從“算法”到“算理”的升華

吳厚天

【摘 要】理解算理是算法探究的前提，是提升運(yùn)算能力的重要保證，教師往往忽視了三者之間的緊密聯(lián)系。小數(shù)加減法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與難點之一，傳統(tǒng)教學(xué)偏重技能訓(xùn)練，過于關(guān)注“算法”，學(xué)生的錯誤不易糾正，分析各種錯誤，其根本原因在于忽視了對“算理”的教學(xué)。本文認(rèn)為可以從“實物情境”“幾何情境”“數(shù)理情境”三個層面，循序漸進(jìn)地提升學(xué)生對小數(shù)加減法的“算理”的理解;可以從“集中思維”“逆向思維”“發(fā)散思維”幾個維度，逐步強(qiáng)化學(xué)生的“算理”思維。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算能力 算法與算理 強(qiáng)化算理思維 小數(shù)加減法

計算教學(xué)應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解算理，從而探究出合適的算法。理解算理是算法探究的前提，是提升運(yùn)算能力的重要保證。教師的視角往往過于片面，多獨立看待算理、算法和運(yùn)算能力，卻忽視了這三者之間的聯(lián)系。

“小數(shù)加法和減法”是小學(xué)數(shù)學(xué)高年級的教學(xué)內(nèi)容。由于學(xué)生此前已經(jīng)掌握了整數(shù)的加減法，因此很容易遷移到一位小數(shù)的加減法計算。整數(shù)加減法的豎式只要把末位對齊，就能做到相同數(shù)位對齊;而一位小數(shù)加減法的豎式，末位對齊也能做到小數(shù)點對齊。但是，在進(jìn)入多位小數(shù)加減法教學(xué)后，學(xué)生卻經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤，開展多輪練習(xí)也難以解決這個問題。

一、算法練習(xí)掩蓋了“算理”教學(xué)的缺失

教師對學(xué)生進(jìn)行小數(shù)加減法新授課的教學(xué)后，學(xué)生貌似“理解”了算法，但是簡單測試就會發(fā)現(xiàn)問題。測試內(nèi)容分為兩個部分：第一部分是兩道小數(shù)加減法的筆算“6.98+9.3”“13.8-8.3”，正確率達(dá)87.5%;第二部分是對第一部分計算正確的學(xué)生進(jìn)行口頭訪談—“筆算小數(shù)加減法時，為什么要小數(shù)點對齊？”學(xué)生的回答差異很大，正確率為22.9%。也就是說，大部分學(xué)生已經(jīng)會小數(shù)加減法的筆算“算法”了，但是他們中的很多人并不明白其中的“算理”。由于對算理的不理解，學(xué)生貌似明白的算法會錯誤百出，主要集中在“小數(shù)點沒有對齊”“計算出錯”“抄錯數(shù)字”和“計算結(jié)果沒有及時化簡”這幾個方面。當(dāng)然，通過一定量的鞏固訓(xùn)練可以適當(dāng)糾正。鞏固訓(xùn)練示例如下：

鞏固訓(xùn)練后，通過集體反饋的形式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，自主勾選錯誤原因，可以幫助學(xué)生與教師及時進(jìn)行反思，以達(dá)到查漏補(bǔ)缺的目的。奇怪的是過了一段時間，學(xué)生的錯誤依然會發(fā)生。算理和算法是密不可分的整體，算理是支撐算法的依據(jù)，兩者是顯性層面和理性層面的有效結(jié)合。很顯然，此時學(xué)生的學(xué)習(xí)還停留在“算法”層面，他們對其中內(nèi)在的“算理”仍然沒有深度的理解。

二、循序漸進(jìn)，轉(zhuǎn)向“算理”教學(xué)

基于這樣的學(xué)情，教師可改變原本的以算法訓(xùn)練為主的教學(xué)思路，轉(zhuǎn)向剖析算理的深度思維教學(xué)，讓學(xué)生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變。怎樣才能讓學(xué)生關(guān)注算理、自主探究以厘清算理呢？我們在學(xué)生嘗試獨立筆算并呈現(xiàn)算法后安排了小組合作，提供可選擇性素材（人民幣學(xué)具、百格圖、計數(shù)器圖），通過“集體評議”來論證算法的合理性，讓學(xué)生在相互建構(gòu)中共同厘清算理、明晰算法。

1. 依據(jù)日常生活設(shè)計“實物化”的算理分析場景

以現(xiàn)實情境為依據(jù)，選擇學(xué)生熟悉的生活情境，一方面能自然引入需要探究的內(nèi)容，另一方面能有效激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，驅(qū)動學(xué)生主動思考，以實現(xiàn)學(xué)習(xí)的遷移。同時，把計算教學(xué)與現(xiàn)實生活相結(jié)合，有利于學(xué)生感受運(yùn)算的價值，引發(fā)探究的興趣。例如，某小組選擇的是借助貨幣單位換算進(jìn)行論證，集體評議中匯報為：講義夾4.75元是4元7角5分，筆記本3.4元是3元4角。元加元，4元加3元是7元;角加角，7角加4角是1元1角;分加分，5分加0分等于5分。7元、1元1角和5分合起來就是8元1角5分，也就是8.15，所以4.75+3.4=8.15。

2. 借助幾何圖形（百格圖），構(gòu)建“半實物化”的算理學(xué)習(xí)情境

有形的素材可以為學(xué)生提供一個表述和理解算理的支撐點，在思維的轉(zhuǎn)變處使算理逐步延伸、有效遷移，最終使算理變得直觀可視，使算法的抽象也能順理成章。例如，某小組選擇的是借助百格圖進(jìn)行論證，集體評議中匯報為：4.75在百格圖中涂色為4個塊7個條5個格，3.4在百格圖中涂色為3個塊4個條。塊加塊，4個塊加3個塊共涂色7個塊;條加條，7個條加4個條共涂色11個條，也就是1個塊1個條;格加格，5個格加0個格共涂色5個格。7個塊、1個塊1個條和5個格合起來就是8個塊1個條5個格，也就是8.15，所以4.75+3.4=8.15。

3. 借助計數(shù)器圖，構(gòu)建“去實物化”的抽象算理學(xué)習(xí)情境

在本節(jié)課中運(yùn)用計數(shù)器圖可以讓學(xué)生明白小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的相同處—都是把相同計數(shù)單位的數(shù)相加、相減，并幫助學(xué)生理解加法中的滿十進(jìn)一、減法中的退一當(dāng)十的算理。例如，某小組選擇的是借助計數(shù)器圖畫數(shù)珠進(jìn)行論證，集體評議中匯報為：先在計數(shù)器圖上畫白色數(shù)珠表示4.75，個位上4顆，十分位上7顆，百分位上5顆;再在計數(shù)器圖上畫黑色數(shù)珠表示3.4，個位上3顆，十分位上4顆。合起來百分位上共5顆數(shù)珠，十分位上共11顆數(shù)珠，滿十向個位進(jìn)一，十分位上保留1顆數(shù)珠，個位上是3+4+1=8，所以4.75+3.4=8.15。

以上是學(xué)生小組合作后匯報的論證方法，在此基礎(chǔ)之上，教師引導(dǎo)比較：這三種方法有什么相同點？進(jìn)一步明確它們都是把相同計數(shù)單位的數(shù)加在一起，進(jìn)而明晰小數(shù)點對齊實質(zhì)上就是為了保證把相同計數(shù)單位上的數(shù)加在一起。數(shù)學(xué)運(yùn)算中沒有脫離算理的算法，算理需要通過算法外顯出來。教師在教學(xué)中要重視學(xué)生對算理的深度理解，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的論證過程，從而促使學(xué)生在理性分析中更好地溝通算理和算法之間的聯(lián)系，提升運(yùn)算能力，同時也促使學(xué)生的探究意識和數(shù)學(xué)思維得到相應(yīng)的發(fā)展。

三、持續(xù)內(nèi)化，形成“算理”思維

通過循序漸進(jìn)的算理教學(xué)，教師會發(fā)現(xiàn)仍有為數(shù)不少的學(xué)生容易出錯。具體表現(xiàn)在練習(xí)時，他們不想按部就班地去列豎式計算小數(shù)加減法。他們對算理的理解，還沒有在對復(fù)雜問題的解決過程中“固化”下來，對于算理、算法的掌握只是浮于表面，問題情境一旦發(fā)生變化，他們就很容易機(jī)械地去計算，然后出錯。教師可以設(shè)計一些有效的、有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在觀察、提問、比較、辨析中全身心投入，從而引發(fā)積極思考，建立牢固的“算理”思維。

1. 設(shè)計集中性思維問題

集中性思維是創(chuàng)造思維的必要前提，是發(fā)散性思維的基礎(chǔ)，主要強(qiáng)調(diào)思維活動中的記憶的作用，設(shè)計此類練習(xí)有助于推動學(xué)生自主建構(gòu)出“算理”規(guī)律。例如：計算下面各題。3.33+4=（? ?），3.33+0.4=（? ?），3.33+0.04=（? ?）。在學(xué)生計算出正確答案后，教師可提問：“這幾道算式出現(xiàn)的數(shù)字差不多，為什么算出的結(jié)果不同？”再以針對性問題引領(lǐng)學(xué)生自主梳理算理的規(guī)律—4表示4個1，加在個位;0.4表示4個0.1（十分之一），加在十分位;0.04表示4個0.01（百分之一），加在百分位，促使學(xué)生進(jìn)一步提升對于算理、算法內(nèi)涵的掌握。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生，使其在運(yùn)算過程中邊做邊思，理解算理本質(zhì)，促進(jìn)運(yùn)算能力的提高。

2. 設(shè)計逆向思維問題

逆向思維是從相反方面（或是從結(jié)果導(dǎo)向）出發(fā)進(jìn)行逆轉(zhuǎn)推理的一種思維方式， 能夠提升學(xué)生的思維活躍度。例如：果果在計算14.56減一個一位小數(shù)時，由于錯誤地把數(shù)的末位對齊，算出結(jié)果是13.39。這個一位小數(shù)是（? ?），正確的結(jié)果是（? ?）。學(xué)生在解決這樣的問題過程中，需要在獨立思考的基礎(chǔ)上展開小組討論，提出各自的觀點：“把數(shù)的末位對齊，就相當(dāng)于把一位小數(shù)變成了兩位小數(shù)”“錯誤方法導(dǎo)致十分位上的數(shù)與百分位相減、個位上的數(shù)與十分位相減”“先根據(jù)被減數(shù)和差算出錯誤的減數(shù)，再推理出原來的減數(shù)”等。在交流中形成思維的碰撞，在互動中實現(xiàn)與學(xué)習(xí)內(nèi)容新的相遇與對話，從而促使學(xué)生雕琢自己的思想，形成對算理、算法新的認(rèn)知，最終完全掌握算法。

3. 設(shè)計發(fā)散思維問題

有效地設(shè)計發(fā)散思維問題，能避免學(xué)生陷入單一、定向的思維模式，提升學(xué)生思維的變通性、創(chuàng)造性和聯(lián)想性，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)效果。例如：

A=0.00···0125 B=0.00···08，

1995個0 1999個0

那A+B的結(jié)果是多少？

這類問題的解決，需要學(xué)生對算理有比較深刻的理解。學(xué)生需要思考“1995個0和1999個0這兩個條件有何作用”“B的8到底與A的哪一個數(shù)字對齊”“如何才能保證相同計算單位上的數(shù)相加”等，而對具體問題的透徹理解，又為進(jìn)一步牢固算理思維提供了豐富的感性經(jīng)驗，并且自然遷移到如何保證兩個小數(shù)數(shù)位對齊的算法固化中，從而引領(lǐng)運(yùn)算能力的有效提升。

總之，數(shù)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，處理好算理與算法的關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生對算理和算法進(jìn)行深入理解，是發(fā)展運(yùn)算能力的關(guān)鍵所在。算法的形成需要經(jīng)歷由具體到抽象的過程，過于注重算法的練習(xí)，往往會掩蓋算理教學(xué)的缺失，繼而出現(xiàn)所謂的學(xué)生“粗心”而導(dǎo)致的計算頻頻出錯，殊不知出錯是因為對算理、算法的掌握浮于表面。只有循序漸進(jìn)推進(jìn)算理教學(xué)、扎實有效強(qiáng)化算理思維，才能真正落實運(yùn)算能力的有效提升。與此同時，也能培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的獨立思考、主動探索與合作交流意識，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力。

本文系江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“差異教學(xué)理念下‘?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)培養(yǎng)的實踐研究”（課題編號：2020/P/067）的階段性研究成果之一。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬邗江實驗小學(xué)）

責(zé)任編輯：趙繼瑩