學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)表現(xiàn)的四個(gè)維度及其培養(yǎng)方向

于芳

[摘? 要] 學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)可以劃分為四個(gè)維度，即理解維度、表征維度、運(yùn)算維度和推理維度。據(jù)此，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)時(shí)，可相應(yīng)地從以下三個(gè)方面展開：形象感知，理解符號(hào)的意義內(nèi)涵;抽象概括，提升符號(hào)表征水平;創(chuàng)設(shè)情境，運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算推理。

[關(guān)鍵詞] 符號(hào)意識(shí);理解;表征;運(yùn)算;推理

朱立明和馬云鵬認(rèn)為，“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”，即學(xué)習(xí)者在思維的引導(dǎo)下，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)符號(hào)之間抽象對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種積極主動(dòng)的心理認(rèn)知活動(dòng)，在通過數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與理解、運(yùn)算與推理、交流與表達(dá)等數(shù)學(xué)思考方式解決數(shù)學(xué)問題的過程中所表現(xiàn)出來的與數(shù)學(xué)符號(hào)相關(guān)的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]。

因此，學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)可以從四個(gè)維度進(jìn)行劃分和界定。

一、學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)表現(xiàn)的四個(gè)維度

（一）數(shù)學(xué)符號(hào)理解維度

數(shù)學(xué)符號(hào)的理解是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的直覺認(rèn)知，即理解數(shù)學(xué)符號(hào)所蘊(yùn)含的意義及其使用條件。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，也是數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的基本要求。

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解有三種表現(xiàn)水平。

1. 只能理解數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)等，不能理解字母等抽象數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵與意義。例如能理解具體的數(shù)量3，但是無法理解3a。

2. 能夠理解字母的表面含義，但是不能理解字母所具有的一般現(xiàn)實(shí)意義。例如知道3a就是3×a，但無法將其與現(xiàn)實(shí)情境相聯(lián)系。

3. 不僅能理解數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵和意義，還能理解數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，能夠在具體情境與抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)之間建立聯(lián)系。例如不僅知道3a是3個(gè)a相加的和，還知道a可以表示長度、質(zhì)量、單價(jià)、速度……

（二）數(shù)學(xué)符號(hào)表征維度

數(shù)學(xué)符號(hào)的表征是理性思維的體現(xiàn)，意味著能夠?qū)?shù)學(xué)信息用符號(hào)系統(tǒng)表示出來。數(shù)學(xué)符號(hào)表征是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)符號(hào)表征有三種表現(xiàn)層次。

1. 能運(yùn)用數(shù)字表征具體數(shù)量，也能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)（字母）表征數(shù)（未知數(shù)、不確定的數(shù)等），對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的表征處于簡單模仿階段。

2. 能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表征數(shù)量關(guān)系。例如能夠用含有字母的式子表征一輛公共汽車上人數(shù)的變化，或者根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出相遇問題求速度的方程等。

3. 能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表征變化規(guī)律，也就是能通過探索問題中的變化關(guān)系找出問題的隱含規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表征。例如探索圖形排列的規(guī)律（圖1），并用含有字母的式子表征第n個(gè)圖形中正方形和圓形個(gè)數(shù)的關(guān)系。

（三）數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算維度

數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，即根據(jù)數(shù)學(xué)概念、定理和運(yùn)算法則，將數(shù)學(xué)符號(hào)通過計(jì)算得出確定結(jié)果的過程。

數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)算包含三個(gè)階段。

1. 數(shù)字符號(hào)運(yùn)算階段，學(xué)生可以解決具體的數(shù)字符號(hào)的運(yùn)算，也就是我們所說的四則混合運(yùn)算。

2. 符號(hào)形式的運(yùn)算階段，學(xué)生可以在操作層面理解數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)算，但不能理解運(yùn)算所得到的結(jié)果具有一般性。例如學(xué)生能夠計(jì)算3a+4a=7a，但不理解式子中的a可以指代任何有理數(shù)。

3. 符號(hào)的抽象運(yùn)算階段，學(xué)生能夠從算理的角度理解數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算，可以很好地理解運(yùn)算所得到的結(jié)果具有一般性。也就是學(xué)生不僅能夠計(jì)算3a+4a=7a，還能根據(jù)乘法的意義解釋這個(gè)式子的意義，并知道它的結(jié)果具有一般性。

（四）數(shù)學(xué)符號(hào)推理維度

數(shù)學(xué)符號(hào)的推理主要包括代數(shù)推理和圖形推理。

1. 代數(shù)推理，根據(jù)運(yùn)算法則推理出字母式子的值。

如題“已知a=2，b=3，求（ab）2的值”。

2. 幾何推理，根據(jù)圖形關(guān)系進(jìn)行推理。

例如“兩條直線相交于點(diǎn)O，你能推出∠AOB=∠COD嗎？請說明理由（見圖2）”。

二、數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)方向

培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)可以圍繞其四個(gè)表現(xiàn)維度展開，也就是要幫助學(xué)生理解符號(hào)的意義和內(nèi)涵，學(xué)會(huì)使用符號(hào)表征，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理。

（一）形象感知，理解符號(hào)的意義內(nèi)涵

數(shù)學(xué)符號(hào)根據(jù)表示的意義可以大致分為元素符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、結(jié)合符號(hào)和約定符號(hào)等。這些數(shù)學(xué)符號(hào)的使用將伴隨學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，同時(shí)也是學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)艱深難懂的重要原因。因此，讓學(xué)生在形象感知中喜歡、親近符號(hào)，接受和理解符號(hào)是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的首要任務(wù)。

1. 直觀形象感知

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號(hào)大多都是十分形象的，或者說是“象形”的，因此讓學(xué)生通過直觀形象去感知符號(hào)的意義和內(nèi)涵能夠激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣，有助于他們記憶符號(hào)的形象和掌握符號(hào)的書寫方法。

例如在一年級(jí)認(rèn)識(shí)數(shù)字符號(hào)的時(shí)候，教師都會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生誦讀兒歌：1像鉛筆，細(xì)又長;2像小鴨，水中游;3像耳朵，兩道彎;4像小旗，迎風(fēng)飄……

還有“=”“>”“<”，這些關(guān)系符號(hào)也是非常形象的?！?”就是兩條等長的平行線段，“>”“<”則是大頭（開口）對(duì)著大數(shù)，小頭（尖頭）對(duì)著小數(shù)。

2. 動(dòng)態(tài)形象感知

雖然很多數(shù)學(xué)符號(hào)都如同象形文字一樣簡潔、生動(dòng)、形象、傳神，但要幫助學(xué)生深刻地理解其內(nèi)涵還需要以動(dòng)態(tài)演示的方式來呈現(xiàn)它們的產(chǎn)生過程。

例如加、減、乘、除四種運(yùn)算符號(hào)。加號(hào)可以通過先畫一橫，再移來一豎的演示讓學(xué)生理解它蘊(yùn)含著的“合并”“增加”的意思。減號(hào)的演示過程則正好相反，學(xué)生能看出其表示“去掉”“減少”的意思。乘號(hào)就是把“+”轉(zhuǎn)動(dòng)45度，表示這是特殊的加——同數(shù)連加。除號(hào)呢？中間一橫表示平均分，上下各一點(diǎn)，表示每份分得同樣多。

約等號(hào)、不等號(hào)等也可以用動(dòng)態(tài)演示的方法幫助學(xué)生理解。等于號(hào)彎一彎，表示有點(diǎn)不好意思，只是大概相等哦;等于號(hào)添?xiàng)l斜杠，就表示根本不相等，劃掉吧。

數(shù)學(xué)符號(hào)如此簡潔、優(yōu)美，教師要用好數(shù)學(xué)符號(hào)的簡約記憶功能、輔助理解功能，重視讓學(xué)生通過形象感知來理解符號(hào)、欣賞符號(hào)。

（二）抽象概括，提升符號(hào)表征水平

培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，本質(zhì)上是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，而要提升學(xué)生的符號(hào)表征水平，也應(yīng)當(dāng)從抽象概括入手。

1. 抽象概括，建立數(shù)的符號(hào)表征

（1）數(shù)字符號(hào)表征

小學(xué)生入學(xué)伊始首先要學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)的就是數(shù)字符號(hào)，也就是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用。數(shù)概念的形成過程就是一個(gè)抽象概括的過程，它舍棄了一切非數(shù)量關(guān)系的內(nèi)容（大小、顏色、材質(zhì)等），只保留了量的抽象結(jié)果。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)字符號(hào)的過程中，要反復(fù)經(jīng)歷從直觀到抽象、從具體到概括的認(rèn)知過程。例如在一年級(jí)的“數(shù)一數(shù)”教學(xué)中，學(xué)生數(shù)圖片中的多種物體，接著把所有被數(shù)的數(shù)量相同的物體抽象為對(duì)應(yīng)的圓點(diǎn)，最后將圓點(diǎn)抽象為對(duì)應(yīng)的數(shù)字符號(hào)。

（2）數(shù)學(xué)符號(hào)表征

學(xué)生從一年級(jí)就開始接觸類似“△+3=8”這樣的問題，隨著學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，在不斷地抽象概括中學(xué)生會(huì)慢慢領(lǐng)悟和接受用“△”“☆”等符號(hào)表征特定的數(shù)或某個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)，進(jìn)而理解用字母表示未知數(shù)、不確定的數(shù)。

2. 對(duì)比分析，抽象概括數(shù)量關(guān)系

學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握用數(shù)學(xué)符號(hào)表征數(shù)量關(guān)系要經(jīng)歷兩個(gè)過程，首先是抽象和概括已有的公式、定律，其次是提煉數(shù)量關(guān)系并用數(shù)學(xué)符號(hào)表征。

（1）轉(zhuǎn)換符號(hào)，抽象概括公式、定律

學(xué)生在探究活動(dòng)中得到圖形的周長、面積等公式后，需要將文字公式寫成字母公式，這是一個(gè)將語言文字表述轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)表征的過程。同樣地，在學(xué)習(xí)運(yùn)算定律的時(shí)候，教師也會(huì)引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)現(xiàn)和總結(jié)的運(yùn)算定律轉(zhuǎn)換成字母式子來表示。

雖然在上述教學(xué)活動(dòng)中，將語言表述轉(zhuǎn)換成字母式子并不是教學(xué)的重點(diǎn)，但我們要知道每一次字母式子的書寫和運(yùn)用都有利于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展。在運(yùn)用這些字母式子（公式）的過程中，學(xué)生知道每一個(gè)字母背后的含義，明白字母能表示整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，感受到數(shù)學(xué)符號(hào)表征的簡潔和概括。

（2）對(duì)比分析，抽象概括數(shù)量關(guān)系

如果說學(xué)生用字母式子表示公式僅僅是一個(gè)表征方式轉(zhuǎn)換的過程，那么他們在學(xué)習(xí)用字母式子表示數(shù)量關(guān)系時(shí)需要通過對(duì)比分析，轉(zhuǎn)變對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)知，學(xué)會(huì)通過符號(hào)表征抽象概括數(shù)量關(guān)系。

例如教師在教學(xué)“用字母表示數(shù)量關(guān)系”時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的教學(xué)情境：現(xiàn)有一箱蘋果，數(shù)量我們暫不能確定，可以用字母a表示;還有一箱梨比蘋果多10個(gè)，該如何表示梨的數(shù)量呢？

學(xué)生整理幾種表示方法（見表1）：

全班交流對(duì)比分析后，能夠理解表示梨的個(gè)數(shù)的最好方法是第四種，因?yàn)樗荏w現(xiàn)梨和蘋果之間的數(shù)量關(guān)系。第二種方法中，蘋果和梨的數(shù)量用相同的字母表示，意味著在同一情境下它們的數(shù)量相同;第三種方法中，蘋果和梨的數(shù)量所用字母不同，表示它們的數(shù)量不同，但未能反映出梨比蘋果多10個(gè)的重要信息。

有了前面的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)列方程解決問題等內(nèi)容的時(shí)候，就能夠輕松自如地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)語言和日常語言的轉(zhuǎn)化，即能將日常語言敘述的數(shù)量關(guān)系或空間形式轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言。

3. 提煉關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)把握變化規(guī)律

運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表征變化規(guī)律是小學(xué)階段數(shù)學(xué)符號(hào)表征的最高水平，達(dá)到這一表征水平的關(guān)鍵是能夠根據(jù)規(guī)律提煉數(shù)量關(guān)系，它是用數(shù)學(xué)符號(hào)表征數(shù)量關(guān)系的延續(xù)和提升。

例如在探究多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系時(shí)，首先要思考把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成求若干個(gè)三角形的內(nèi)角和問題;接著思考每個(gè)多邊形能轉(zhuǎn)化成幾個(gè)三角形;最后是根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出多邊形的內(nèi)角和。這其中蘊(yùn)含著的規(guī)律也就是它們之間的數(shù)量關(guān)系。因此，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生層層剖析其中的數(shù)量關(guān)系，第一層數(shù)量關(guān)系是多邊形的邊數(shù)減少2就是它劃分成的三角形個(gè)數(shù);第二層數(shù)量關(guān)系是有多少個(gè)三角形就有多少個(gè)180°累加。理清楚了這兩層數(shù)量關(guān)系，就能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)表征這其中的規(guī)律了。

（三）創(chuàng)設(shè)情境，運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、推理

運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理是符號(hào)意識(shí)發(fā)展到較高水平的體現(xiàn)，義務(wù)教育階段一般在第三學(xué)段（7—9年級(jí)）將這一能力納入考查要求，但并不是說小學(xué)生就不能體驗(yàn)“使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)果具有一般性”。如果教師能夠創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，那么學(xué)生還是能夠獲得一定的感悟。

五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”之后，立即展開了“多邊形的面積”的學(xué)習(xí)，這一單元中的平行四邊形、三角形以及梯形面積公式的推導(dǎo)過程，以及后續(xù)的圓面積公式的推導(dǎo)過程，就都運(yùn)用了符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理。

在“用字母表示數(shù)”單元，我們還可以設(shè)計(jì)下面的數(shù)學(xué)小魔術(shù)：“請你想一個(gè)整數(shù)，把它乘3加9，再把結(jié)果乘3減27。只要你說出計(jì)算結(jié)果，我能馬上寫出你想的整數(shù)是多少?！?/p>

先讓學(xué)生嘗試，教師每次都能準(zhǔn)確寫出學(xué)生心里想的數(shù)，讓學(xué)生驚訝不已，然后引導(dǎo)學(xué)生用字母式子解密。

“設(shè)所想的數(shù)為x，則（3x+9）×3-27=9x+27-27=9x。”

只要計(jì)算正確，結(jié)果一定能被9整除，將計(jì)算結(jié)果除以9，就是對(duì)方所想的數(shù)。

上述教學(xué)內(nèi)容，不僅能極大地增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓他們體會(huì)引入數(shù)學(xué)符號(hào)的必要性，并感受到“符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 朱立明，馬云鵬. “數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”研究：內(nèi)涵與維度[J]. 教育理論與實(shí)踐，2015（32）：6-8.