x+2-cos xsin xx sin x+2x-x cos x]，即[ex>2+sin x-cos x]。構(gòu)造函數(shù)[gx=ex-2-sin x+cos x]，[x∈0，π2]，則[gx=ex-cos x-sin x≥ex-cos x-x]。記[hx=ex-cos x-x]，則[hx=ex+sin x-1>e0+sin0-1=0]，所以[hx]在[0，π2]上單調(diào)遞增，從而有[hx>h0=0]，故[gx>0]。于是，[gx]在[0，π2]上單調(diào)遞增，所以[gx>g0=0]，原不等式成立。

當(dāng)[x∈π2，+∞]時(shí)，[xex>π2eπ2>π2e32>4]，[sin2x+2sin x-sin x cos x≤1+2+1=4]，所以[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]成立。

因此，[?x∈0，+∞]，[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]。證畢。

[例4]（1）研究函數(shù)[fx=sin xx]在[0 ， π]上的單調(diào)性;

（2）求函數(shù)[gx=x2+π cos x]的最小值。

分析：第（1）問(wèn)明顯是以Jordan不等式為背景命制的，解答較為容易，略去其解答過(guò)程。下面我們主要研究第（2）問(wèn)。

解：[gx=2x-π sin x]，由Jordan不等式，當(dāng)[x∈0 ， π2]時(shí)，[sin x>2πx]，即[2x<π sin x]，所以[gx<0]。當(dāng)[x∈π2，+∞]時(shí)，[2x>π]，[-1≤sin x≤1]，所以[2x-π sin x>0]。當(dāng)[x=π2]時(shí)，[gx=0]，所以[gx]在[0， π2]上單調(diào)遞減，在[π2，+∞]上單調(diào)遞增。又因?yàn)閇gx]是偶函數(shù)，所以[gx]在[-∞，-π2]上單調(diào)遞減，在[-π2， 0]上單調(diào)遞增。

計(jì)算得[g0=π]，[g-π2=gπ2=π24]。

因此，當(dāng)[x=π2]和[x=-π2]時(shí)，[gx]取得最小值[π24]。

（三）尋找充分（或必要）條件，規(guī)避思維難點(diǎn)，輔助問(wèn)題解決

當(dāng)函數(shù)解析式中同時(shí)含有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等多種函數(shù)形式時(shí)，由于函數(shù)形式的復(fù)雜性，使得很多時(shí)候正面求解導(dǎo)數(shù)壓軸題并不容易。對(duì)此，我們可以先尋找原問(wèn)題的充分（必要）條件，再證明所得條件也恰好是原問(wèn)題的必要（充分）條件的方法。Jordan不等式可以將[sinx]放大或縮小，為我們尋找這類問(wèn)題的充分（必要）條件提供了可能。

[例5]已知函數(shù)[fx=ax2-1-ln x]，[a∈R]。

（1）討論[fx]的單調(diào)性;

（2）求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍，使得[fx>a sinx-1+1x-e1-x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立（[e=2.71828…]為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

第（1）問(wèn)較為容易，此處略去其解答。下面我們主要研究第（2）問(wèn)。

先給出如下引理。

引理：當(dāng)[x>0]時(shí)，[ln x≤x-1]。

證明：構(gòu)造函數(shù)[Nx=ln x-x+1]，則[Nx=1-xx]。由[Nx=0]得[x=1]。當(dāng)[x∈0， 1]時(shí)，[Nx>0];當(dāng)[x∈1，+∞]時(shí)，[Nx<0]。由此可知，[Nx]在[0， 1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞]上單調(diào)遞減。因此，[Nx≤N1=0]，即[ln x≤x-1]。

第（2）問(wèn)的解答：[fx>a sinx-1+1x-e1-x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立，即[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立。特別地，當(dāng)[x=2]時(shí)成立，解得[a>ln 2+12-1e3-sin 1>0]。

由引理，當(dāng)[x>1]時(shí)，[ln x2-x]。由Jordan不等式，[sinx-1a sinx-1+1x-e1-x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立的充分條件是[ax2-1-x-1≥ax-1+1x-2+x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立。 由[x>1]，化簡(jiǎn)得[a≥-1x2+2x]可得[a≥1]。

下證[a≥1]是[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立的必要條件。

記[gx=ax2-1-ln x-a sinx-1-1x+e1-x]，則[gx=2ax-1x-a cosx-1+1x2-e1-x]。因?yàn)閇g1=0]，所以若有[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在區(qū)間[1，+∞]上恒成立，則有[g1=a-1≥0]，解得[a≥1]。

因此，[a]的取值范圍是[1，+∞]。

[例6]已知函數(shù)[fx=ax-sin x]，[x∈0，+∞]（[a∈R]）。

（1）若[fx>0]，求[a]的取值范圍;

（2）當(dāng)[a=1]時(shí)，證明：[2 fx+cos x>e-x]。

第（1）問(wèn)的解答： [fx>0]，即[ax-sin x>0]。由Jordan不等式，當(dāng)[x∈0 ，+∞]時(shí)，[sin x0]的一個(gè)充分條件是[ax-x≥0]，解得[a≥1]。

下證[a≥1]是[fx>0]的必要條件。

[fx=a-cos x]。因?yàn)閇f0=0]，所以若有[fx>0]，則有[f0≥0]，即[a-1≥0]，解得[a≥1]。

因此，[a]的取值范圍是[1，+∞]。

第（2）問(wèn)的解答省略。

[例7]已知函數(shù)[fx=2sin x-x cos x-x]。 [fx]為[fx]的導(dǎo)數(shù)。

（1）證明：[fx]在區(qū)間[0 ， π]存在唯一零點(diǎn);

（2）若[x∈0 ， π]時(shí)， [fx≥] [ax]，求[a]的取值范圍。

分析：第（1）問(wèn)較為容易，過(guò)程省略。下面我們主要研究第（2）問(wèn)。

解：當(dāng)[x=0]時(shí)，顯然成立。

當(dāng)[x∈0， π]時(shí)，由Jordan不等式， [fx=2sin x-x cos x-x<2x-x cos x-x=x1-cos x]，所以? [fx≥ax]成立的一個(gè)必要條件是[x1-cos x>ax]，即[1-cos x>a]。解得[a≤0]。

下證“[a≤0]”是“[x∈0， π]時(shí)，[fx≥ax]成立”的一個(gè)充分條件。事實(shí)上，我們只需證明[a=0]時(shí)成立即可。

當(dāng)[a=0]時(shí)，原不等式即[2 sin x-x cos x-x≥0]，[fx=cos x+x sin x-1]，[fx=x cos x]。由[fx=0]解得[x=0]或[x=π2]。當(dāng)[x∈0， π2]時(shí)，[fx≥0];當(dāng)[x∈π2， π]時(shí)，[fx≤0]， [fx]在[0， π2]上單調(diào)遞增，在[π2， π]上單調(diào)遞減。

當(dāng)[x∈0， π2]時(shí)， [fx≥f0=0]。當(dāng)[x∈π2， π]時(shí)，因?yàn)閇fπ2=π2-1>0]， [fπ=-2<0]，所以由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，[?x0∈π2， π]，使得[f（x0）=0]。

當(dāng)[x∈0 ， x0]時(shí)，[fx≥0];當(dāng)[x∈x0 ， π]時(shí)，[fx≤0]，所以 [fx]在[0 ， x0]上單調(diào)遞增，在[x0 ， π]上單調(diào)遞減，故[fx≥f0=fπ=0]。

因此，[a]的取值范圍是[-∞， 0]。

Jordan不等式是求解含有正弦、余弦形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)壓軸題的一個(gè)有力工具。在教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生尋找試題與Jordan不等式的契合點(diǎn)，幫助學(xué)生快速形成解題思路。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）